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1、-各类范数定义-第 5 页范数的定义设X是数域K上线性空间，称为X上的范数(norm)，若它满足：1. 正定性：x0，且x=0 x=0；2. 齐次性：cx=cx；3. 次可加性(三角不等式)：x+yx+y 。注意到x+yx+y中如令y=-x，再利用-x=x可以得到x0，即x0在定义中不是必要的。如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=x-y，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=x-y的)度量空间
2、是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。3. 利用内积可以诱导出范数：x=1/2。反过来，范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式x+y2+x-y2=2(x2+y2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。完备的内积空间成为希尔伯特(Hilbert)空间。4. 如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数)，相应的完备空间称为Frchet空间。对于X上的两种范数x,x，若存在正常数C满足xCx那么称x弱于x。如果x弱于x且x弱于x，那么称这两种范数等价。可以证明，有限维空间上的范数都等价
3、，无限维空间上至少有阿列夫1(实数集的基数)种不等价的范数。 算子范数如果X和Y是巴拿赫空间，T是X-Y的线性算子，那么可以按下述方式定义T：T = supTx：x=1根据定义容易证明Tx = Tx。对于多个空间之间的复合算子，也有XY = XY。如果一个线性算子T的范数满足T +，那么称T是有界线性算子，否则称T是无界线性算子。比如，在常用的范数下，积分算子是有界的，微分算子是无界的。容易证明，有限维空间的所有线性算子都有界。 有限维空间的范数基本性质有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素(在这组基下)的坐标的连续函数
4、。性质2(Minkowski定理)：有限维线性空间的所有范数都等价。性质3(Cauchy收敛原理)：实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。常用范数这里以Cn空间为例，Rn空间类似。最常用的范数就是p-范数。若x=x1,x2,.,xnT，那么xp=(|x1|p+|x2|p+.+|xn|p)1/p可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。当p取1，2，的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：x1=x1+x2+xn 2
5、-范数：x2=(x12+x22+xn2)1/2 -范数：x=max(x1,x2,xn) 其中2-范数就是通常意义下的距离。对于这些范数有以下不等式：x x2 x1 n1/2x2 nx另外，若p和q是赫德尔(Hölder)共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：| = |xH*y| 1时F-范数不能由向量范数诱导(|E11+E22|F=21)。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义x=X，其中X=x,x,x是由x作为列的矩阵。由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。另外还有以下结论：ABF = AF B2 以及 ABF = A2 B
6、F矩阵的谱半径和范数的关系定义：A是n阶方阵，i是其特征值，i=1,2,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为(A)。注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即AH*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论：定理1：谱半径不大于矩阵范数，即(A)A。因为任一特征对,x,Ax=x，可得Ax=x。两边取范数并利用相容性即得结果。定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得A Ak1/k。利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：推论1：矩阵序列 I,A,A2,Ak, 收敛于零的充要条件是(A)
7、1。推论2：级数 I+A+A2+. 收敛到(I-A)-1的充要条件是(A)1。酉不变范数定义：如果范数满足A=UAV对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数称为酉不变范数。容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系：定理(Von Neumann定理)：在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。