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1、-圆周运动向心加速度向心力-第 13 页圆周运动1匀速圆周运动质点沿圆周运动，如果在相等时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动匀速圆周运动是最简单的圆周运动2描述匀速圆周运动快慢的物理量（1）线速度引入：质点单位时间通过的弧长越长，表明运动得越快定义：质点通过的弧长s与所用时间t的比值公式：v单位：ms矢量：线速度的方向在圆周该点的切线方向上注意：匀速圆周运动的速度方向不断改变，因此是变速运动；所谓“匀速”是指速率不变，即速度的大小不变（2）角速度引入：运动质点和圆心半径的连线在单位时间内转动的角度越大，表明质点运动得越快定义：圆周半径转过的角度与所用时间t的比值公式：单位：rad
2、s注意：弧度的概念，等于弧长与半径的比值，弧度等于180（3）周期和频率匀速圆周运动是一种周期性的运动周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间频率：物体ls由完成匀速圆周运动的圈数，单位是赫兹，记作“Hz”周期和频率互为倒数3线速度、角速度、周期间的关系（1）定性关系三个物理量都是描述匀速圆周运动的快慢，匀速圆周运动得越快，线速度越大、角速度越大、周期越小（2）定量关系设想物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，则在一个周期内转过的弧长为2r，转过的角度为2，因此有比较可知：vr【例1】 地球自转的问题1：比较在北京和在赤道两处物体随地球做自转的角速度地球表面上的物体随地球做匀速圆周运动的角速
3、度都相同由于地球自转周期为T24h，故可求得地球自转角速度7.3rads2：比较在北京和在赤道两处物体随地球自转的线速度当角速度一定时，赤道处转动半径最大，故线速度最大，随着纬度增大，转动半径减小，线速度减小，设地球半径为R，则在纬度为时的线速度为vrRcos【例2】 传动装置的问题1：如图所示，比较A、B、C三点的线速度、角速度说明：皮带上各点的线速度大小相等，如果皮带与齿轮不打滑，则轮缘上各个线速度大小相等，同一个轮上各点角速度相等；如果，22 ，则2211212：如图所示，比较A、B、C三点的线速度角速度说明：齿轮传动时，接触点处速度大小、方向都相同，因此轮缘上各个线速度大小相等，同一个
4、轮上各点的角速度相等向心加速度一、速度变化量引入：从加速度的定义式a=可以看出。a 的方向与相同，那么的方向又是怎么样的呢？是矢量还是标量？1和末速度2不在同一条直线上，如何表示速度的变化量？结论：（1）直线运动中的速度变化量如果速度是增加的，它的变化量与速度方向相同（甲）；如果速度是减少的，其速度变化量就与初速度的方向相反（乙）。（2）曲线运动中的速度变化量物体沿曲线运动时，初速度1和2不在同一直线上，初速度的变化量同样可以用上述方法求得。例如，物体沿曲线由A向B运动，在A、B两点的速度分别为1和2。在此过程中速度的变化量如图所示：可以这样理解：物体由A运动到B时，速度获得一个增量，因此，1
5、与的矢量和即为v2。我们知道，求力F1 、F2的合力F时，可以以F1 、F2为邻边作平行四边形，则F1 、F2所夹的对角线就表示合力F。与此类似，以1和为邻边作平行四边形，两者所夹的对角线就是v1和的矢量和，即2，如图所示。因为AB与程度CD平行且相等，故可以把1、2放在同一个三角形中，就得到如图所示的情形。这种方法叫适量三角形法。二、向心加速度结论：由上面一般性的讨论我们可以得出更一般性的结论即：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心。这个加速度叫做向心加速度。对公式的理解强调：在公式中，说与成正比的前提条件是k为定值。同理，在公式中，当为定值时，与r成反比：在公式中，当w为定值时，与r成正比
6、。因此，这两个结论是在不同的前提下成立的，并不矛盾。对于大小齿轮用链条相连是，两轮边缘上的点线速度必相等，即有。又,所以A、B两点的向心加速度与半径成反比。而小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有。又，所以B、C两点的向心加速度与半径成正比。向心加速度的几种表达式联系,代入可得：和。【例题】（1）关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( BD )向心力问题 1、 做圆周运动的物体具有向心加速度，则物体所受的作用力是否可以为零？为什么？解析：不可以为零。由牛顿第二定律知：物体的加速度不为零，则所受的作用力必不为零。2、 做匀速圆周运动的物体其动能是否变化？合外力做的功是
