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1、-复数与平面几何题(潘成华、周文化)-第 10 页用复数解平面几何题的尝试宿迁市泗洪县育才实验学校 周文化 文武光华数学工作室 潘成华【摘要】用复数法解决某些平面几何题往往显得简洁而特别，尤其是那些规则的，容易得出较简洁表达式的问题。本文通过具体的问题谈谈对复数解平面几何题的若干尝试。关键词 复数，共轭复数，平面几何为使符号表示简明，文中约定使用复数时，用表示“”，代替通常的写法，表示复数的共轭复数，引入符号“”与“”： 表示Re(x)=Re(y),即复数x,y的实部相等；表示Im(x)=Im(y),即复数x,y的虚部部相等.由此约定不难得出，“p是实数”等价于“p0” ，“p是纯虚数”等价于
2、“p 0”.命题1. 设，其中，；(1) ；(2) .证明：只证充分性（1）当时，易知；由可得，故，于是Re ()=0，即，再由共轭复数的性质可得.(2)由(1)可知，当时，易知，Im ()=0，即，再由共轭复数的性质可得.注：实际上的实部、虚部分别对应于向量与的内积、外积.命题2.与顺向相似(对应点的排列顺序相同)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：且.证明：只证充分性，设即证.注：对顺向相似中任意两组对应的有向线段，都显然有,，成立.与反向相似(对应点的排列顺序相反)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：且.证明：只证充分性，设即证.注：对反向相似中任意两组对应的有向线段，都显然有,
3、，成立.命题3. 若ABCD，Q是直线CD上的任一点，则Im（）= Im（）为定值.证明：只需证Im（）为定值.由可得 ，, 即Im（）为定值.特别的，当Q在直线AB上时，Im（）= Im（）= Im（）= Im（）。命题4. 若ABCD，Q是直线CD上的任一点，则Re（）= Re（）为定值.证明：只需证Re（）为定值.由 可得 ，, 即Re（）为定值.借助上述命题和复数的其他知识解决一些问题时思路往往显得很新颖直接.问题1.已知：ABC与ADE反向相似，M、N分别是BD、CE的中点，BE、CD交于点X.求证：（1）AX/MN.（2）若ABC=ADE=90O ，则AXBD证明：（1） 因此，A
4、X/MN。（2） ,进而.问题2. 已知：、分别是ABC的外心、垂心，D、E是AB、AC的中点，CFAB于F，BGAC于G，DE、FG相交于P；求证：APOH证明：由外心、垂心的性质易得；由D、E是AB、AC的中点，CFAB于F，BGAC于G可得ADEAGFABC，DEBC，于是又有AHDE.，可得；可得.问题3. （田开斌老师题）已知：ABCD中，CE、DF分别垂直BD、AC于E、F，FE与BA相交于G；求证：OGAD.证明：分别过C、D作CM、DN垂直于OC、OD，且交OD、OC于M、N，易知CEDN，DFCM，MNEF，RtEOCRtDON, RtFODRtCOM，可得，；而OGAD。问
5、题4. （叶中豪老师题）已知:矩形ABCD内接于O，E、F分别是BC、CD上的点，BF、DE相交于P，AP交O于G；求证：EGFG证明：连接CG，易知CGAG，则由APCG可知 ；而，所以原命题得证.问题5. （叶中豪老师题）已知：AB=AC，M是BC上一点，过点M作MD、ME分别交AB、AC于D、E，且使得BMD=CME， O、P、Q分别是BC、DE、AM的中点；求证：O、P、Q在同一直线上.证明：易知BMDCME，O、P、Q在同一直线上.问题6. 已知：如图，ABCADE，G、H分别是它门的垂心，直线CD、EB交于点M；求证：AMGH.证明：由相似三角形及垂心的性质易知，其中k为实数，因此
