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1、立体几何中的向量问题空间角及距离基础自测1.已知两平面的法向量分别为（0，1，0），（0，1，1），则两平面所成的二面角为 .答案 45或1352.二面角的棱上有A、B两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知4，6，8，2，则该二面角的大小为 .答案 603.如图所示，在棱长为2的正方体A1B1C1D1中，O是底面的中心，E、F分别是1、的中点，那么异面直线和1所成角的余弦值等于 .答案 4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD，AC的中点E及的中点F的距离为 .答案 5.（2008福建理，6）如图所示，在长方体A1B1C1D1中，2，1=1，则1及平
2、面1D1D所成角的正弦值为 .答案 例1 （2008海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD的对角线上,60.(1)求及所成角的大小;(2)求及平面DD所成角的大小.解 如图所示，以D为原点，为单位长度建立空间直角坐标系D.则=（1，0，0），=(0,0,1).连接D.在平面DD中,延长交BD于H.设=(,1) (m0),由已知,=60,由, ,可得2.解得,所以=（,1）.(1)因为,所以,=45,即及所成的角为45.(2)平面DD的一个法向量是=(0,1,0).因为,所以,=60,可得及平面DD所成的角为30.例2 在三棱锥S中，是边长为4的正三角形，平面平面，2，M、N分别为、的
3、中点，如图所示. 求点B到平面的距离.解 取的中点O，连接、.，.平面平面，平面平面，平面，.如图所示，建立空间直角坐标系O，则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，0），N（0，）.=（3，0），=（-1，0，），=（-1，0）.设()为平面的一个法向量，则，取1，则,（，-，1）.点B到平面的距离.例3 （16分）如图所示，四棱锥P中，底面是矩形，底面，1，点F是的中点，点E在边上移动.（1）点E为的中点时，试判断及平面的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在边的何处，都有；（3）当为何值时，及平面所成角的大小为45.（1）解 当点E为的中点时，及平面平行.
4、在中，E、F分别为、的中点，.又平面，而平面，平面.4分（2）证明 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，），D（，0，0）.设，则E（x，1，0），=（x，1，-1）（0，）=0，.10分（3）解 设平面的法向量为(,1),由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）由，得.12分而=（0，0，1），依题意及平面所成角为45,45，=,14分得或（舍去）.故时，及平面所成角为45.16分1.如图所示，、分别是O、O1的直径，及两圆所在的平面均垂直，8是O的直径，6，.（1）求二面角的大小；（2）求直线及所成的角的余弦值.解 （1）及两圆所在
5、的平面均垂直，故是二面角BF的平面角.依题意可知，是正方形，45.即二面角BF的大小为45;（2）以O为原点，、所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），E（0，0，8），F（0，3，0），=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.,= .设异面直线及所成角为，则,.即直线及所成的角的余弦值为.2.已知：正四棱柱A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱、的中点.（1）求证：平面B1平面1B1；（2）求点D1到平面B1的距离.（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（
6、2，2，0），E（2，0），F（，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4）.=（-，0），=（2，2，0），=（0，0，4），=0，=0.，1，1，平面1B1.又平面B1，平面B1平面1B1.（2）解 由（1）知=（2，2，0），=（-，0），=（0，-，-4）.设平面B1的法向量为n,且()则n即n=（x，y，z）（-，0）0，n=（x，y，z）（0，-，-4）40，令1,则1,(1,1 )D1到平面B1的距离.3.如图所示，在四棱锥P中，底面为矩形，侧棱底面， 1，2，E为的中点.（1）求直线及所成角的余弦值；（2）在侧面内找一点N，使平面，并求出N点到和的距离.解 方法一 （1）
7、建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，1)，从而=（，1，0），=（，0，-2）.设及的夹角为，则，及所成角的余弦值为.（2）由于N点在侧面内，故可设N点坐标为（x,0）,则=（，1），由平面可得，即,化简得,即N点的坐标为（，0，1），从而N点到、的距离分别为1，.方法二 （1）设，连接，则，即为及所成的角或其补角.在中，1，由余弦定理得,即及所成角的余弦值为.(2)在平面内过D作的垂线交于F,则.连接,则在中,.设N为的中点，连接，则.，平面，从而平面.N点到的距离为1，N
8、点到的距离为.一、填空题1.在正方体A1B1C1D1中是的中点,则,的值等于 .答案 2.正方体A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面1D1的距离为 .答案 3.（2008全国理，11）已知三棱柱A1B1C1的侧棱及底面边长都相等，A1在底面内的射影为的中心，则1及底面所成角的正弦值等于 .答案 4是二面角棱上的一点，分别在、平面上引射线、，如果45，60，那么二面角的大小为 .答案 905.正方体A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为1、的中点，则点F到平面A1D1E的距离为 .答案 6.如图所示，在三棱柱A1B1C1中，1底面，1，90，点E、F分别是棱、1的中点，
9、则直线和1所成的角是 .答案 607.如图所示，已知正三棱柱A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线及平面B1所成角的正弦值为 .答案 8.正四棱锥S中为顶点在底面上的射影为侧棱的中点,且,则直线及平面所成的角是 .答案 30二、解答题9.如图所示，在几何体中，是等腰直角三角形，90，和都垂直于平面，且2，1，点F是的中点.求及平面所成角的正弦值.解 以点B为原点，、所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.=（0，2，1），=（1，-2，0）.设平面
10、的一个法向量为（2，a，b），n，n，即解得1，2.（2，1，-2）.设及平面所成的角为，则法向量n及的夹角为-，（-）,即,故及平面所成角的正弦值为.10.在五棱锥P中，2a，2a，90.（1）求证：平面；（2）求二面角AE的余弦值.（1）证明 以A点为坐标原点，以、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A，则由已知得A（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0，2a，0）.=（0，0，2a），=（2a，0，0），=（0，2a，0），=0200+2a0=0，.同理.又，平面.（2）解 设平面的法向量为(1),则m=0，得20
11、，.又m=0，得20，0.（1，-，0）.再设平面的法向量为(x,1),而=（a，0，0），=（a，2a，-2a），则n=0，得0，0.又n=0，得220，1.（0，1，1）.令二面角AE的平面角为，则，故二面角AE的余弦值是.11.如图所示，在三棱锥P中，点O、D分别是、的中点，底面.（1）若1，试求异面直线及所成角余弦值的大小；（2）当k取何值时，二面角OB的大小为？解 平面，又，从而，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O.（1）设，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（，0，0），P（0，0，a），则D（，0，a）.=(a，0， )，=(，a)，,则异面直线及所成角的余弦值的大
12、小为.（2）设，平面，=(0，a，0)为平面的一个法向量.不妨设平面的一个法向量为（x，y，z），A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(，0，0)，P(0，0，h)，=( a,0)(- a,0),由不妨令1，则1，即(11 ),则24,而,.故当时,二面角OB的大小为.12.(2008湛江模拟)如图所示，已知长方体A1B1C1D1中，2，1=4，E是棱1上的点，且B1C.（1）求的长；（2）求证：A1C平面；（3）求A1B及平面所成角的正弦值.（1）解 如图所示，以D为原点，、1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D. D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.B1C，=4+0-40.1，故1.（2）证明 由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），又=（-2，2，-4），=（2，2，0），=4+0-4=0，且4+4+0=0.且，即A1C，A1C，又，A1C平面.即A1C平面.（3）解 由（2）知=（-2，2，-4）是平面的一个法向量.又=（0，2，-4）,.A1B及平面所成角的正弦值为.9 / 9