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1、-实验五 种群数量的状态转移微分方程(数学建模)-第 5 页实验五 种群数量的状态转移微分方程一、实验目的及意义1 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；2 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；3 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌
2、握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。二、实验内容1 微分方程及方程组的解析求解法；2 微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法；3 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4 利用图形对解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。三、实验步骤1开启软件平台MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2根据微分方程求解步骤编写M文件3保存文件并运行；4观察运行结果(数值或图形)；5根据观察到的结果和体会写出实验报告。四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的
3、问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论）基础实验1求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0x1; 运行程序 y= dsolve(Dy-y-2*x=0,y(0)=1,x)解出方程的解析解为y =3*exp(x) - 2*x 2画出图形X=linspace(0,1,100);plot(x,3*exp(x) - 2*x - 2)2用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？dsolve(Dy=y-2*x/y,y(0)=
4、1,x)求得解析解为 y=(2*x+1).(1/2)建立M文件weifen.m：x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;for n=1:10 x1(n+1)=x1(n)+h; y1(n+1)=(1+h)*y1(n)-2*h*x1(n)/y1(n); k1=y2(n)-2*x1(n)/y2(n); k2=y2(n)+h*k1-2*x1(n+1)/(y2(n)+h*k1); y2(n+1)=y2(n)+0.5*h*(k1+k2);endx1;y1;x=0:0.1:1;y=(2*x+1).(1/2);plot(x,y,x1,y1,r,x1,y2,k:)由所作图形可明显看出用改进欧
5、拉公式所得的微分曲线明显更接近微分方程的解析解曲线，所以用改进欧拉方程求得的数值解更精确3Rossler微分方程组：当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a(0,0.65)而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？function xdot=lorenz(t,x)a=0;0.01;0.65;xdot=-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);2+x(3)*(x(1)-4);endx0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pausepl
6、ot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on图中，x1的图形为实线(蓝），x2的图形为“*”线（绿），x3的图形为“+”线（红）.取t0，tf=0，10。若取t0，tf=0，100。图像为令x(1)=x,x(2)=x,x(3)=y,x(4)=yx=x(2),y=x(3)function f = weixing( t,x)u=1/82.45;u1=1-u;r1=sqrt(x(1)+u)2+x(3)2);r2=sqrt(x(1)-u1)2+x(3)2);f=x(2);2*x(4)+x(1)-u1*(x(1)+u)/(r13)-u*(x(1)-u1)/(r23); x(4);-2
7、*x(2)+x(3)-u1*x(3)/(r13)-u*x(3)/(r23);endx0=1.2,0,0,-1.04935751;t,x=ode45(weixing,0,50,x0);plot(x(:,1),x(:,3)应用实验 盐水的混合问题一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。记开始的溶液体积为=350 L 在t时刻溶液体积为纯水流入速度为 = 14 盐水流出速度为 = 10.5 开始盐含量 = 在t时刻含盐量为 在t时刻含浓度为 在dt 时间内，流出容器的盐分d为可认为在dt时间段内浓度不变为 有 d= 则 =-两边求导得 =- 由于 =/ =+ 则 =-k/+Matble 求解：dsolve(Dq=-10.5*q/(350+3.5*t),q(0)=7,t) ans =7000000/(t + 100)3可得 t=linspace(0,500,10000);plot(t,7000000./(t + 100).3)画出随时间变化曲线为