7、多少？解析：做匀速圆周运动的物体，由于其速率不变，故其动能不变，由动能定理可知，合外力做的功为零。3、 请你探究一下做匀速圆周运动的物体所受的合外力的方向如何？解析：做匀速圆周运动的物体，其加速度大小不变，方向不断改变，始终指向圆心，根据牛顿第二定律可知，物体所受的合外力的方向，就是加速度的方向，故始终指向圆心。要点归纳 1、向心力：做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力叫做向心力。注意：向心力是根据力的作用效果来命名的。向心力可以是某一个力或某个力的分力或某几个力的合力来提供。不管属于什么性质的力，只要产生向心加速度，就叫做向心力。向心力的方向与线速度的方向垂直，起改变速度方向的作用，不改
8、变速度的大小，所以向心力不会对物体做功。特别提醒：向心力是根据效果来命名的一种力，而不是与重力、弹力、摩擦力相并列的另外一种性质的力因此，在分析圆周运动的质点的受力情况时，只能分析性质力（如重力、弹力），绝不可把向心力再分析进去2、变速圆周运动：速率大小发生变化的圆周运动叫做变速圆周运动。注意：变速圆周运动中的合外力并不指向圆心。这一力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn.Fn.产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向。Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同时具有向心加速度
9、和切向加速度的运动是变速圆周运动。变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用、和、公式求解，只不过v,都是指那一点的瞬时速度。处理一段曲线运动的方法：一段曲线运动轨迹可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧，这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法。3、向心力大小公式：推论： 4、 向心力的来源分析：（1） 匀速圆周运动中，物体所受的合外力提供其做圆周运动的向心力。例如，用细线系一小球在水平面内作匀速圆周运动，其所需的向心力就是由重力和细绳的拉力的合力来提供。又如汽车在水平路面上匀速转动时的向心力就由其静摩擦力来提供。（2） 一般圆运动中的向心力与合外力不同。此时向心力只是合外力的一个分
10、力，如图7-1所示。5、 分析圆周运动问题的一般方法：确定做圆周运动物体的研究对象。确定物体圆周运动的轨道平面、圆心、半径及轨道。按通常的方法，对研究对象进行受力分析，从中确定出哪些力起到了向心力作用，即组成向心力。选用合适的向心力公式，建立方程来求解，有些问题需运用几何知识建立辅助方程来帮助求解。注意：（1） 对物体进行受力分析时，易将向心力当做一个新受的力而造成错误。关键要注意向心力是根据力的效果来命名的。它不是一个新的力。（2） 一般圆周运动中的力的特点：注意此时的合外力不等于向心力。其一个分量指向圆心，该力为向心力，改变速度方向。另一个分量沿切线方向，用来改变速度的大小。 例题 例1：
11、 如图6-7-1所示，一圆盘可绕通过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起运动做匀速圆周运动，如图，则关于木块A的受力，下列说法正确的是（ ）A.木块A受重力、支持力和向心力B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反。C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同。分析：由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力作用而平衡，而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。选项C正确。答案：
12、C例2 ：如图6-7-2所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是（ ）A、绳的拉力B、重力和绳拉力的合力C、重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D、绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析：本题考查向心力的有关知识。如图6-7-3所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，选C、D答案：C、D说明：这是个非匀速圆周运动，绳的拉力与重力的合力不是向心力例3：如图6-7-4所示，一个内壁光滑的圆锥的轴线垂直于水平面，圆锥固
