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1、-四边形中旋转、折叠问题-第 5 页 四边形中的旋转、折叠问题例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B，折痕为CE，已知tanOBC（1）求B 点的坐标； （2）求折痕CE所在直线的解析式例题：（1）如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F 求证：AE=CF。（2）如图，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。 求证：EI=FG。例题：（2012德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形
2、纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由（2012南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱
3、形；（2）如图2，当AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF，EFG=EGF，EF=EG=AG，四边形AGEF是平行四边形（EFAG，EF=AG），又AG=GE，四边形AGEF是菱形（2）连接ON，AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，AED的外接圆与BC相切于点N，ONBC，点O是AE的中点，ON是梯形ABCE的中位线，点N是线段BC的中点（3）作OMAD，设DE=x，则MO=x，在矩形ABCD中，C=D=90，故AE为AED的外接圆
4、的直径延长MO交BC于点N，则ONCD，四边形MNCD是矩形，MN=CD=4，ON=MNMO=4x，AED的外接圆与BC相切，ON是AED的外接圆的半径，OE=ON=4x，AE=8x，在RtAED中，AD2+DE2=AE2，22+x2=（8x）2，得x=DE=，OE=4x=，FEOAED，解得：FO=，FG=2FO=故折痕FG的长是对应练习1.（2012泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）2.（2012泰安）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，B=120，OA=2，将菱形OABC绕原点顺
5、时针旋转105至OABC的位置，则点B的坐标为（）3.（2012泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则FCB与BDG的面积之比为（）第17题4.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为_5.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）(试题82页）6.（2010山东潍坊）如图，直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，点E在AB上，将CBE沿CE翻折
6、，使B点与D点重合，则BCE的正切值是_(89页)7.梯形中的对角线（88页）8.如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【 】(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个9如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若AMD36，则NMD等于（A）144 （B）126 （C）108 （D）72ABCDDCNMF(第10题)ABCDE(F)BA(F)DECG(第8题)图2图110.DEF绕点A（F）逆时针旋转60后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为
7、(A) 75cm2(B) cm2(C) cm2(D) cm2例题：在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EGCG.（1）将BEF绕点B逆时针旋转90，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将BEF绕点B逆时针旋转180，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.解（1）EG=CG EGCG-(2分) （2）EG=CG EGCG-(2分)证明：延长FE交DC延长线于M，连MGAEM=90，EBC=90，BCM=90四边形BEMC是矩形.BE=CM，EMC=90又BE=EFEF=CMEMC=90，FG=DGMG=FD=FGBC=EM ，BC=CDEM=CDEF=CMFM=DMF=45又FG=DGCMG=EMC=45F=GMCGFEGMCEG=CG ，FGE=MGC-(2分)FMC=90 ，MF=MD， FG=DG MGFDFGE+EGM=90MGC+EGM=90即EGC=90EGCG- (2分)