第12章 达朗伯原理.pdf

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1、 12-1 第第 12 章章 达朗伯原理达朗伯原理 三大定理可解决所有动力学问题，但有些问题的求解并不方便，如多刚体动力学（机器 人自由度较多），而用分析力学分析力学的方法则较方便。分析力学的基础则是 达朗伯原理达朗伯原理用静力学方法解决动力学问题，亦称动静法动静法。 虚位移原理虚位移原理用动力学方法解决静力学问题 动静法特点动静法特点：简单、新颖、实用，只用一个概念（惯性力）、一个理论（达朗伯原理）， 而不用前面三大定理中诸多概念（动能、动量、动量矩、功、冲量等）。 12.1 惯性力惯性力 达朗伯原理达朗伯原理 一一、 质点的惯性力质点的惯性力、达朗伯原理达朗伯原理 静力学问题：0F （主动

2、力反力） 动力学问题：0F ，而是：maF 0Fma 0FQ 形式上的平衡问题，质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理 式中 Qma 虚加于质点上的力惯性力惯性力 即， 对非平衡质点， 若虚加上惯性力， 则转化为形式上的平衡问题， 即质点所受主动力、 约束力和惯性力组成形式上的平衡力系，可象静力学一样列平衡方程。 注注： 有的书 （如本书） 认为惯性力是质点作用于施力体上的力， 但假设加在研究质点上。 这种理解并无更多的意义，且易产生误解。 二二、 质点系的惯性力质点系的惯性力、达朗伯原理达朗伯原理 质点系每个质点的惯性力： iii Qm a ，则所有质点的惯性力组成一惯性力系。与真实 力系一样，惯

3、性力系可进行简化，特别是对刚体，这种简化非常必要。 给所研究的质点系加上惯性力系后， 则转化为形式上的平衡问题， 可列任意平衡方程求 解。质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 问题问题：惯性力系（主要是刚体）如何加？ 12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 一一、 平动刚体平动刚体 iiC Qm a 12-2 向质心简化：（如图） 主矢惯性力：() iiCC QQm aMa 主矩惯性力偶：() ()0 gCCiiiCi iCCC MmQrm am raMra 二二、 定轴转动刚体定轴转动刚体 只讨论平面情形，即绕垂直于质量对称面之轴的转动刚体。 ii ar ， 2n ii ar， ii

4、 i Qm r ， 2n ii i Qm r 向轴 O 点简化： （如图） 主矢惯性力：() n iiiCCCn QQm aMaMaMaQQ 主矩惯性力偶： 2 ()()()() gOOiOiiii iO MmQmQQ rmrI 亦可向质心 C 简化： （如图） 主矢惯性力：完全同上。 主矩惯性力偶： 2 ()()()() gCCiCiiii iC MmQmQQ rm rI 三三、 平面运动刚体平面运动刚体 动系：随质心 C 平动。则 iCir aaa ， iiiiCiir Qm am am a 向质心 C 简化：（如图） 主矢惯性力：() iiiC QQm aMa 主矩惯性力偶： ()()(

5、 ) gCCiCiCiiriiCiiir i iCi iirCCi iiri iir MmQmm am arm arm a m ram raram ram ra 即： 2 gCi iC Mm rI 注意注意：以上诸式中为代数量，故前面有“”号。但在解题时，总是画出惯性力与惯 性力偶的正确方向，故写惯性力与惯性力偶时总是写成： xCx QMa， yCy QMa， gCC MI 例例 1 （补充，老书例 14-1） 用达朗伯原理求解 达朗伯原理列( )0 O mF 与动量矩定理 ( ) d () d eO O L mF t 等效。 12-3 图示系统图示系统。 均质滚子均质滚子 A、 滑轮滑轮 B

