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1、-塑性力学复习纲要-第 14 页复习纲要第一章 绪论1弹性与弹性变形物体受到不大的外力作用后产生的变形，在外力除去后可以全部恢复，物体仍保持原有的形状和尺寸。这种性质称为材料的弹性，这种可以全部恢复的变形叫弹性变形。这时称物体处于弹性状态。2塑性与塑性变形当外力超过一定限度后，在物体某些部分内，任意点上的应变将不随应力的消失而恢复。这种变形不可恢复的性质称为塑性，不随应力消失而恢复的那部分变形称为塑性变形。3弹性区与塑性区在加载过程中，物体的一部分产生塑性变形时，称该部分已进入塑性状态，同时将该部分称为物体的塑性区，未进入塑性状态的区域则为弹性区。4塑性变形的特点（1）塑性应变和应力之间不再有
2、一一对应的关系。塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还与加载的历史有关。（2）应力与应变（或应变率）之间呈非线性关系。5塑性力学研究的主要内容（1）建立在塑性状态下应力与应变（或应变率）之间的关系。（2）研究物体受外力作用进入塑性状态后产生的应力和变形，包括研究在加载过程中的每一时刻，物体内各点的应力和变形。以及确定弹性区与塑性区的界限。（3）有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态（塑性变形无限制发展，物体已达到它对外力的最大承载能力）时的荷载，即极限荷载。这种研究方法通常称为极限分析。6塑性力学的基本假设1、材料的塑性行为与时间、温度无关（在我们所研究的范围
3、内，通常不考虑时间因素对变形的影响（如弹性后效、蠕变等），而且只限于考虑在常温下和缓慢变形的情形，所以也忽略温度和应变速度对材料性质的影响。）2、材料具有无限的韧性 3、材料是均匀的、连续的，并在初始屈服前为各向同性，且拉伸和压缩的应力-应变曲线一致；4、任何状态下的总应变可以分解为弹性和塑性两部分，且材料的弹性性质不因塑性变形而改变； 5、对应于塑性变形部分的体积变化为零，静水压力不产生塑性变形。 7简单拉伸与压缩试验（1）拉伸试验由拉伸应力应变曲线可知： 图1.1 拉伸开始阶段和成正比，变形全是弹性的。P点的纵坐标称为比例极限。应力超过后，与不再成正比，但变形仍是弹性的。Q点的纵坐标称为弹
4、性极限。应力超过后，在SA段内应力不再增加，而应变继续增长，这种现象称为屈服现象。对应于R点的应力称为上屈服极限，对应于SA的应力称为下屈服极限。一般把下屈服极限称为屈服极限，以表示。对于没有明显的屈服阶段，常规定以产生某一指定的残余应变（例如0.2时的应力作为屈服极限。记为。常常认为（=），在阶段，服从虎克定律=。这里E是弹性模量，它也是曲线初始直线段的斜率。A点以后如欲继续产生变形，则需继续加载，关系如曲线ABF，这一阶段称为强化阶段。在这一阶段中，任一点上曲线的斜率称为强化模量，一般E1E。在进入塑性阶段（即应力）以后，设从任一点B处开始卸载，则曲线为通过B点且与初始直线段OP平行的直线
5、BCD，当全部应力卸完时即达到横坐标轴上的D点，原来在B点时整个应变为OH，卸载后DH段消失，故DH段即为相应于B点的弹性应变，而残余应变OD段，即为相应于B点的塑性应变。故有=+。同时可以看出，卸载至任意点C时，卸掉的应力与恢复的应变之间也应当服从虎克定律，即BD线上的C点与OP线上的C点具有同样的纵坐标，也就是说受有同样大小的应力，而其横坐标，也就是产生的应变却完全不同。这也说明在塑性力学中应力和应变没有一一对应的关系。所产生的应变，不仅和所受的应力有关，而且和加载历史有关。设从D点再重新加载。曲线几乎完全沿原来的卸载直线DCB上升，直至非常接近B点处才略有弯曲最后到达BF段上的一点S，（
6、非常接近B点，也可以近似地认为与B点重合）。这样可以看到，经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了（图中S点或B点高于S点），屈服极限提高了（可以认为S点或B点的纵坐标为重新加载时的屈服极限）。这种现象称为强化现象，相当于S点或B点的应力称为后继屈服极限。自S点以后再继续加载时将仍沿原来未经卸载的曲线SF前进。曲线至F点后开始下降，这意味着应力降低而应变仍可继续增长，直至C点试件破坏。实际上这是由于在F点处试件已开始出现颈缩现象，试件截面积A与原始截面积A0相差甚大，仍以A0除P得到的已不是试件的真实应力。以瞬时截面积A去除P才可较真实地反映试件中的应力，这时称为真应力。虚线FG即
