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1、数量关系数学运算 必背 资料整理 （一） 数的整除特性一、数的整除检定除数整除检定性质举例被2/4/8整除特点2若一个数个位能被2整除，则这个数能被2整除2能被2整除4224若一个数末两位能被4整除，则这个数能被4整除48能被4整除3488若一个数末三位能被8整除，则这个数能被8整除544能被8整除2544被3/9整除特点3若一个数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除1+5+6=12能被3整除1569若一个数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除6+5+7=18能被9整除657被5/25整除特点5若一个数个位数能被5整除，则这个数能被5整除0能被5整除43025若一个数末两位能被25整除，则
2、这个数能被25整除75能被25整除4375被11整除特点11若一个数奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之差能被11整除，则这个数能被11整除（9+5）-（6+8）=0能被11整除9658被7/13整除特点7若一个数末三位与前面部分数字之差能被7整除，则这个数能被7整除322-14=308能被7整除1432213若一个数末三位与前面部分数字之差能被13整除，则这个数能被13整除274-1=273能被13整除1274二、数的整除性质1如果两个整数a、b都能被c整除，那么a+ba-b也能被c整除2如果两个整数a、b都不能被c整除那么a与b的和（或差）能或不能被c整除这是一个不肯定的结论。3如果整
3、数a能被c整除，为任意整数，那么am也能被c整除4如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）5. 如果a能被b整除，a又能被c整除，且b和c互质，那么a能被bc整除三、完全平方数12345678910 1 4 9 16 25 36 49 64 81 10011121314151617181920121 144169196225256289324361400（二）数的约数和倍数（对于求大数之间的最大公约数问题，一般采用辗转相除法）EG：6731280921113；280911132583；11135831530 ；583530153 ；530
4、5310 所以6731和2809的最大公因数是53（三）同余与剩余问题一、余数性质：1基本公式：被除数=除数商+余数2余数总是小于除数，即0db二、同余问题：1两个整数a、b,若他们除以m所得的余数相同，则称a与b对于m同余，或称a与b同余。EG：235余3；185余3；则23与15同余。2对于同一个除数m,两个数和（差、积）的余数与余数的和同余。EG:157余1；187余4；则：18+15=33,1+4=5,337的余数与5同余。 18-15=3, 4-1=3,37的余数与3同余。 1815=270,14=4,2707的余数与4同余。三、剩余问题：1同时满足被A整除余X，被B整除余Y的数可以
5、表示为nk+m，其中k为A、B的最小公倍数，m为同时满足被A整除余X，被B整除余Y的最小的整数。EG:11被3整除余2，被5整除余1的数字中的最小的数字，则15n+11也一定满足相同条件。（四）自然数n次方尾数变化情况0n的尾数始终是0；1n的尾数始终是1；2n的尾数以“2、4、8、6”循环变化，循环周期是4；3n的尾数以“3、9、7、1”循环变化，循环周期是4；4n的尾数以“4、6”循环变化，循环周期是2；5n、6n尾数不变始终是5、6；7n的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期是4；8n的尾数以“8、4、2、6”循环变化，循环周期是4；9n的尾数以“9、1”循环变化，循环周期是2。（
6、五）常用计算技巧一、尾数法：1两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。2如果出现了除法，请尽量不要使用尾数法。EG: 199+1919+9999的尾数等于9+9+9=27尾数是7。二、弃九法：1把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原数的弃九数。2当尾数法不能使用的时候，可以考虑采用“弃九法”， 两个数的弃九数之和等于和的弃九数，两个数的弃九数之差等于差的弃九数，两个数的弃九数之积等于积的弃九数。三、提取公因式法：（六）解不定方程一、利用数的奇偶性解不定方程：奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；奇数+偶
