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1、函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校 周万勇一.周期函数的定义：设函数的定义域为D，若存在常数T0，使得对一切xD，且x+TD时都有，则称为D上的周期函数，非零常数T叫这个函数的周期。二.常见结论 (约定a0)（1），则的周期；（2），或或，或,则的周期； ，则是以为周期的周期函数.（3），则是以为周期的周期函数.（4），则是以为周期的周期函数.（5）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.（6）若且f(x)是偶函数,则是周期为4a的周期函数；若f(x) 是奇函数,则是周期为2a的周期函数。（7）若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（8）若函数在R上满足
2、，且（其中），则函数以为周期.（9）若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.(10)，则的周期；(11)且，或则的周期T=4a；（证明方法：令）(12),则的周期；证明：令，则两式做差得：整理若则证毕否则，这不可能。举个反例：分段函数 ， x的定义域是一系列的点，也是符合题意的。(13)，则的周期.(14)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；(15)周期函数的定义域是无界的；(16)若T为的周期，则也是的周期(17)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期； 推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；三、主要方法：1判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。第 3 页