7、表示在这一阶段真应力与应变之间的关系。（2）压缩试验 Buschinger效应 试验表明，对大多数金属在小变形阶段，压缩曲线与拉伸曲线基本一致。可认为两者的弹性模量，屈服极限是相同的，如图（a）所示。 （a） （b）具有强化性质的材料在正向加载并且在塑性发展到一定的程度之后卸载，然后再反向加载。如果材料是单晶体，反向屈服应力比正向初始屈服应力大，即正向强化时反向也得到强化；如果材料是非单晶体，反向屈服应力比正向初始屈服应力小，这种现象称为Bauschinger效应。（如图（b）所示）（3）静水压力试验（a）静水压力与材料体积改变近似地服从线弹性规律。对于一般应力状态下的金属材料，当发生较大的塑
8、性变形时，可以忽略弹性的体积改变，而认为材料在塑性状态时体积是不可压缩的;（b）材料的塑性变形与静水压力无关。即对一般金属，体积应变完全是线性弹性的，并且静水压力不产生塑性变形，它对屈服极限的影响完全可以忽略不计。8应力-应变曲线的理想化模型（1）理想塑性材料 理想弹塑性模型对有相当长屈服阶段的材料可以假设这段水平线一直延伸直至破坏，而忽略后面的强化，这种模型叫做理想弹塑性模型。如图（a）所示。这种模型的材料应力应变关系为 （a） （b）式中sgn为符号函数sgn= 理想刚塑性模型。如果所研究的问题具有较大的塑性变形，因而弹性变形可以忽略时，可以假设无弹性变形，只有塑性变形。这种模型叫做理想刚
9、塑性模型。如图（b）所示。这种模型的材料的应力应变关系为（2）强化材料对没有明显屈服阶段的材料，不能将进入塑性状态以后的应力应变关系用一条水平线来描述，根据曲线的形状可以采用以下几种模型： （a） （b） （c） 线性强化弹塑性模型图（a）所示为线性强化弹塑性模型，它的应力应变关系为： 线性强化刚塑性模型如果可以忽略弹性变形，即成为图（b）所示的线性强化刚塑性模型，其应力应变关系为： 幂强化模型曲线如图（c）所示，其应力应变关系为：其中0n1，当n=1时，成为直线方程，服从虎克定律（此时B=E）。当n=0时，成为，成为理想刚塑性模型（此时B=）。9强化模型10. 工程应变与工程应力习题：1.
10、名词解释：塑性变形： 韧性与脆性：应变强化：等向强化：随动强化：包辛格效应2. Bridgeman静水压试验有什么结论3. 写出工程应变和自然应变的关系，并分别用工程应变和自然应变表示体积不可压缩条件.（提示:体积单元）第三章 应力状态和应变状态1应力张量及其分解取直角坐标系x，y，z，则物体内任意点处的应力状态可以表示为：或= 由剪应力互等定理知。2主应力及主平面及其求法物体每一点都存在三个互相正交的平面，在其上只有正应力而没有剪应力，称为主平面，其上的正应力称为主应力。设通过一点的某截面的法线n的方向余弦为lx，ly，lz，或者简记为li（i=1，2，3）。则有斜截面上的正应力：=lilj
11、= 斜截面上的剪应力：其中p是斜截面上的总应力。主应力方程： = 0 其中， J1，J2，J3与坐标轴的选择无关。分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。当x，y，z轴和三个主轴方向一致时： 由主应力方程可以求出三个主应力。以求得的任一个主应力j（j = 1，2，3）代入ijlilj=0都可以得到关于J1，J2，J3的三个方程，其中只有两个是独立的，与=1联立可解出主应力j（j = 1，2，3）所在的主平面方位。3平均应力、应力球张量及应力偏张量叫做平均应力。在各方向同时作用有大小为的应力时，相当于静水压力（或反向的静水压力），它不产生塑性变形，所以从应力张量中将各向相同的分离出来，对于研究
12、塑性变形更为方便，即如果令则*式可写为：称为应力球张量，不引起塑性变形；称为应力偏张量，简称应力偏量，引起塑性变形。应力偏张量的第一、第二、第三不变量分别为：当x，y，z轴方向和主轴重合时：还可写为：4几种特定截面上的应力在图2.4中，主平面用表示，表示与三个主轴成相等倾斜角的斜截面，称为八面体面（或等倾面）。其方向余弦为：八面体面上的正应力： 八面体面上的剪应力： =等效应力（或应力强度）也就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为i的单向应力状态来代替。等效剪应力（或剪应力强度）也就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为T的纯剪切应力状态来代替。图24
