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1、2.2二次函数图象和性质（1）1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)2.下列函数中,哪些是二次函数？2xy 42312xxy12xxy2xxyxxy12回顾知识:一、正比例函数y=kx（k 0）其图象是什么。二、一次函数y=kx+b（k 0）其图象又是什么。正比例函数y=kx（k 0）其图象是一条经过原点的直线。一次函数y=kx+b（k 0）其图象也是一条直线。三、反比例函数 （k 0）其图象又是什么。xky反比例函数 （k 0）其图象是双曲线。xky(1) 一次函数的图象是一条_，反比例函数的图象是_.(2) 通常怎样画一个函数的图象？直线双曲线(3)
2、 二次函数的图象是什么形 状呢？列表、描点、连线 结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质画二次函数画二次函数的图象的图象212yx列表：列表：由于自变量由于自变量x可以取任意实数，因此让可以取任意实数，因此让x取取0和一些负数，一些正数，和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：并且算出相应的函数值，列成下表：x32.5210.500.5122.534.53.12520.50.12500.1250.523.1254.5212yx1234123412345x212yx34.52.53.1252210.50.50
3、.125000.50.12510.5222.53.12534.5描点：描点： 在平面直角坐标系内，在平面直角坐标系内，以以x取的值为横坐标，相应的取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，函数值为纵坐标，描出相应的点，如图如图列表列表连线：连线：观察和分析：观察和分析：从图（从图（1）看出，点）看出，点A和点和点A ，点，点B和点和点B ，它，它们有什么关系？们有什么关系？点点A和点和点A关于关于y轴对称，点轴对称，点B和点和点B 也是也是由此你能作出什么猜测？由此你能作出什么猜测？我猜测我猜测 的图象关于的图象关于y轴对称轴对称212yx从图还可看出，从图还可看出，y y轴右边描出
4、的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？纵坐标随着增大纵坐标随着增大212yx的图象在的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗轴右边的所有点都具有这样的性质吗 ？我猜想都有这一性质我猜想都有这一性质可以证明上述两个猜测都是正确的，即可以证明上述两个猜测都是正确的，即的图象关于的图象关于y轴对称；轴对称；图象在图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升右升”212yx连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴
5、右边各点顺轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把轴左边的部分（把y轴左边的轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象如图的图象如图212yx1234123412345你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算并计算相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11
6、10 04 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点, ,连线连线y= =x2 2?2xy 二次函数二次函数y=x2的图象的图象形如物体抛形如物体抛射时所经过射时所经过的路线的路线,我们我们把它叫做把它叫做抛抛物线物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点. 议一议议一议(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0呢？(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？观察图象,回答问题：2xy xyO(1)图象是轴对
7、称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?2xy当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.驶向胜利的彼岸例例1、已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判
8、断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得 -8=a(-2)2,解出解出a= -2, 所求函数解析式为所求函数解析式为 y= -2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。2) 1(24（3）由）由-6=-2x2 ,得得x2=3, 所以纵坐标为所以纵坐标为-6的点有两个，的点有两个，它们分别是它们分别是 3x) 6, 3() 6, 3( 与练习练习:1.已知二次函数已知二次函数y=
9、ax2(a0)的图像经过点的图像经过点 (-2,3). (1)求求a的值，并写出这个二次函数的解析的值，并写出这个二次函数的解析式式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置开口方向和图像的位置.驶向胜利的彼岸2.若抛物线若抛物线y=ax2 （a 0），过点（），过点（-1，3）。）。 （1）则）则a的值是的值是 ； （2）对称轴是）对称轴是 ，开口，开口 。（3）顶点坐标是）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的，顶点是抛物线上的 。 抛物线在抛物线在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。在坐标系中画出二次函数在坐标系中画出二次函数及及
10、的图象的图象22yx214yxx00.51200.52822yx描点描点连线连线列表列表x01234014214yx1494描描 点点连连 线线列列 表表对称轴与图象的交点是对称轴与图象的交点是 ；图象的开口向图象的开口向 ；图象在对称轴图象在对称轴右边右边的部分，函数值随自变量取的部分，函数值随自变量取值的增大而值的增大而 ， 简称为简称为“右升右升”；当当x= 时，函数值最时，函数值最 .O( (0，0) )上上减小减小0 0小小： 当当a0时，时，y=ax2的图象具有下述性质的图象具有下述性质.图象是轴对称图形，对称轴是图象是轴对称图形，对称轴是_图象在对称轴图象在对称轴左边左边的部分，函数值随的部分，函数值随自变量取值的增大而自变量取值的增大而 ， 简称为简称为“左降左降”；二次函数二次函数 的图象是的图象是抛物线抛物线, ,) 0(2aaxyY Y轴轴增大增大