6、，；当MCD、MEB共线时，可得，原命题得证.另一种表达方式：以A为原点，B=1建立复平面，可设C、D、E对应的复数分别为；因此，为纯虚数为实数；显然为实数，原命题得证。以上6个问题的解决基本上是借助命题3或命题4将问题归结至相似三角形中，再由命题2作出判断.比较多的依赖于几何图形的形式，而更多的时候我们会充分借助其“数”的特征，用“数”来反映几何图形中的关系,再通过“数”的“运算”达成目的。问题7. （潘成华老师题）已知正方形ABCD、AEFG，P、Q、R分别是BF、AE、CG的中点，求证：PQ=PR且PQPR证明： ,且.问题8. （潘成华老师题）已知：M、N分别是正方形ABCD、AEFG
7、的中心，P、Q分别是CG、BF的中点，PQ、MN交于点O,求证：POM=45，且PQ=MN. 设,则，原命题得证.问题9. （潘成华老师题）以任意ABC三边为边向外作等边三角形ABD、BCE、CAF，M、Q、N分别是ABDBCECAF的外心，U、V、P分别是DF、MN、BC的中点；求证：UVPQ且UV=PQ.证明：取AB、AC中点G、H，设AB、BC、CA、GD、PE、HF对应的复数分别为a、b、c、x、y、z，k= ,易知，；由三角形外心的性质可知，原命题得证.注：由以上证明可以看出结论对向外作顺相似的三角形都成立.问题10. （潘成华老师题）.以任意ABC两边AB、AC为边向内作等边三角形
8、ABD、CAF，L、M分别是ABD、CAF的外心，以两边BC为边向外作等边三角形BCE，K是BCE的外心；求证：ML、AK相互平分.证明：设，=0,四边形AMKL是平行四边形，ML、AK相互平分.问题11. （潘成华老师题）.以任意ABC三边为边向外作等边三角形CAD、BCE、ABF，U、V、X、Y分别是CB、CA、EF、DF的中点，直线UX、VY相交于P；求证：P+ACB=120.证明：设,，P+ACB=120.问题11. （潘成华老师题） 以任意ABC三边为边相外作等边三角形ABD、BCE、CAF，M、N分别是DE、EF的中点；求证：AMN是等边三角形.证明：设AB、BC、CA对应的复数分
9、别为a、b、c，,则于是，可得MAN=60O，且AM=AN，AMN是等边三角形.问题12. （潘成华老师题） .以任意ABC三边为边向外作等边三角形ABD、BCE、CAF，G、H、I、J、K、L分别是AD、DB、BE、EC、CF、FA的中点，GJ、HK、IL两两相交于X、Y、Z；求证：XYZ是等边三角形.证明：设,同理，原命题得证.问题13. . （潘成华老师题）以任意ABC两边AB、AC为边向内作等边三角形ABD、CAF，L、M分别是ABD、CAF的外心，以两边BC为边向外作等边三角形BCE，K是BCE的外心；求证：AFBKLM.证明：设AB、BC、CA对应的复数分别为a、b、c，,故AFB
10、KLM.问题14. （潘成华老师题）已知：ABD、ACE均为等边三角形，M、N是它们的中心，DN、EM相交于点F，G、H分别是BC、EM的中点；求证：F、G、N、H四点共圆证明：作等边PAE，Q是其外心，设，于是F、G、N、H四点共圆.问题15. （潘成华老师题）已知：ABD、ACE均为等边三角形，G、H、I分别是AE、BC、AD的中点，XYZ分别是ABD、ACE的外心；求证：线段XY中点Z是GHI的外心.证明：设，GHI为等边三角形；即Z是GHI的外心.问题16. （潘成华老师题） 已知：正方形ABED、BCGF、CAHI、EFJK，且KI、JH交于点P；求证：(1)DG通过点P，(2)DP
11、K=45.证明：设AB、BC、CA、EK对应的复数分别为a、b、c、d,易知a+b+c=0,d=b-a.(1)，；于是当PHJ、PKI分别共线时，均为实数，则也是实数，PGD共线，即DG通过D点；(2)由(1+i)KI=DG可得DPK=45.问题17. （潘成华老师题）已知矩形ACHI、BADE、CBFG两两相似，P、Q、R、P、Q、R皆为中点,求证：PP、QQ、RR共点.证明：设AB、BC、CA、AD、BF、CH对应的复数为a、b、c、x、y、z,且,其中k为实数；由P、Q、R是中点易知；对任一点O都有当O是PP、QQ的交点时，于是，即O在RR上，原命题得证.问题18. （潘成华老师题）.以