13、中斜面上的剪应力： 它们分别是平行于某一主应力轴的所有截面中剪应力最大的截面。如果123，则 5三维应力圆 表示应力状态特征的参数的轴上取OP1、OP2、OP3之长分别等于三个主应力1、2、3，以P2P3，P1P3 ，P1P2为直径作三个圆，命名为圆A，圆B及圆C，则圆A即代表平行于1的所有截面上的正应力和剪应力，圆B和C分别代表平行于2和平行于3所有截面上的正应力和剪应力。阴影区则表示不与任何主应力平行的斜截面上的正应力和剪应力。在轴上取OM=m，并将轴移至过M点处，则在以M为原点的、轴上，此三维应力圆即为应力偏张量的应力圆。此时有 图2.5 MP1 = MP2 = MP3 = 三维应力圆以
14、及应力偏张量是由P1、P2 ，P3三点的相对位置来确定的。表示应力状态的Lode参数：（1）单向拉伸：，有：=1。（2）纯剪切：，有：=0。（3）单向压缩：，有=16应变张量及其分解、应变不变量在小变形情况下，应变分量与位移分量的关系为：因为，所以，决定应变状态的独立应变分量有六个。它们形成一个对称的应变张量：如果用u1、u2、u3表示位移分量u、v、w，则应变分量的各个分量与各位移分量的关系可以用张量形式表示：下标中的“，”表示求导。与应力张量类似，可以把应变张量分解为球张量及偏张量，即如果令则*式可写为：在变形过程中，如体积不变，则=0，应变偏张量与应变张量相等：分别以I1，I2，I3表示
15、应变偏张量的第一、第二、第三不变量，则有：当x，y，z轴方向和主轴重合时：还可以写成：7几种特定截面上的应变（1）八面体面上的正应变： （2）八面体面上的剪应变：（3）等效应变（应变强度）：其物理意义是：对于应变状态（），用上式算出的应变强度i，和体积不变（即泊松比=）的情况下单向拉伸时（1=i，2 =3=）的应变强度相等，或者说，从应变强度的角度看，应变状态（）和应变状态（1=i，2 =3=）是相当的。（4）等效剪应变（剪应变强度）：=其物理意义是：对于应变状态（），用上式算出的剪应变强度，和纯剪切情况下（）时的剪应变强度相等，或者说，从剪应变强度的角度看，应变状态（）和应变状态是相当的。8
16、各斜截面上的剪应变及最大剪应变：如果规定123，则 2为最大剪应变：9表示应变状态的Lode参数。（1）单向拉伸：，有 =1。（2）纯剪切：，有 =0。（3）单向压缩：，有 =1。习题：1. 某一点的应力状态为：，；试写出该点应力的（1）应力张量；（2）应力球张量；（3）应力偏张量；（4）写出该点处应力张量分解的张量符号表达式。（提示：即写出，和的关系表达式）2. 已知某点的主应力为，求该点处八面体面上的正应力和剪应力以及该点处的等效应力。第四章、第五章 塑性本构关系1塑性力学研究的主要内容塑性力学主要研究在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料），以及塑性应力应变关系的规
17、律。2屈服条件的一般形式屈服条件应该和所有应力分量有关，因而可以写成：f1（）= C 式中，f1称为屈服函数，C是与材料性质有关的常数。若材料各向同性，则：f（）= C（f是的对称函数）或 f2（）= C 因为应力球张量不影响屈服，且J1=0，故屈服条件还可以写为：f3（）= C 因为J3是应力偏量各分量的三次函数，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J3也变号。但由实验结果可知，对一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量均改变符号时，屈服函数的值应当不变。故可断定：屈服函数应当是应力偏张量第二，第三不变量J2和J3的函数，同时又必须是J3的偶函数。3应力空间以为坐标的
