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1、4.8解三角形的综合应用 考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,1仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图),上方,下方,2方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等 3方位角 指从_方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图),正北,4坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)； (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比,(4)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a
2、， b，进行计算() 【答案】 (1)(2)(3)(4),【答案】 D,2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的() A北偏东15 B北偏西15 C北偏东10 D北偏西10,【解析】 如图所示，ACB90， 又ACBC，CBA45，而30， 90453015.点A在点B的北偏西15. 【答案】 B,【答案】 B,4轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile. 【解析】 设两船之间的距离为d，则d250230225030co
3、s 1204 900， d70，即两船相距70 n mile. 【答案】 70,题型一求距离、高度问题 【例1】 (1)要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则A，B之间的距离为_km.,(2)(2015湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.,【解析】 (1)如图所示，在ACD中， ACD120，CADADC30，,【方法规律】 求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角
4、、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念； (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理,跟踪训练1 (1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75的方向上，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/小时,(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,题型二求角度问
5、题 【例2】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值,【解析】 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇， 则AC14x，BC10 x，ABC120. 根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120， 解得x2. 故AC28，BC20.,【方法规律】 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方
6、向角的含义 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用,跟踪训练2 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值,题型三三角形与三角函数的综合问题 【例3】 (2017湖南四月调研)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2bc)cos Aacos C. (1)求角A的大小； (2)若a3，
7、b2c，求ABC的面积 【解析】 (1)由(2bc)cos Aacos C， 得2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A， 得2sin Bcos Asin(AC)， 所以2sin Bcos Asin B，,【方法规律】 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题,思想与方法系列9 函数思想在解三角形中的应用 【典例】 (12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东
8、方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇,(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 【思维点拨】 (1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围,【温馨提醒】 (1)三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题 (2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.,方法与技巧 1利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义 2在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件,失误与防范 1不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混 2在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.,