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1、-异面直线所成角的几种求法 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。BACDFEB1A1D1C1GHSRPQ解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可
2、平移两条直线到某个点上。作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH/A1E。过F作CD的平行线RS，分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。由B1H/C1D1/FS，B1H=FS，可得B1F/SH。在GHS中，设正方体边长为a。GH=a（作直线GQ/BC交BB1于点Q，连QH，可知GQH为直角三角形），HS=a（连A1S，可知HA1S为直角三角形），BACDFEB1A1D1C1GS=a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。CosGHS=。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个
3、正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量的坐标为（-1，2，1），向量的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角满足cos=-。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成
4、解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹
5、角。ABCDMN例2：已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为，求cos的值。解：由已知得，空间向量，不共面，且两两之间的夹角均为60。由向量的加法可以得到=（+），=+所以向量与向量的夹角（即角或者的补角）满足cos=，其中=（+）（+）=（+（）+）=a2（+1）=a2；|2=（+）（+）=（1+1+1）a2= a2；|2=（+）（+）=+1 a2= a2。所以cos=| cos|=。例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，ABCDEFG且BE：EC=AF：FD=1：2，EF
6、=，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG，可知EG/AB，FG/CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知识可知=+=+，设向量和的夹角为。则由|2=（+）（+）=4+1+4cos=7，得cos=，所以AB和CD所成的角为60。二、利用模型求异面直线所成的角引理：已知平面的一条斜线a与平面所成的角为1，平面内的一条直线b与斜线a所成的角为，与它的射影a所成的角为2。求证：cos= cos1cos2。PbABO证明：设PA是的斜线，OA是PA在上的射影，OB/b，如图所示。则PAO=1，PAB=，OAB=2，过点O在平面内作OBAB，垂足为B，连
7、结PB。可知PBAB。所以cos1=， cos=，cos2=。所以cos= cos1cos2。这一问题中，直线a和b可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把1叫做线面角，叫做线线角，2叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角。从引理中可以看出，我们需要过a的一个平面，以及该平面的一条斜线b以及b在内的射影。ABCDM例4：如图，MA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，直线MB与平面ABCD所成的角为45，直线AC
8、与直线MB的射影AB所成的角为45，所以直线AC与直MB所成的角为，满足cos=cos45 cos45=，所以直线AC与MB所成的角为60。PEDFABC例5：如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，BAD=90，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角，AEPD于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作的平行线EF交AD于F，由PA底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AD，直线AE与平面ABCD所成的角为DAE，其大小为60，射影AD与直线CD所成的角为CDA，其大小为45，所以直线与直线所成的角满足cos=cos60 cos45=，所以其大小为arccos。由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到利用线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的介绍，不再重复。 -第 4 页-