13、定不动，两个质量相同的球A、B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）A、球A的线速度必大于球B的线速度B、球A的角速度必小于球B的角速度C、球A的运动周期必小于球B的运动周期D、球A对筒壁的压力必大于球B对筒壁的压力解析：两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到的重力和筒壁对它的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，由图6-7-5所示，可知筒壁对小球的弹力，而重力和弹力的合力为 由牛顿第二定律可得：所以 由于A球运动的半径大于B球运动的半径，由式可知A球的角速度必小于B球的角速度；由式可知球A的线速度必大于球B的线速度；由式可知球A的运动周期必大于球B的运动周期
14、；球A对筒壁的压力一定等于球B对筒壁的压力。所以选项A、B正确。答案：A、B说明：求解匀速圆周运动的向心力常采用以下程序：先对物体进行受力分析，画好受力图，然后用球合力的方法得到指向圆心的向心力；再借助于v、T、n、t等求得a，再用牛顿第二定律F向=ma向求得向心力。例4、 如图6-7-6所示，细杆的一端与与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中ab分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D、 a处为推力，b处为推力解析：小球以O点为圆心在竖直面内做圆周运
15、动。在最低点时，小球受力除重力外，还有杆的作用力，只有杆对小球向上拉时，小球才能绕O点做圆周运动，故杆对小球只能是拉力。故选项C、D错误。小球在最高点，杆对小球可以向下拉，也可以向上推。当小球速度小于时，杆对小球向上推，当小球的速度大于时，杆对小球向下拉。故选项AB正确。答案：AB例5、某人驾车正在平直路上前进，突然前方出现了一堵很长的墙，此人要想不撞墙，是拐弯好呢？还是急刹车好？解析：无论是刹车还是转弯，都是为了避免汽车与墙相撞，刹车时地面的摩擦力使汽车减速，设地面与汽车轮胎间的动摩擦因数为，则汽车刹车时的加速度为： 。故汽车从开始刹车到汽车静止，汽车行驶的距离为：当汽车转弯时，汽车转弯的摩
16、擦力使汽车改变运动方向，因此在转弯时汽车所做的运动匀速圆周运动，运动半径R为：， 。由以上两式可得：sFN2B、FN1=FN2C、D、=解析：小球受力情况如图所示，由力的合成可得： 由于为定值，因此均为定值。B选项正确。由向心力公式 得： ，由题意知 ，故：CD选项均错误，所以答案应选B。4、如图6-7-10所示，半径为R的光滑半球，固定在水平面上，顶部有一个小物体，今给它一个水平的初速度v0=，则物体将（ ）A、沿球面下滑到M点B、先沿球面下滑到某一点N，便离开球面做斜抛运动C、按半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动D、立即离开半球做平抛运动解析：设小球在圆弧顶点受到光滑半球的支持力为FN，则
17、又v0= 所以：FN=0 物块只受重力作用，因而要做平抛运动，选项D正确。5、质量相等的A、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等时间内通过的弧长之比为2：3，而转过的角度之比为3：2，则A、B两质点周期之比TA:TB= 向心加速度之比aA :aB= ,向心力之比为FA:FB= 解析：由题意得： 所以 6、 一物体在半径为6米的圆周上，以6m/s的速度做匀速圆周运动，所需的向心力为12牛，则物体的质量m= 解析：由得 所以 7、质量为m的汽车，在半径为20米的圆形水平路面上行驶，最大静摩擦力是车重的0.5倍，为了不使轮胎在公路上打滑，汽车速度不应超过 m/s(g=10m/s2)解析：摩擦力提供向
18、心力，欲使车不打滑，则有：，所以最大速度答案：8、一个做匀速圆周运动的物体若保持其半径不变，角速度增加为原来的2倍时，所需的向心力比原来增加了60牛，物体原来所需的向心力是 N解析：据向心力公式：和得：，所以答案：9、汽车沿半径为R的圆跑道行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出圆跑道，车速最大不得超过多少？解析：由得所以车速最大不得超过答案：车速不得超过10、飞机在做俯冲拉起运动时，可以看作是圆周运动。如图6-7-11所示，若在最低点附近做半径为做半径为R=180m的圆周运动，飞行员的质量为m=70kg,飞机经过最低点飞机经过最低点P点时的速
