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1、8.6热点专题立体几何中的热点问题 热点一空间几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积和体积是每年高考的必考内容，高考对它的考查形式由原来的简单套用公式求解，逐渐变为三视图与柱、锥、台、球的综合问题，题型既有选择、填空题，也与空间位置关系的证明相结合出现在解答题中,【例1】 (1)(2016邢台模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(),A64B72 C80 D112 【答案】 B,(2)(2015新课标全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.,【方法规律】 求锥体的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面积在已知几何体的某一面
2、上求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解,变式训练 1(2016辽宁大连双基检测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，ABC60.PA平面ABCD，且PA3.E为PD的中点，F在棱PA上，且AF1.,(1)求证：CE平面BDF； (2)求三棱锥PBDF的体积 【解析】 (1)证明 取PF的中点G，连接EG，CG. 连接AC交BD于O，连接FO. 由题意可得F为AG的中点，O为AC的中点，FOGC. 因为G为PF的中点，E为PD的中点，GEFD. 又GEGCG，GE，GC平面GEC，FOFDF，FO，FD平面FOD，平面GEC平面
3、FOD. CE平面GEC，CE平面BDF.,热点二平行关系与垂直关系的综合问题 空间中直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心问题，高考始终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，尤其是以多面体(主要是柱体和锥体)为载体的线面位置关系的论证是每年高考的必考内容,【例2】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点,(1)求证：平面ABE平面B1BCC1； (2)求证：C1F平面ABE； (3)求三棱锥EABC的体积 【解析】 (1)证明 在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC. 所以BB1AB. 又因为ABB
4、C，BB1BCB， 所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE. 所以平面ABE平面B1BCC1.,【方法规律】 (1)线面、面面位置关系的证明问题实质是线线、线面、面面位置关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理进行证明 (2)线线位置关系是基础，解题时注意平面几何中位置关系的转化，如：中位线、等腰三角形的中线、平行线分线段成比例等；数量关系与位置关系的转化，如通过计算得到线线垂直等,变式训练 2(2015浙江)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点,(1)证明：A1D平面A1BC； (2)求
5、直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值 【解析】 (1)证明 设E为BC的中点，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE. 因为ABAC，所以AEBC. 故AE平面A1BC. 由D，E分别为B1C1，BC的中点，得 DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A， 所以AA1DE为平行四边形 于是A1DAE.,又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC. (2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.,热点三平面图形翻折问题 将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为平面图形翻折问题，常与空间中的平行、垂直关系以及空间几何体的体积的求法相综合命题,【方法规律】
6、平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化 变式训练 3如图1，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EFAC，EFACO.沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEF平面ABFED，如图2所示,(1)求证：BD平面POA； (2)当PB取得最小值时，求四棱锥PBDEF的体积 【解析】 (1)证明 因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BDAC，所以BDAO. 因为EFAC，所以POEF. 因为平面PEF平面ABFED，平面PE
7、F平面ABFEDEF，且PO平面PEF， 所以PO平面ABFED. 因为BD平面ABFED， 所以POBD.,热点四线面位置关系中的存在性问题 此类探索性问题是近几年在高考中常出现的问题，主要有两类问题：(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；(2)探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么 【例4】 在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形,(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1； (2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论 【解析】 (1)证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1
8、都是矩形， 所以AA1AB，AA1AC. 因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线， 所以AA1平面ABC. 因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.,又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1. (2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点,【方法规律】 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设,变式训练 4如图，在正方体ABCDABCD中，E，F分别是棱BC，CD的中点，G为棱CC上的动点,【解析】 (1)证明 如图，连接BD.,因为AA平面ABCD，BD平面ABCD，所以AABD. 又BDAC，ACAAA，所以BD平面AAC. 因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EFBD， 所以EF平面AAC.又EF平面EFG， 所以平面AAC平面EFG.,