18、三维空间，叫做应力空间（如图3.1所示）。，应力空间中的点P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是。图3.1 4屈服曲面屈服条件表达式表示应力空间中的一个曲面，称为屈服曲面。5等倾线与平面等倾线：应力空间中通过原点与轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾线。方向余弦为（，）。方程式为： 等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球张量，其偏张量为零。平面：经过原点O以等倾线为法线的平面称为平面（见图3.2），方程式为： 平面上的任意点所代表的应力状态，其球张量为零，这个应力状态本身就是一个偏张量。设应力空间中任一点P表示应力状态（），矢量分解成沿等倾线和在平面上的两个分量和，则和分别表示这一应力状态的球
19、张量和偏张量。5屈服曲面和屈服轨迹在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界面就是屈服曲面，也就是屈服条件方程在应力空间中所代表的曲面，是一个柱面，其母线平行于等倾线。屈服曲面与平面的交线叫做屈服轨迹。6.平面上的点所代表的应力状态图3.5（a）示出在应力空间中一点P（或矢量）表示一个应力状态（1、2、3），现在将矢量分解为与三个坐标轴平行且首尾相接的三个矢量、，即1轴，长为1，2轴，长为2，平行于3轴，长为3。 （a） （b） 图矢量沿x轴及y轴的分量为 (
20、OS)x = OAcos30BScos30=(12) =(12) (OS)y =OAsin30+ ABBSsin30=的长度：在平面上的方位角：式中，为应力状态的Lode参数。有了上面的两个公式，对一个已知应力状态（1，2，3）就可以得到平面上代表它的偏张量的点S的位置。如果规定123，则有11，因而3030，也就是说，如果1，2，3按大小顺序排列，则在平面上代表应力偏张量的点S将坐落在轴正方向与轴负方向之间。对单向拉伸，=1，=30，S点位于轴正方向。对单向压缩，=+1，=30，S点位于轴负方向上。对纯剪切，=0，=0，S点位于轴正方向与轴负方向的分角线上。如果主应力顺序不按123的规定排列
21、，则S点可位于平面的任何点，而没有3030的限制。反之，如果已知平面上一点S，就不可能唯一地确定它所代表的原始应力状态，因为可以加上任意大小的球张量而不改变平面上S点的位置。不过可以根据S点的位置唯一地确定它所代表的应力偏张量的大小。7Tresca屈服条件（1）各主应力按大小顺序排列时的屈服条件： 13 = s在Tresca屈服条件下s和s的关系为： s= （2）各主应力不按大小顺序排列：或 上式左端是J3的偶函数。Tresca屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上。（3）在应力空间中表示Tresca屈服条件的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无限长正六角柱面，在平面上的屈服轨迹为一正六边形A
22、BCDBF，如下图所示。图3.88Mises屈服条件（1）Mises屈服条件的表达式：或 （2）在Mises屈服条件下，s与s的关系为： s =s 使用Tresca屈服条件和使用Mises屈服条件，在s和s的关系上两者有着约15的差异。在平面上，Mises屈服轨迹是一个半径为的圆。它的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无限长圆柱面。由图3.8可以看出，如果以单向拉伸得到的为基础，则Mises屈服条件和Tresca屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，在纯剪切时二者差异最大，约为15。9加载曲面（后继屈服面）在复杂应力状态下，理想塑性材料在应力空间中的屈服曲面具有固定大小形状，屈服以后经过卸载并重新
23、加载，仍然保持原来的屈服曲面。对强化材料，在应力空间中由屈服条件规定的曲面叫做初始屈服曲面，记做，当加载至超出了屈服曲面后卸载，然后再重新加载时，屈服曲面比初始屈服面向外扩大了，这就是强化现象。以表示这个扩大了的新屈服面，称为后继屈服面或加载曲面；以=0表示加载曲面，则称为加载函数。10加载准则（1）对强化材料df0，加载df0，卸载 df = 0，中性变载当采用Mises屈服条件时，屈服函数是应力偏张量第二不变量J2或应力强度i，这时的加载准则为：di0或d J20，加载di0或d J20， 卸载 di = 0或d J2 = 0， 中性变载（2）对理想塑性材料df0，卸载 df = 0，加载