7、数=奇数；奇数偶数=偶数；奇数奇数=奇数二、利用数的质合性解不定方程：1既不是质数也不是合数；2是唯一的一个偶质数；20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19三、利用数的整除性解不定方程：四、利用数的尾数法等技巧解不定方程：（七）计算公式及应用一、基本运算律：加法交换律a+b=b+a;加法结合律（a+b）+c=a+(b+c);乘法交换律a*b=b*a;乘法结合律（ab）c=a（bc）；乘法分配律a*(b+c)=a*b+a*c；幂次交换律：aman= anam = am+n; 幂次结合律：(am)n= (an)m = amn; 幂次分配律：(ab)n= anbn 除法同乘法。二、运算
8、公式：完全平方公式：(a士b)2= a22ab+ b2；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全立方公式：(ab) 3=a33a2b+3ab2b3；立方和差公式：a3b3=(ab)(a2ab+b2)；阶乘：n!=123n 0!=1.三、数列求和：1等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d ；递推公式：an=am+(n-m)d ; 求和公式：Sn=；对称公式：am+an=ai+aj，其中m+n=i+j ; 中项求和公式：当n为奇数时，等差中项为：即; 当n为偶数时，等差中项为： 等差中项：若a、c成等差数列，则（）等比数列通项公式：递推公式：求和公式：对称公式：平方数列求和公式：立方
9、数列求和公式：裂项公式（八）几何公式及应用一、必备公式：角度公式：边形内角和（）平面几何公式：三角形正方形长方形圆形梯形平行四边形菱形扇形周长面积备注立体几何公式表面积体积长方体正方体球体圆柱体圆锥体二、必备结论：平面图形：周长一定，越趋近于圆，面积越大；面积一定，越趋近于圆，周长越小。立体图形：表面积一定，越趋近于球，体积越大；体积一定，越趋近于球，表面积越小。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；较小的角对应边也较小。（九）容斥问题当题目中出现两个集合时：AB=A+B-AB当题目中出现三个集合时：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC利用公式法与图示法（十）抽屉原理数学运算提
10、干中要求“至少和保证。”的一些题目们可以应用该原理解决。将多于件的物品任意放到个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于件。将多于件的物品任意放到个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于（）件。（十一）平均数问题一、公式：算术平均数：几何平均数：加权平均数：二、十字交叉法：找出各部分平均值及总体的平均值；平均值间交叉作差，写出部分对应量或对应量的比，得到十字竖式；利用比例关系解答；两部分混合，第一部分平均值为，第二部分平均值为（假设），混合后的平均值为，利用十字交叉法有：（十二）和差倍比问题一、 基本概念：1和倍关系：已知两个及两个以上的数之和与他们之间的倍数关系，求这两个数或这些
11、数各是多少的问题，称为和倍问题。2差倍关系：已知两个数的差及其倍数关系，求这两个数各是多少的问题，称为差倍问题。二、基本公式：1和倍关系：和（倍数+1）=1倍量，1倍量倍数=几倍量；2差倍关系：差（倍数-1）=1倍量，1倍量倍数=几倍量；（十三）浓度问题1浓度问题的基本公式：浓度=2浓度问题中的蒸发情况：“溶质”量是不会因为蒸发而增多或减少的，“蒸发”时，浓度的变化只与溶剂的变化有关。3.一种高浓度的溶液A和一种低浓度的溶液C混合成一种溶液B，那么溶液B的浓度肯定介于溶液A的浓度和溶液C的浓度之间。4.解答溶液的多次混合问题时，要把握好混合的先后顺序：设原溶液为M毫升，每次操作先倒出N毫升溶液
12、，再倒入N毫升清水，反复操作n次时，新溶液浓度=原溶液浓度（）n；设原溶液为M毫升，每次操作先倒入N毫升清水，再倒出N毫升溶液，反复操作n次时，新溶液浓度=原溶液浓度（）n。5解题多用十字交叉法。（十四）日期问题一、闰年判定：1非100的倍数的年份，能被4整除的是闰年（如2008年）2是100的倍数的年份，能被400整除的是闰年（如2000年，1900年不是闰年）3特例：能被400整除的年份中3200年不是闰年二、掌握日期与星期数的关系1.相邻相同“星期数”时，日期的奇偶交替变化：同一月份中，若星期N的日期数为奇数，则与之相邻的星期N必为偶数；与之对应的，若星期N的日期数为偶数，则与之相邻的星
13、期N必为奇数。2.有关M天后是星期几问题：（M+今天的星期数）7，余数余几，星期数的增长数即为几。三、掌握年份与周数的关系1平年共有52周余一天，闰年有52周余两天。2若N年时，某天的星期数为A，那么M年的同一天星期数为A+(M-N+X)。（X为N年与M年间闰年的个数）四、掌握日期与周数的关系1一个小月（30天）由四周零2天组成。也就是说星期N在一个月中至少出现四次，至多出现五次。要使星期N在一个月中出现五次，须使该月的开头2天含星期N。2一个大月（31天）由四周零3天组成。也就是说星期N在一个月中至少出现四次，至多出现五次。要使星期N在一个月中出现五次，须使该月的开头3天含星期N。（十五）年
