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1、 概率论与数理统计练习与测试 第五章（南工大应用数学系 编）（苏大版） 大数定律与中心极限定理1. 设随机变量x的方差为2.5。利用契贝雪夫不等式估计： 的值。解：由契贝雪夫不等式：，又已知，故 。2. 已知某随机变量x的方差Dx=1，但数学期望Ex=m未知，为估计m，对x进行n次独立观测，得样本观察值x1，x2，xn。现用 。解：因又x1，x2，xn相互独立，故 ，根据契贝雪夫不等式，有 ，即，再由 。3. 设在由n个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为设m表示在这n次试验中遇到的开电次数，欲使开 电频率与开电概率p=0.5的绝对误差小于=0.01，并且要有99%以
2、上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n应该是多少？解：欲使，即，亦即，则tN(0，1)且有 由，以p=q=1/2代入可得 n=16641。P43T3 4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n次射击的独立试验，令x表示n次射击击中目标的次数，则x服从参数为n，p=0.005的贝努利概型，由隶莫弗拉普拉斯定理可得 ，查表得n1791。5. 随机变量x表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出的次数。试分别用契贝雪夫不等式及
3、中心极限定理估计满足下式的n： 解：记，由于xB(n，p)，故Ex=np，Eh=p，。(1)根据契贝雪夫不等式，有 ，为使 ，解得 ；(2) 以表示每次试验时A出现的次数，则服从参数为p的二点分布，且E=p，D=p(1-p)1/4，而是n个独立同分布的随机变量之和， 故由中心极限定理知，因此有 ，为使 。P44 T5 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这
4、种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：(1)以表示100人中治愈人数，则 b(100,0.8)所求概率为 ；(2)依题b(100,0.7)则 。7. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。解：定义承机变量。则是独立同分布的，且，。显然表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。此为n=10000，p=0.756的贝努利概型，由隶莫弗拉普拉斯定理可得 。8. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。解：令则是
5、服从参数n=50000，p=0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗拉普拉斯定理可得 。9. 某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。解：令则服从参数p=0.8的二项分布。且E=0.8，D=0.16，表示到会的总人数，则， 由中心极限定理得 。 P45 T7 10.由题意每次试验对总量不产生影响，设第i次试验Xi=1(长度小于3m)，Xi=0（长度大于3m） X为长度小于3m的总数 X=（求和号，1到100）Xi E(Xi)=1*0.2+0*0.8=0.2 D(Xi)=E(Xi2)
6、-E(Xi)2=0.2-0.04=0.16 由独立同分布中心极限定理：XN(n*u,n*2) (近似于)=N(100*0.2,100*0.16) PX30=1-PX30=1-(30-20)/(16)1/2=1-(2.5)=0.0062 此题还可看做100重伯努利实验，XB(100,0.2) E(X)=100*0.2，D(X)=100*0.2*0.8 PX30=(求和号，30到100)二项概率公式 由中心极限定理，X分布近似于N（100*0.2,100*0.2*0.8） PX30=1-PX30=1-(30-20)/sqrt(16)=1-(2.5)=0.0062 P44 T4 11. 某车间有10
7、0台车床，每台独立工作，开工率为0.7. 开工时每台耗电量为1千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以99.7% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？ 解：（1） 1,正常工作 xi= EXi=0.7 DXi=0.21(=2) 注：本文档中sqrt（）代表根号 0,不正常工作 =代表约等号 P65100xi75=(75-70)/sqrt(0.21*100)-(65-70)/sqrt(0.21*100) =(1.09)-(-1.09)=2(1.09)-1 =0.8621x2-1=0.7242 （2） 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力设 X 为开工的车床数，则 X B(100,0.7) ,由Laplace中心极限定理知，X N (70, 21) (近似) P( 0=X=a)=99.7% P( 0=X20002000=1-（(2000-50n)/(2.5sqrt(n)） （(2000-50n)/(2.5sqrt(n)） =0.95 = 2000-50n)/(2.5sqrt(n) =1.645 = Sqrt(n)=6.2826 n= 39.4836 对n取整，所以，n为39袋。