19、度为v=360km/h，试计算一下飞行员对座位的压力是多大？（g=10m/s2）解析：飞行员在最低点受重力和座位的支持力，向心力由此二力的合力提供。所以，代入数据，+。根据牛顿第三定律可知，飞行员对座位的压力也为。说明：有的同学在解题时可能将牛顿第三定律的应用忘掉，计算完以后直接以为飞行员对座位的压力是N，这是思维不严谨的表现，一定要注意克服。t的铸件，行车以2m/s速度匀速行驶，当行车突然刹车停止运动时，钢丝受到的拉力为多少？ 解析：当行车突然停止运动时，铸件将做圆周运动，设此时绳的拉力力为，则，所以，代入数据，答案：12、飞行员俯冲后往上拉飞机时，会发生黑视，这是因为大脑缺血造成的，问：（
20、1）飞行员血压为什么会降低？解析：当飞行员的加速度向上时，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运送血液，导致血压降低。(2).为了使飞行员适应这种情况，要在如图6-7-13所示的仪器中对飞行员进行培训，飞行员坐在一个竖直平面内做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受到的加速度a=6g，则转动速度需要多大？（R=2m, g=10m/s2）解析：由向心力公式可得：生活中的圆周运动1、铁路的弯道6.81问题：火车受几个力作用？这几个力的关系如何？火车受到4个力的作用，各为两对平衡力，即合外力为零。其中重力和支持力的合力为零，牵引力和摩擦力的合力为零，那火车转弯时情况会有何不同呢？问题：（1）转弯
21、与直线前进有何不同？（2）画出受力示意图，并结合运动情况分析各力的关系？（转弯时火车的速度方向在不断变化，故其一定有加速度，其合外力一定不为零。）转弯时合外力不为零，即需要提供向心力，而平直路前行不需要，那么火车转弯时是如何获得向心力的？进一步受力分析得：需增加的一个向心力（效果力），由铁轨外轨的轮缘和铁轨之间互相挤压而产生的弹力提供。问题：挤压的后果会怎样？（由于火车质量、速度比较大，故所需向心力也很大。这样的话，轮缘和铁轨之间的挤压作用力将很大，导致的后果是铁轨容易损坏，轨缘也容易损坏。）（火车受的重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无挤压，这样就达到了保护铁轨的目的。）实际的铁路上为
22、什么转弯处的半径和火车运行速度有条件限制？2、拱形桥问题：质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为只R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力？通过分析，你可以得出什么结论？在最高点，对汽车进行受力分析，确定向心力的来源；由牛顿第二定律列出方程求出汽车受到的支持力：由牛顿第三定律求出桥面受到的压力：FN=Gmv2/r 可见，汽车对桥的压力FN小于汽车的重力G，并且压力随汽车速度的增大而减小。进一步考虑当汽车对桥的压力刚好减为零时，汽车的速度有多大。当汽车的速度大于这个速度时，会发生什么现象？（把 FN=0代人上式可得，此时汽车的速度为，当汽车的速度大于这个速度时，
23、就会发生汽车飞出去的现象。这种现象我们在电影里看到过。）下面分析汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大些还是小些？（汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大。）如果汽车不在拱形桥的最高点或最低点，前面的结论还是否能用？如果不能直接运用，又如何来研究这一问题呢？（前面的结论能直接运用，不过此时物体的向心加速度不等于物体的实际加速度，即要用上一节研究变速圆周运动的方法来处理。）例题例1：一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10ms2求：（1）若桥面为凹形，汽车以20ms的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？（2）若桥面为凸形