24、当采用Mises屈服条件时，有di= 0或d J2 = 0，加载di0或d J20，卸载 由实验结果得知，加载时产生新的塑性变形，卸载及中性变载时均不产生新的塑性变形，其各应力分量与各应变分量的改变服从弹性规律。注意：加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态而言。在加载过程中某些应力分量可能增加而另一些可能减小，但只要根据加载准则判断是加载，则就说在这个点是加载，而不能说这个点对某些应力分量加载，而对另外的应力分量是卸载。如是加载，则在所有方向上都要使用塑性应力应变关系；如是卸载，则在所有方向上都要使用弹性应力应变关系。11简单加载和复杂加载（1）简单加载与复杂加载简单加载：在加载过程中各应力分
25、量按某一参数t成比例地单调增长，即 （这里为某一固定的应力状态）时，称为简单加载，即比例加载。简单加载时，在应力空间中代表应力状态的点在连接原点O与代表应力状态的点A的直线上移动。加载路径是通过原点的直线。（2）复杂加载：不符合上述比例关系的加载方式叫复杂加载。复杂加载时加载路径可以是通过原点或不通过原点的曲线或折线。12简单加载原理对小变形的受力物体，满足下列三个条件即可保证物体内所有各点都处于简单加载（充分条件）：（1）物体上所有外加荷载（包括表面力和体积力）成比例增长。如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；（2）应力强度和应变强度呈幂关系;（3）材料不可压缩，即泊松比=。实际上，当材料
26、进入塑性后，上面第三条基本是满足的，而第二条中的幂关系又可以近似地描述大部分金属材料的应力应变关系。因而可以近似地认为只要物体上的所有外荷载成比例增长，就可在物体内所有各点实现简单加载。13强化假设实验结果表明，对强化材料，其加载曲面与初始屈服曲面相比，不仅有形状及大小变化，而且还有位置的移动。因此，Tresca屈服条件和Mises屈服条件只适用于理想塑性材料；或者只作为强化材料第一次开始屈服的初始屈服面，而不能正确描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变形（强化）以后的屈服性质。实验结果还表明，加载曲面与初始屈服曲面相比，其形状大小的变化及位置的移动规律相当复杂，难以用数学模型来精确描述。因此，
27、实际计算中往往作各种不同的假设，再依据这些假设建立相应的强化条件。（1）等向强化假设加载曲面与原始屈服曲面在几何形状上完全相似，其中心位置没有移动。随着塑性变形大小的不同，其胀大的程度也不同。根据这种假设，只要知道加载路径中最远离初始屈服曲面的点，就可以得到对应的加载曲面。设屈服函数f (sij)，其中sij为应力偏张量（球张量不影响屈服）。对理想塑性材的屈服条件可写为 f (sij) =C 则在等向强化假设下的加载曲面（即强化条件）可写为：f (sij) =C(q)式中，q为强化参数，恒为正值，如果取Mises屈服函数，对理想塑性材料屈服条件为： J2 = 又知J2 =sij sij，故上式
28、也可写为 sij sij = C（常数） 则在等向强化假设下的强化条件即可写为： sij sij = C(q) （2）随动强化假设（运动强化假设）假设加载曲面与初始屈服面形状大小完全一致，但随加载路径而平移。也就是在强化的相反方向加载时其屈服应力将降低。设强化后加载曲面的中心移至O点。以aij表示屈服曲面中心移动的距离OO在六维应力空间中的各分量，则在随动强化假设下的强化条件应为： f(sijaij) = C aij的大小与塑性应变张量成正比，即有：aij = h 式中，h为随材料而不同的常数，可由实验确定。随动强化假设的最大优点是能比较正确地反映Bauschinger效应，在承受反复荷载时比较容易反映实际情况。但加载曲面的形状大小完全没有改变，与实验结果也不符。只有在加载路径与原来强化方向比较接近的情况下，这一假设才与等向强化假设一样能较好地符合实验结果。此外等向强化假设在数学运算上更为简便，应用较多。（3）其他形式的假设其中一种是将等向强化与随动强化结合起来，认为在强化时，初始屈服面既有位置的移动又有大小的变化。如下图所示。这时的强化条件应写为： f(sijaij) = C( q )