14、龄问题1、N个人的年龄一定“同增同减”。也就是说，当一人年龄发生变化时，其余人年龄也发生同样的变化。2、无论年份如何变化，N个人的年龄差永远不变。在通常情况下，年龄问题中，一定存在一个恒定值，即年龄差。抓住年龄差这个不变值，往往就抓住了解答年龄问题的突破口。3、要注意年龄的科学性。如人寿命的长短，父子、爷孙年龄差值的科学性等。这些条件往往隐含在题目之中，成为解答年龄问题时必不可少的条件使用，同时，年龄的科学性也可以作为验算的重要手段，辅助我们正确解答年龄问题。4、要注意年龄问题与其他数字特性间的联系，两人年龄间的倍数关系，随着时间的推移，倍数越来越小。当A的年龄B的年龄时，M年后，A年龄为A+
15、M，B年龄为B+M，此时必有。此种性质实际上是年龄问题与自然数倍数性质的结合，通过此法可以快速判定年龄间倍数关系的变化规律。（十六）方阵问题一、实心方阵：总人数=最外层每边人数的平方二、空心方阵：方阵相邻两层相差8人，因此总人数可以看成首项为最外层总人数，公差为-8的等差数列之和，每层总人数=该层每边数4-4（十七）鸡兔同笼问题设鸡求兔，兔头数=（总足数-2总头数）2；鸡头数=总头数-兔头数。（十八）行程问题一、常规的行程问题：1路程=速度时间；平均速度=总路程总时间2行程问题中，路程往往是不变量，速度变化导致时间变化。 3当行程问题中引入“平均速度”的概念时，一定牢记，平均速度=分段路程和分
16、段时间和，切忌认为平均速度就是速度的简单平均。在去程速度为V1回程速度为V2的往返运动中，往返的平均速度=2V1V2/(V1+V2)。4题目中出现数电线杆、数大树、数台阶问题时，当数了N个定点时，N个定点间只有N-1段距离。二、相遇问题：1.相遇问题的基本公式是：相遇路程=（A速度+B速度）相遇时间；相遇时间=相遇路程速度和。2.在通常情况下，相遇问题中的相遇时间是相等的。3.如果题目中某方先出发，注意把他先行的路程去掉，剩下的部分依然是相遇问题。4.环形路上的相遇问题，两者若同时同地反向出发，则相遇距离一定为环形路的全长。若两者第一次相遇时距中点M米，则两者在第二次相遇时相距2M米。5.折返
17、跑问题中，两者从两地出发，第一次相遇路程为M，以后再相遇，相遇路程均为2M。6.解答相遇问题中的“列车错车”问题时，计算相遇路程时还要注意算上两列列车本身的长度。7.在解决相遇个数问题时，（例如乘坐某公交车从一终点站到另一终点站用N小时，全程遇到相向而来的同路线公交车M量，那么这路公交车就每隔小时发车一辆）尤其要注意对题意时空情境的想象，解答问题。三、追及问题：1.在一般追及问题中，追及速度等于两运动体的速度之差（大速度小速度）。追及问题的基本公式为追及路程=（大速度-小速度）追及时间2.环形路（如跑道）上的追及问题，两者若同时同地同向出发，大速度者若要追上小速度者一圈，需要追及的路程一定为环
18、形路的总长。3.间歇追及问题实际上是一般追及问题的变形，重点在于把握过程中间歇次数不同所造成的新的路程差。4.“追队伍，追列车”问题中，很多情况下，追及路程还需加上队伍和列车本身的长度。四、速度叠加：1水流问题：水流问题中，船速和水流速度恒定匀速。顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度；船速=（顺水速度+逆水速度）2；水速=（顺水速度-逆水速度）2。在水流问题中，沿水流方向的相遇和追及问题同水流速度无关。当A、B两船在同一河流相向而行时，（A船顺水而行，B船逆水而行）A船顺水速度+B船逆水速度=A船船速+B船船速。当A、B两船在同一河流同向行驶时，（A船船速B船船速）。两船距离拉大
19、/缩小速度=A船船速-B船船速无动力状态下，船（木筏、竹排）的航行速度=水流速度2扶梯问题：扶梯问题与水流问题类似。当人步行方向与扶梯运行方向相同时，人在扶梯上运行的速度=人步行速度+扶梯的运行速度。当人步行方向与扶梯运行方向相反时，人在扶梯上运行的速度=人步行速度-扶梯的运行速度。由于当扶梯运行方向与人行走方向同向时，须将扶梯速度与人行走速度叠加，故我们可以将扶梯看做与人相向而行的运动体，将扶梯问题看做相遇问题。由于当扶梯运行方向与人行走方向逆向时，须将扶梯速度与人行走速度相减，故我们可以将扶梯看做与人同向而行的运动体，将扶梯问题看做追及问题。3时钟问题：分针每分钟走6，时针每分钟走0.5，
20、二者的速度差为5.5/分。时针和分针一天有22次重合，有44次垂直，有22次成一直线。有一把解决时针分针重合、垂直、成直线等问题的金钥匙。分针每12小时追上时针十一次，每次追上时针用时小时。当题目中出现几个钟表，且几个钟表的误差各不相同时。可利用误差的差值。与标准时间的比例关系求解。即若A钟每小时快M分，B钟每小时慢N分钟，则两钟一小时的误差为M+N分钟。（十九）工程问题一、工作量=工作效率工作时间二、工程问题中最常见的解题思路是将总量看作整体“1”。若设整项工程的工作量为“整体1”，那么，如果一个人用n个单位时间完成，则每单位时间的工作量就是，其它技巧往往是在此基础上的变化。三、在工程问题中