12、任意ABC两边AB、AC为边向内作等边三角形ABD、CAF，L、M分别是ABD、CAF的外心；求证：证明：以A为原点，设F、B对应的复数为x、y, ，.PFD、PBC共线与均为实数，两式相加得为实数,从而；于是PML也共线，原命题得证.问题19. （潘成华老师题）已知ABD、BCE、CAF均为等边三角形，X 、Y、Z分别是FD、DE、EF的中点，求证：(1)AX、BY、CZ共点；（2）设（1）中交点为J，则AJY=BJZ=CJX=60.证明（一）：设CA，CB对应的复数为a、b，e=cos60+isin60，可得，(1) 设AX交BY于J，CJ=j，2AX与AJ共线；2BY与BJ共线；两式相加
13、得，又，可得，CZ、CJ共线，从而AX、BY、CZ共点.(2) 由可得AJY=BJZ=CJX=60.证明二:只证（1）设AB、BC、CA对应的复数分别为a、b、c，,显然a+b+c=0,可得,(利用a+b+c=0,简单整理即得)当时，AX、BY、CZ共点.问题20.已知：OA=OD，OB=OE，AOD=BOE，AE、BD交于C，M是ABC的外心.求证：OMDE证明（一）设OA=,OB=,OC=,2OM=,|=1，取AD、BE中点X、Y，易知OXAD，OYBE，RtAOXRtBOY；由问题（1）可知OCXY，可得；由M是ABC外接圆的圆心可知均为纯虚数三式相加得是纯虚数,也是纯虚数,OMDE.
14、证明（二）取ABC三边中点P、Q、R与AD、BE中点X、Y，易知MP、MQ、MR分别垂直于AC、BC、AB,OX、OY分别垂直于AD、BE，OCXY；当时，原命题得证.注：证法二实质上是将原问题转化为四线共点问题21.已知：AOB与COD反相似，G、H是它们的垂心；求证：AC、BD、GH共点.证明：以O为原点建立复平面，设A、C、B、D、G、H对应的复数分别为；MAC共线为实数 -；MBD共线为实数 -；设,其中为实数,则 +得，而MGH共线等价于,因此只要对e、f证明存在实数同时满足便可推出原命题，解此方程组得，由G是垂心易知为实数，故原命题得证.问题22.已知：等腰ABC中，AC=BC，D
15、是它的垂心，是AB的中点，P是以AB为直径的圆上的一个动点，求证：当P在AB上方时，APC=BPD；而当P在AB下方时，APC+BPD=180.证明：由题易知RtAODRtCOB,OA2=ODOC ；以为原点，为单位圆建立复平面，设、P对应的复数分别为-1、1、p=，其中k为负实数.为实数；当P在AB上方时， ，可得APC=BPD；当P在AB下方时， ，可得APC+BPD=180.问题23.已知：圆 O是ABC的内切圆，D、E、F是切点，M、N分别是AD、BC的中点；求证：M、O、N三点共线.证明：以为原点，为单位圆建立复平面，设D、E、F对应的复数分别为1、x、y，其中|x|=|y|=1.连
16、接OA、EF交于P，易知P为EF的中点，RtOPFRtOFA,OF2=OPOA；所以，而,从而，同理，、，进而，为实数，M、O、N三点共线问题24. （叶中豪老师题）已知：圆 I是ABC的内切圆，D、E、F是切点，M是AD的中点；求证：若M在I上，则.证明：以I为原点,I为单位圆建立复平面,设D、E、F、M对应的复数分别为x、y、z、m，其中|x|=|y|=|z|=|m|=1,易知A、B、C对应的复数分别为、，而；结束语：个人认为不存在万能的方法，复数法亦如此，因此在使用复数法解平面几何题的时候应兼顾数与形两方面，以数助形，数形结合，还应让复数的方法融入到众多已有的几何结论中去，站在已有定理的基础上才能“看”得更远.