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1、-利用空间向量的直角坐标巧解立体几何题-第 16 页利用空间向量的直角坐标巧解立体几何题一 知识点精讲1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；建系方法：右手系，从轴到轴是逆时针方向。2空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中
2、的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3 共面向量定理 向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使4推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使5 空间向量基本定理 对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面四点共面与、共面（平面ABC）6空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则，（2）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标（3）模长公式：若，则，（4）两点
3、间的距离公式：若，则，或 （5）夹角公式：（6）如果，那么向量叫做平面的法向量7 空间中的距离：空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1） 两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间
4、的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。 找平面使且，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离，又转化为到平面的距离. 空间向量法、在上取一点A, 在b上取一点B, 设、分别为异面直线a、b的方向向量,求（，），则异面直线的距离（此方法移植于点面距离的求法）（2） 点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P，则线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 等体积法。,如果知道体积和一个面的面积就可以求出这个面上的高。空间向量法法一、设是平面的法向量，在内取一点B, 则 到的距离法二、设
5、于O,利用和点O在内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出8空间中的夹角：空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为、 。（1） 异面直线所成的角 求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一 在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形，解三角形即可。方法二 补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。方法三 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，
6、向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角的余弦为（2） 直线和平面所成的角 斜线为，方法一: “一找二证三求”，先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。方法二: 如果垂足不好确定，可以不作垂足，转化成求点到平面的距离，如何求点到平面的距离呢，可以用体积法。方法三： 空间向量法设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角（3）二面角 分别在两个半平面内作棱的垂线
7、所组成的角就是二面角的平面角。求二面角alb的平面角（记作q）通常有以下几种方法：方法一 根据定义；方法二 过棱l上任一点O作棱l的垂面g，设gaOA，gbOB，则AOBq(图1)；方法三 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点A，分别作另一个平面b的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则ACBq 或ACBpq(图2)；两次垂直，一次连接方法四 设A为平面外任一点，AB，垂足为B，AC，垂足为C，则BACq 或 BAC（图3)；方法五 利用面积射影定理，设平面a内的平面图形F的面积为S，F在平面b内的射影图形的面积为S，则cosq.图 1 图 2 图 3方法六平
8、面向量法法一、在内，在内，则二面角的平面角或其相反数。要靠观察原来的二面角是锐角还是钝角。因为不知道方向向量的方向。法二、设是二面角的两个半平面的法向量，则二面角 的平面角的余弦为或其相反数。如何判断取正还是取负，或其相反数。要靠观察原来的二面角是锐角还是钝角。因为不知道方向向量的方向。对于无棱二面角问题，可以先作出棱，再去求二面角。或者利用空间向量题型一 求距离1 点点距离例1 如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建
9、立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.2 点面距题型二求线面角【例4】如图，在三棱椎P-ABC中，平面ABC，D，E，F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2，（）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；（）求点P到平面DEF的距离。解：（）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），设是平面DEF的一个法向量，则 即 ，取x
10、 =1, 则 ，设PA与平面 DEF所成的角为，则 解（）如图建立空间直角坐标系设是与BE的法向量，又因为 则，可得：取 y=3, 可知评注：求异面直线的距离，关键在于求出异面直线的一个公共法向量和与两异面直线相交的线段的向量。题型三求面面角题型四求二面角【例7】福建理19题在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（）证明：ACSB；（）求二面角N-CM-B的大小；（）求点B到平面CMN的距离。分析：本题若想利用向量的方法解答，首先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性
11、，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明ACSB，只须证明=0，由已知不难推得证明：（）A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），则=（-4，0，0）（0，2，2）=0由此命题得证证明：（）由（）得=（3，0），=（-1，0，）.设=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，有： =3x+y=0， 取z=1，则x=，y=-，=-x+z=0，=(，-，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，cos(，)=.二面角N-CM-B的大小为arcc
12、os.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小。【解析】（1）在中， 得： 同理： 得：面（2）面 取的中点，过点作于点，连接，面面面 得：点与点重且是二面角的平面角设，则，既二面角的大小为题型五 解决探索性问题方法二：空间向量法，底面是等腰梯形，底面的垂线是现成的，合理找轴（2011年12月月考题）直四棱柱中，底面是等腰梯形，为的中点，为中点(1) 求证：；(2) 若，求与平面所成角的正弦值解：(1)证明：连结AD1，在ABD1中E是BD1的中点，F是BA中点，EF/AD1又EF平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1EF平面ADD1A1.(
