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1、12. 1复数的概念解惑解惑二讲练互动探究突破1探究点1复数的概念所以下命题:假设那么(o+l)i是纯虚数;假设，R,且 那么 i+iZ?+i；假设(x24) + (f+3x+2)i是纯虚数，那么实数工=2； 实数集是复数集的真子集.其中正确的选项是()A.B.C.D.【解析】 对于复数历(，GR),当=0且bWO时，为纯虚数.对于 ，假设=1,那么m+i)i不是纯虚数，即错误；两个虚数不能比拟大小，那么 错误；对于，假设x=-2,那么a24=0, x2+3a:+2=0,此时(d一4) + (/+3工 +2)i = 0不是纯虚数，那么错误；显然，正确.应选D.【答案】D类题憾悟判断与复数有关的
2、命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种 类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否认，后肯定”的方法进行解答.(2)化代数形式：对于复数实部、虚部确实定，不但要把复数化为的形 式，更要注意这里。，均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.提醒解答复数概念题时，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质.跟踪训练对于复数。+历(小人R),以下说法正确的选项是(A.假设 =0,那么a+bi为纯虚数B.假设 a+(。一l)i = 32i,那么 =3, b=2C.假设6=0,那么。十万为实数D. i的平方等于1解析：选C.对于A,当。=0时，也可能为实数；对于 B,假
3、设 i+(。-l)i = 3 2i,那么 q=3, b= ;对于D, i的平方为一1 .应选C.探究点2复数的分类租2 +加一6的国当实数m为何值时，复数z=-+(m22机)i： (1)为实数？(2)I! L为虚数？(3)为纯虚数？f m 2 -2勿2 = 0,【解】(1)当即m=2时，复数Z是实数.勿2彳0 9当m2 2m70且mW0,即根W0且mW2时，复数z是虚数.。田()，jtt + 租一6(3)当j-=0,即m=3时复数z是纯虚数m2 -2m0,类题感悟解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为。+历(a, Z?R)的形式，以确定 实部和虚部.(2)定条件
4、：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件 问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+历(a, bR),z为实数=8=0;z为虚数AWO;z为纯虚数=a=0且Z?WO.跟踪训练1.假设复数上一一2+(|-l|l)i(R)不是纯虚数，那么( )A. ci 1B. qW 1 且D.c. 1解析:选C.复数/q2 + (|q 1| - l)i(q R)不是纯虚数，那么有cra20 或|q1| 1=0,解得iW L应选C.2.复数 z=c，一。一2 + (居一3一4)i (其中 eR).(1)假设复数z为实数，求。的值；(2)
5、假设复数z为纯虚数，求a的值.解：(1)因为复数z为实数，所以/3-4=0,所以a= 1或=4.a2-a-2 = 0,(2)因为复数z为纯虚数，所以9_ 所以 =2./一3一40,探究点3复数相等葡(1)2%y+l+(y2)i=0,其中i为虚数单位，求实数, y的值;(2)(x+y) + (yl)i = (2x+3y)+(2y+l)i,其中i为虚数单位,求实数x, y的值.【解】 因为2xy+l+(厂2)i=0,12xy+1 =0, 所以1解得 2J=2.1解得 2J=2.(2)由(x+y) + (yl)i = (2x+3y) + (2y+l)i 得x+y=2x+3y, 厂=2y+l,x=4,
6、解得 -y=-2厂2=0,类题感悟复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复 数相等问题的步骤是分别别离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、 虚部与虚部相等列方程(组)求解.注意在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a, b, c, dR, 即当a, b, c, dR时，a+Z?i = c+di=i = c且/?=d.假设忽略前提条件，那么结论 不能成立.跟踪训练1 .复数 zi = (2m+7) + (/n22)i, Z2 = (m2 8) + (4m+3)i,假设 zi=Z2,那么 m=.解析：因为zi=22,所以(22+7) + (z
7、2 2)i = (m2 8) + (4/n+3)i.由%+7=疗一8,复数相等的充要条件得2 c / icIm2 2=4m+3,解得m=5.答案：52 . A=1, 2,。231 + (/5q6)i, 8= 1, 3, AAB=3, 求实数。的值.解：由题意知，a2 3a 1 +(片一5-6)i = 3( R),(层一3一 1 = 3,(=4 或 =1,所以9即 Wa5i6 = 0,a=6 或4= 1,所以a= 1.验证当堂达标反应达标11.假设复数z=ai2 Z?i（，Z?R）是纯虚数，那么一定有（）A. b=0B.。= 0且比0C. 。=0 或/?=0D. abWO解析：选B. z=ai2
8、bi=abi,由纯虚数的定义可得a=0且Z?W0.2.假设复数z=m2 l+（m2 m2）i为实数，那么实数m的值为（）A. 1B. 2C. 1D. -1 或 2解析：选D.因为复数Z = 77：21+（加2加一2）i为实数，所以加2 根2 = 0, 解得m= 1或m=2.3.假设复数 z=(m+ l) + (m2 9)i0,那么实数 m=m29=0,解析：因为zVO,所以彳,解得2=3.+1 V0,套案 31=1 不：- J4.x+1= (x2-2x-3)i(xeR),那么x=解析:因为xR,所以x+1eR.由复数相等的条件得q解得x=3.答案：3X2%6x+1 =3x22x3=0, j+1