6、 重量和半径均为重量和半径均为 Q 和和 r， 滚子纯滚动滚子纯滚动，三角块固定不动三角块固定不动，倾角为倾角为 ，重量为重量为 G， 重物重量重物重量 P。求滚子运动到斜面中部时求滚子运动到斜面中部时，质心质心 C 的加速的加速 度和地面给三角块的反力度和地面给三角块的反力。设三较块底边长设三较块底边长 b，斜面长斜面长 L。 分析分析： 先考虑求 aC。 惯性力中包含 aC。 研究对象如何取？ 先尽量不拆开物系。考虑整体，包含地面反力，故 不能求 aC。考虑重物、轮子和滚子组成的物系， 加惯性力后受力如图。 考虑各惯性力和惯性力偶中的加速度和角加速度 可以统一，N 可以在力矩方程中消去，对

7、 O 列力 矩“平衡” 方程，可求( )0 O mF 所有惯性力和惯性力偶均已知，对整体列“平衡” 方程，可求出地面反力。 解解：I. 求加速度 aC 。 研究重物、轮子、滚子整体，画受力图如图。其中惯性力和惯性力偶大小： 2 2 1 2 1 2 IPCIO ICCIC PPQ FaaMr ggg QQ FaMr gg (1) 且 C ar ( )0 O mF ()(sin)(cos)0 IPIOICIC FP rMQFrMQNOE (2) 考虑滚子受力，列斜面法向平衡方程： 0 n F cos0NQ (3) 将(1)、(3)式代入方程(2)，可求得： sin 2 C QP ag PQ II.

8、 求地面反力。 研究整体，画受力图如图。 0X cos0 HIC XF (4) 0Y 2sin0 HIPIC YPQGFF (5) ( )0 H mF 12-4 ()() 22 (sin)(sin) 2 cos(cos)0 223 HIPIO IC IC bb mFP rQM b QFr Lbb QMG (6) 将前面结果代入以上三式，解得 (sin) cos 2 H Q QP X PQ 2 (sin) 2 2 H QP YPQG PQ 1sinsin ()cos 2222 PbQPbL mPGQ PQ 注：由此题可知，达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理等效。故要求用达朗贝尔原理求解 问题时，

9、不能用此二定理，但可用动能定理求加速度。 例例 2（刚体平面运动微分方程。现用动静法求解） 均质杆AB，质量m，长l。在图示位置释放。求此时杆 的角加速度。 解：画杆受力、运动图，如图。 刚体平面运动微分方程 ( ) ( ) ( ) () e Cx e Cy e CC MaX MaY ImF cos45 CxA maN (1) sin45 CyAB maNTmg (2) 2 1 cos45sin30 122 sin45cos30cos30 22 A AB l mlN ll NT (3) 选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图。 CxCyACA aaaa 2 CA l a 在水平方向上投影：

10、cos45sin30 CxACA aaa (4) 在铅直方向上投影：sin45cos30 n CyACA aaa (5) 选 A 为基点，B 为动点，画加速度图如图。 在铅直方向上投影： BABA aaa 12-5 sin45cos30 n CyABA aaa (6) BA al 联立方程(1)(6)，得 22 3 3 0.666rad/s6.525 rad/s 133 3 g g l 此题共写出 3 个动力学方程，3 个运动学方程，求解还是较繁的。 现考虑用动静法求解现考虑用动静法求解。 解解：画杆受力、运动图，如图。 其中惯性力和惯性力偶： 2 , 1 12 IxCxIyCy IC Fma

11、Fma Mml (a) 考虑列考虑列“平衡平衡” 方程方程。由于由于 NA，TB 不要求不要求，故列方程时尽量避开故列方程时尽量避开。 提问提问：可以么可以么？ ( )0 A mF cos30cos30sin30cos300 222 BIxIyIC lll T lmgFFM (1) 0F 为沿斜面方向投影轴，如图。 cos45cos45sin45cos450 222 BIxIy lll TmgFF (2) 考虑考虑(a)式式，(1)(2)方程包含方程包含 4 个未知量个未知量： aCx， aCy， ， TB 。 选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图 CxCyACA aaaa 考虑刚才的处

12、理方式考虑刚才的处理方式，列上式投影方程时列上式投影方程时 避开避开 aA，即在即在 NA 方向投影方向投影。 在 NA 方向投影： cos45sin450sin(4530 ) CxCyCA aaa (3) 式中 2 CA l a 选 B 为基点，C 为动点，画加速度图如图。 CxCyBCB aaaa 12-6 在铅直方向上投影： 0cos45 CyCB aa (4) 式中 2 CB l a 至此至此，共共 4 个方程个方程，4 个未知量个未知量 联立方程(1)(4)，解得 22 3 3 0.666rad/s6.525 rad/s 133 3 g g l 。 注注 1：应用达朗贝尔原理列力矩平