13、2)解法1：延长D1A1至H，使A1HD1A1，延长DA至G，使AGDA，并连结HG和A1G，则A1GD1AEFA1G平面DEF，A1到平面DEF的距离等于G到平面DEF的距离，设为x由题意可得，DFBCAD1，连DB，在RtD1DB中，DED1B又DB，且DD1，DE，又EFAD1，在DEF中，由余弦定理得：cosEDFsinEDFSDEF1，又点E到平面DGF的距离dDD1不难证明DFG是Rt(FADG)SDFGDFFG1由VEDGFVGDEF得，xSDEFdSDFG，x，x，即A1到平面DEF的距离为，设A1F与平面DEF成角，则sin，即A1F与平面DEF所成角的正弦值为.解法2：建立
14、如图所示的空间直角坐标系Dxyz(DG为AB边上的高)则有A1(，)，F(，0)，D1(0,0，)，B(，0)，E(，)，设平面DEF的一个法向量为n(x，y，z)，由，取x1解得y，z法向量n(1，)，(0,1，)，设A1F与平面DEF所成的角为，则sin|cos，n|，A1F与平面DEF所成角的大小为arcsin.方法：以三视图的背景给出问题，合理画出直观图，找到对应线段的位置关系和线段的长度。(2011年月10月月考题理科)工科 已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB
15、所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，即该几何体的体积V为16 （2）解法1:过点B作BF/ED交EC于F，连结AF，则FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角在BAF中，AB=，BF=AF=即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）异面直线DE与AB所成的角的余弦值为（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.取BC中点O，过点O作OQ
16、DE于点Q，则点Q满足题设. 连结EO、OD，在RtECO和RtOBD中以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切切点为Q 面,面 面 解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则AQBQ - 点Q在ED上，存在使得代入得，解得满足题设的点Q存在，其坐标为17（理）.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图在直观图中，是的中点.侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（1）求出该几何体的体积；（2）求证：EM平面ABC；（3）试问在棱DC上是否存在点N，使N
17、M平面？ 若存在，确定点N的位置； 若不存在，请说明理由.17解:由题意，EA平面ABC , DC平面ABC ,AEDC,AE=2, DC=4 ,ABAC, 且AB=AC=2（1）EA平面ABC，EAAB, 又ABAC,AB平面ACDE , 四棱锥B-ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面积S= 6， 即所求几何体的体积为4分（2）证明：M为DB的中点，取BC中点G，连接EM,MG,AG，= MGDC，且 MG AE，四边形AGME为平行四边形， EMAG, 又AG平面ABC EM平面ABC.（3）由（2）知，EMAG，又平面BCD底面ABC，AGBC,AG平面BCD在平面BCD中，过M作
18、MNDB交DC于点N, MN平面BDE 点N即为所求的点 边DC上存在点N，满足DN=DC时，有NM平面BDE. 解法二：（I）（同解法一） 4分 （II）由（I）知EAAB，EAAC，ABAC。来源:高考资源网KS5U.COM以A为原点如图建立空间直角坐标系Axyz 5分则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，4），M（1，1，2）， 6分显然，为平面ABC的法向量，且=0 7分EM平面ABC. 8分 （III）由（II）得，设在棱DC上存在点，使MN平面BDE，则 9分由 11分在棱DC上存在点N（0，2，1），使MN平面BDE. 12分（20
19、11年8月月考题）（理）（本小题满分12分）（2004福建理）在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（）证明：ACSB；（）求二面角N-CM-B的大小；（）求点B到平面CMN的距离。方法一：根据二面角的定义可作出二面角，进行计算。方法二：空间向量法，底面的直角正三角形，底面的垂线不是现成的。要作出来。18（理）解法一：（）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，
20、NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM.NFE为二面角N-CM-B的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC.又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角N-CM-B的正切值为2.（）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACS
21、O且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0)，=（-1，0，）.设为平面的一个法向量， 取z=1，则x=，y=- =(，-，1)，又=(0，0，2)为平面的一个法向量， ，)=.二面角的余弦值为.（）由（）（）得=（-1，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.10（20
22、09安徽卷理）（本小题满分13分）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.方法：底面是菱形，如何建立空间直角从坐标系，坐标系作在图形的外面本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、
23、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。故四棱锥H-ABCD的体
24、积6 (2009山东卷理)（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；方法：底面的等腰梯形，如何建立空间直角坐标系解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/
25、A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）
26、,（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.8（2009江苏卷）（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 （2）平面平面.【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。（2004北京理）17. （本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，。 （I）求证； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （III）设棱SA的中点
27、为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。方法：图上没有二面角的现成的棱。可以通过作平行线，把二面角的棱补出来17. 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分15分。 （I）证明：如图1图1 底面ABCD是正方形 底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 由三垂线定理得 （II）解： 底面ABCD，且ABCD为正方形 可以把四棱锥补形为长方体，如图2 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角， 又 为所求二面角的平面角 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 即面ASD与面BSC所成的二面角为图2图3 （III）解：如图3 是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点 面ASD，SA是SB在面ASD上的射影 由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为