21、，常常会出现多人完成的整项工程，某人“停顿”N天的情况。遇到此类问题，考生可先对这一“停顿忽略不计”，用几人合作的工作效率和实际工作时间得到一个超过“整体1”的工作量。这一工作量与“整体1”的差值就是某人单独在N天的工作量。（二十）利润、盈亏、植树问题一、利润问题：1售价=成本（1+利润率）；利润=售价-成本；利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本=售价/成本-1；折扣=打折后的售价/原来的售价。本息=本金（1+年利率）n；n为年数。2利润问题中，所提到的利润率提高（降低）N%，并非是指去年利润率的（1+ N%）倍，而是指去年的利润率+ N%。如某企业2010年利润率为20%，2011年该企
22、业利润率提高了10%，2011年该企业的利润率并非20%（1+10%），而是20%+10=30%。EG: 如某产品原价100元，先将产品价格提升10%，再降低10%，现价为100（1+10%）（1-10%）=99元，售价降低了100-99=1元。若将该产品先降价10%，再提价10%，则产品现价为100（1-10%）（1+10%）=99元，售价仍降低了100-99=1元。二、盈亏问题：（把一定数量的物体分给若干个对象，先按某种标准分，结果刚好分完，或多余（盈）或不足（亏）。问题类型公 式一盈一尽型盈数两次分配个数的差=对象数一亏一尽型亏数两次分配个数的差=对象数一盈一亏型（盈数+亏数）两个分配个
23、数的差=对象数两次皆盈型（大盈数-小盈数）两次分配个数的差=对象数两次皆亏型（大亏数-小亏数）两次分配个数的差=对象数三、植树问题：1不封闭区域植树公式：不封闭的路两端都植树：棵树=总路长间距+1；不封闭的路有一端植树：棵树=总路长间距；不封闭的路有两端都不植树：棵树=总路长间距-1。2封闭区域植树公式：棵树=总路长间距。（二十一）牛吃草的问题1使用单位“1”思想可以引出：假设定一头牛一天吃草量为“1”草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；牛头数原有草量吃
24、的天数草的生长速度。2解决此消彼长问题经常用到的方法是：(牛的头数吃草较多的天数-牛头数吃草较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。牛的头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有的草量。（二十二）统计类问题一、加法原理与乘法原理：1、关于加法原理的运用：加法原理的运用：一项任务，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+MN种不同的方法。2、关于乘法原理的运用：乘法原理的运用：一项任务，完成它需要分成N个步骤，在第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2不同的
25、方法，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有M1M2M3Mn 种不同的方法。二、排列组合问题：1排列定义：从n个不同元素中取出m（mn）个元素排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列，所有不同排列的个数称为从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示，当n、m唯一确定时，Amn的值唯一确定。具体公式：2组合定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，称为从n个元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数称为从n个元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，当n、m唯一确定时，Cmn的值唯一确定。具体计算公式如下：二、概率问题：1古典概率模型事件A发生的概率P（A）=2二项分布概率模型如果在一次试验中事件A发生的概率为P，在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率P（k）= ，这种概率分布模型称为二项分布模型。3条件概率模型条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，条件概率表示为P（AB），读作“在B条件下A的概率”。 P（AB）= 其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，p(B)表示事件B发生的概率。