13、衡方程时应用达朗贝尔原理列力矩平衡方程时，矩心可任意选矩心可任意选，但动量矩定理中矩心不能但动量矩定理中矩心不能 任意选任意选。所以由动静法写出所以由动静法写出 2 个动力学方程个动力学方程比用平面运动微分方程少写比用平面运动微分方程少写 1 个方程个方程； 注注 2：在补充运动方程时在补充运动方程时，用到一些技巧用到一些技巧，避开了中间未知量避开了中间未知量 aA、 aB，只写只写出出 2 个运个运 动学代数方程动学代数方程。 问题问题：既然达朗贝尔原理如此好用既然达朗贝尔原理如此好用，是否可不讲三大定理而只讲此原理呢是否可不讲三大定理而只讲此原理呢？ 在求解众多动力学问题中在求解众多动力学

14、问题中，达朗贝尔原理是好用的达朗贝尔原理是好用的。但由于其所用物理概念很少但由于其所用物理概念很少，故故 定性解释某些问题时受到的局限性也较大定性解释某些问题时受到的局限性也较大，如能量转换如能量转换、碰撞问题等碰撞问题等。三大定理建立了很多三大定理建立了很多 概念概念，故能定性解释许多问题故能定性解释许多问题。 例例 3 （例 12-7）（转子动反力）动静法重要应用） 水平转子水平转子 m = 300 kg， 回转半径回转半径 = 0.2 m， 偏心距偏心距 e = 2 mm，圆盘位置圆盘位置 L1 = 0.40 m， L2 = 0.35 m，起动起动 力矩力矩 M = 150 kNm，在图

15、示位置在图示位置，转速转速 n = 2400 rpm。求此时转子的角加速度和轴承动反力求此时转子的角加速度和轴承动反力。 分析分析：不用动静法如何求？ 转子受力、运动如图。 ( ) () e zz Im F ( ) e Cx MaX AB XX ( ) e Cy MaY AB YY ( ) d () d y e y L mF t B X ( ) d () d ex x L m F t B Y 考虑用动静法求解考虑用动静法求解。 解解：画转子受力、运动图，其中惯性力和惯性力偶向轴上加，如图。 2 , nn ICICIO FmaFmaMm 12-7 式中 2 , 2 80rad/s 60 n CC

16、 aeae n (a) 列“平衡” 方程，并考虑(a)式： ( )0 z m F 0 IO MM 2 2 12.50rad s M m ( )0 y mF 121 ()0 BI XLLF L 1 12 4.000N I B F L X LL ( )0 x m F 121 ()()0 n BI YLLFmg L 3 1 12 () 21.78 10 N n I B Fmg L Y LL 0X 0 ABI XXF 3.000N AIB XFX 0Y 0 n ABI YYFmg 3 19.06 10 N n AIB YFmgY 讨论讨论：如果转子静止如果转子静止，易求得静反力易求得静反力： 0 N

17、s A X 0 N s B X 1372 N s A Y 1568 N s B Y 则附加动反力则附加动反力： 3.000 N ds AAA XXX 4.000 N ds BBB XXX 3 17.69 10 N ds AAA YYY 3 20.21 10 N ds BBB YYY 作业作业：12-3、9、11、17、19、21、29、31 可见，由惯性力引起的附加动反力（沿径向）比静反力要大得多。所以，对旋转机械，必须可见，由惯性力引起的附加动反力（沿径向）比静反力要大得多。所以，对旋转机械，必须 要施以动平衡。要施以动平衡。 问题问题：既然达朗伯原理如此好用，是否可不讲三大定理而只讲此原理呢？ 在求解众多动力学问题中，达朗伯原理是好用。但由于其所用物理概念很少，故定性解释某 些问题时受到的局限性也较大，如碰撞问题。三大定理建立了很多概念，故定性解释许多问 题。有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）