9、 W0,提升强化培优通关1A基础达标1 .以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是()A. 1-iB. 1+iC. -3 + 3iD. 3 + 3i解析：选A. 3 + i的虚部为1, 3i+i2= l+3i的实部为一1,故所求复 数为1i.2 .假设复数 z=(22q) + (22)i(R)是纯虚数，那么()A. 。=0 或 a=2B. =0C. l 且 a中2D. 或 a不2解析：选B.因为复数z=(-2) + (4一一2)i是纯虚数，所以2。=0 且 /一一2W0,所以 a=0.3 .假设 xi i2=y+2i, x, yR,那么复数 x+yi = ()A. -2 + i
10、B. 2 + iC. l-2iC. l-2iD. l+2i解析：选B.由i?= -1,得xi i2=l+xi,那么由题意得l+xi=y+2i,根据 复数相等的充要条件得x=2, y=l,故x+yi = 2+i.4 .以下四个复数中，实部大于虚部的是()A. l+2iB. 1+iC. i2-2iD. 2i解析：选C,复数l+2i的实部为1,虚部为2,实部小于虚部;复数1+i的实部与虚部相等，都是1;复数i22i= -12i的实部为一1,虚部为一2,实部大于虚部；复数2i的实部为0,虚部为2,实部小于虚部.应选C.5 .以下命题：假设z=a + Z?i,那么仅当。=0且时，z为纯虚数；假设 Z；
11、+ 29 = 0,那么 Zl=Z2 = 0；假设实数与出对应，那么实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选A.在中未对z=+Z?i中q, Z?的取值加以限制，故错误；在 中将虚数的平方与实数的平方等同，如假设zi = l, Z2 = i,那么z：+z；= 1 1 =0, 但Z1WZ2手。，故错误；在中忽视0i = 0,故也是错误的.应选A.6 .设 i 为虚数单位，假设 2+qi = /?3i（，bR）,那么。+bi=.解析：由 2+oi = Z?3i（，Z?R）,得 i=3, b=2,那么 +Z?i=3 + 2i, 故答案为一3 +
12、 2i.答案：-3+2i7 .以下命题中，真命题的个数是.实数集与虚数集的交集是0;假设丫十丁二。且x, yGC,那么 x=y=0；假设z= l2i,那么复数z的虚部是2.解析：实数集与虚数集的交集是空集，所以是假命题；当=1, y= i时，f+y2=0同样成立，所以是假命题；复数z的虚部是一2,所以是 假命题.故真命题的个数为0.答案：08 .设z = log2（l+/%） + ilog（3 2）GR）是虚数，那么m的取值范围是解析：因为z为虚数，所以log,（3m）W0,+根0,故 3mW1,解得一1加3且mW2.3m0,答案：(-1, 2)U(2, 3)9 .复数 z=(m2 + 5m+
13、6) + (m22m 15)i.假设复数Z是实数，求实数机的值；假设复数Z是虚数，求实数机的取值范围；假设复数Z是纯虚数，求实数机的值；(4)假设复数z是0,求实数m的值.解：当加一2租15 = 0时，复数z为实数，所以m=5或m=3.(2)当m2 2m1570时,复数z为虚数.所以m字5且m 3.所以实数机的取值范围为mm5且mW 3.m2 2m-15 WO,当1 9 , “八 时，复数Z是纯虚数，所以 2=2.l/7r+5m+6 = 0m2 - 2m-15 = 0,当1“八 时，复数z是，所以根=一3.1m +5/71+6 = 010 .。是实数，b是纯虚数，且满足山一8=3+为，求/+庐
14、的值.解：设。=3，xR 且xWO,那么 ixi = 3+;rf2,即3%什=3%,ci-x=0,。=3,所以彳解方程组，得 那么/+b2=32+(3i)2=0.13x=0.1x=3.B能力提升11 . “复数 4 + (l4+q2)imR)是纯虚数”是2” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.因为1= 一+(，所以假设复数42+(1。+R)是纯虚数，那么 4=0,即。=2;当 =2 时,42+(1 a+2)i=力为纯虚数，应选B.12 .（多项选择）i为虚数单位，以下命题中正确的选项是（）A.假设aWO,那么d是纯虚数B.虚部为一也的虚
15、数有无数个C.实数集在复数集中的补集是虚数集D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等解析：选BCD.对于A,假设=i,那么勿= i2= 1,不是纯虚数，故A错误; 对于B,虚部为一地的虚数可以表示为加一gi（mR）,有无数个，故B正确； 根据复数的分类，判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成 立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确.应选 BCD.13.已矢口 sin 8+icos 0=乎一半i,。0, 2冗,贝1J。=解析：因为sin 9+icos。=当一半i,故sin 0=COS-f3兀又。0, 2呼故。=彳.3兀 故答案为学C拓展探究14.复数 z = m2 + 3m + 1 + (77? + 5m + 6)i0(mR),那么 m 的值为解析：因为z0,不符合题意，舍去;当机=-2时，z= 10,符合题意.故m的值为一2.答案：一215.实数机为何值时，复数2=(小一8根+15) + (源一5机是：(1)纯虚数？等于3+6i?(3)复数 z0?m2 8m+15=0,解：(1)由题意可得 ?解得加=3.m5，nW0,m28m+15 = 3,由复数相等可得 ? 解得相=6.5/72 = 6,fm215 WO,(3) 2 c n 解得根=5.机5根=0,