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1、用向量方法求空间角和距离在高考立体几何试题中,求角与距离是常考查问题,其传统“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习难点向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题1 求空间角问题空间角主要有：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角（）求异面直线所成角设、分别为异面直线a、b方向向量,则两异面直线所成角=（）求线面角设是斜线l方向向量，是平面法向量，则斜线l与平面所成角=（）求二面角法一、在内，在内，其方向如图，则二面角平面角=法二、设是二面角两个半平面法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则
2、二面角平面角=2 求空间距离问题构成空间点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离求法，象异面直线间距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求（）求点面距离法一、设是平面法向量，在内取一点B, 则 A到距离法二、设于O,利用和点O在内向量表示，可确定点O位置，从而求出（）求异面直线距离法一、找平面使且，则异面直线a、b距离就转化为直线a到平面距离，又转化为点A到平面距离法二、在a上取一点A, 在b上取一点B, 设、分别为异面直线a、b方向向量,求（，），则异面直线a、b距离（此方法移植于点面距离求法）例如图，在棱长为正方体中，E、F分别是棱中点 （）求异面直线所成角；（II）求和面EFB
3、D所成角；（III）求到面EFBD距离解：（）记异面直线所成角为，则等于向量夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系，则，设面法向量为由得又记和面EFBD所成角为则 和面EFBD所成角为（III）点到面EFBD距离等于向量在面EFBD法向量上投影绝对值，设计说明：作为本专题例，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系多面体正方体为载体，来说明空间角和距离向量求法易于学生理解解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线作法不作要求）完成这道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者特殊情
4、况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧例2如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1正方形，四边形是矩形，（）若，求直线AB到面距离（II） 试问：当长度为多少时，二面角大小为 解：（）如图建立空间坐标系，则设面法向量为则得直线AB到面距离就等于点到面距离，也等于向量在面法向量上投影绝对值，（II）易得面法向量向量夹角为由 得 当时，二面角大小为 设计说明：通过（），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影绝对值解题思路与方法通过（II），复习面面角转化为两向量夹角或其补角方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况例正三棱柱
5、所有棱长均为，是侧棱上任意一点（）求证： 直线不可能与平面垂直；（II）当时，求二面角大小 证明：（）如图建立空间坐标系，设则坐标分别为，不垂直直线不可能与平面垂直（II），由，得即又是面法向量设面法向量为，由得,设二面角大小为则二面角大小为设计说明：前面选择两个题，可有现成坐标轴，但本题、轴需要自己添加（也可不这样建立）第（）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面法向量不平行通过上面例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ）解决空间角和距离作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行，甚至有（例）还较为简单，用向量法好处在于克服传统立几以
6、纯几何解决问题带来高度技巧性和随机性向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中难点，是解决立体几何问题重要工具充分体现出新教材新思想、新方法优越性这是继解析几何后用又一次用代数方法研究几何形体一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现练习：在正四面体中，棱长为，E,分别为SA和BC中点，求异面直线BE和SF所成角（）在边长为菱形ABCD中，将菱形沿对角线AC折起，使 折起后BD，求二面角余弦值（）在四棱锥中，底面为矩形，底面，且，问平面与平面能否垂直？试说明理由（不垂直）在直三棱柱中，分别为中点，且（） 求到面距离；（）（） 求到面距离（）ACDBEF .如图，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC 900，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点F是AE中点.（）求证：DF平面ABC；（）求AB与平面BDF所成角大小. （arcsin）8 / 8