24、，汽车以l0ms的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？解：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到桥面向上的支持力N1和向下的重力Gmg，如图682所示： 圆强形轨道的圆心在汽车上方，支持力Nl与重力G=mg的合力为N1mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向=N1mg。由向心力公式有：N1mg= mv2/R3、航天器中的失重现象假设宇宙飞船质量为M，它在地球表面附近绕地球傲匀逮圆周运动，其轨道半径近似等于地球半径R，航天员质量为m，宇宙飞船和航天员受到的地球引力近似等于他们在地
25、面上的重力，试求座舱对宇航员的支持力，此时飞船的速度多大？通过求解，你可以得出什么结论？（运用牛顿第二定律可解得：宇宙飞船的速度为，再对宇航员进行分析可得，此时座椅对宇航员的支持力为零，即航天员处于失重状态。）4、离心运动做圆周运动的物体一旦失去向心力的作用，它会怎样运动呢？ 如果向心力突然消失，物体由于惯性，会沿切线方向飞出去。如果物体受的合力不足以提供向心力，物体虽不能沿切线方向飞出去但会逐渐远离圆心这两种运动都叫做离心运动。例题例题1：杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m05 kg，绳长l=60cm，求：（1）最高点水不流出的最小速率，（2
26、）水在最高点速率v3 ms时，水对桶底的压力。点评：抓住临界状态，找出临界条件是解决这类极值问题的关键。思考：若本题中将绳换成轻杆，将桶换成球，上面所求的临界速率还适用吗？例题2：如图6.84所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P，与穿过中央小孔H的轻绳一端连着，平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为d、角速度为的匀速四周运动，若绳子迅速放松至某一长度而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周运动，求质点由半径a到b所需的时间及质点在半径为b的圆周上运动的角速度？例题3：一根长l0.625 m的细绳，一端拴一质量m=0.4 kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端
27、做圆周运动，求：（1）小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v=s通过圆周最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动？练习题（1）如图6.87所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是( )A.在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力B.在竖直方向汽车只受两个力：重力和桥面的支持力（2）一辆汽车以速度。匀逮转弯，若车轮与地面间的最大静摩擦力为车重的k倍，求汽车转弯的最小半径？（3）一根原长为20cm的轻质弹簧，劲度系数k=20 Nm，一端拴着一个质量为1 kg的小球，在光滑的水平面上绕另一端做
28、匀速圆周运动，此时弹簧的实际长度为25 cm，如图6.88所示。求：小球运动的线速度为多大？小球运动的周期为多大？（4）一细绳拴一质量m100 g的小球，在竖直平面内傲半径R=40 cm的圆周运动，取g10 ms2，求；小球恰能通过圆周最高点时的速度，小球以v=30 ms的速度通过圆周最低点时，绳对小球的拉力；小球v250ms的速度通过圆周最低点时，绳对小球的拉力？（5）质量为m=0.02 kg的小球，与长为l0.4 m的不计质量的细杆一端连接，以杆的另一端为轴，在竖直面内做圆周运动，当小球运动到最高点速度分别为v1=0，v2=l ms，v32 ms，v4=4 ms时，杆分别对小球施加什么方向
29、的力？大小如何？（6）一架滑翔机以180kmh的速率，沿着半径为1 200m的水平圆弧飞行，计算机翼和水平面间夹角的正切值。(取g=10ms2)103 kg的汽车在水平公路上行驶，经过半径r=50m的弯路时，如果车速v72 kmh，这辆汽车会不会发生侧滑?已知轮胎与路面间的最大静摩擦力Fmax=1.4104 N（8）如图6.89所示，圆弧形拱桥AB的圆弧半径为40 m，桥高l0m，一辆汽车通过桥中央时桥受压力为车重的1/2，汽车的速率多大?若汽车通过桥中央时对桥恰无压力，汽车的落地点离AB中点P多远？参考答案1BC 2v2/kg 30.5 ms 314 s 4(1)2 ms (2)125 N (3)725 N 5O2N的支持力，015N的支持力，0N(无作用力)，06 N的拉力 6tan04/25 7会发生侧滑 810ms 20m