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1、-习 题 六6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。解 (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系 设振动方程为 时 故振动方程为 (2)设此时弹簧对物体作用力为F，则其中 因而有 (3)设第一次越过平衡位置时刻为，则 第一次运动到上方5cm处时刻为 ，则 故所需最短时间为： 6-2 一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通
2、过点 A时作为计时起点(t0)，经过2s后质点第一次经过点B，再经 2s后，质点第二经过点B，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A点处的速率。解 由旋转矢量图和可知s由于(1) 以的中点为坐标原点，x轴指向右方。t=0时, t=2s时， 由以上二式得 因为在A点质点的速度大于零，所以所以，运动方程为：(2)速度为： 当t=2s时 6-3 一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置6cm处，速度为24，求：(1)周期T； (2)速度为12时的位移。解 (1) 设振动方程为以、代入，得： 利用则解得 (2)
3、以代入，得：解得： 所以 故 6-4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。解 设振动方程为： 根据振动曲线可画出旋转矢量图由图可得： 故振动方程为 6-5 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移7.5 cm，初始速度；(2)其初始位移7.5 cm，初速度。解 设振动方程为 (1) 由题意得： 解得： A=10.6cm 故振动方程为： (2) 同法可得： 6-6 一轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：(1)此小物体是停止
4、在推动物体上面还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?解 (1)小物体停止在振动物体上不分离。(2) 设在平衡位置弹簧伸长，则又 故 当小物体与振动物体分离时 ，即 ，故在平衡位置上方0.196m处开始分离。6-7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处，速度是24。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩系数是多大?解 设振动方程为 则： 以x=6cm v=24cm/s代入得：解得
5、最大位移处： 由题意，知 6-8 两根倔强系数分别为和的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m的物体相连结，组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动?若作谐振动，其周期是多少?若将两弹簧并联，其周期是多少?解 (1) 串接：物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长、 (1) (2) 取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x，两弹簧再次伸长、，则由(1)知 (3)又 (4) (5)由(4)、(5)得 (6)将(6)代入(3)得 看作一个弹簧 所以 因此物体做简谐振动，角频率周期 (2) 并接：物体处于平衡位置时， (7)取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x则 式中
6、、分别为两弹簧伸长 所以 将(7)代入得 看作一个弹簧 所以 因此该系统的运动是简谐振动。其角频率 因此周期 6-9 在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧轨道上放一小物体，使其静上于轨道的最低点，如图所示。若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，试证明：(1)此物体作谐振动；(2)振动周期。证明 取最低点为平衡位置，物体与O点连线偏离的角为。(1) 物体与O点连线偏离角时，指向平衡位置的力矩很小，故，所以 (1)可见该力矩为指向平衡位置的线形回复力矩，故物体作谐振动。(2) 由于 根据(1)式有 令 则 6-10 如图所示，半径为R的圆环静止于刀口点O上，令其在自身平面内作微小的摆动。(
7、1)求其振动的周期；(2)求与其振动周期相等的单摆的长度。解 (1) 设圆环偏离角度为 所作振动为简谐振动 所以 (2) 等效单摆周期为的摆长为。6-11 如图所示，质量为m、半径为R的半圆柱，可绕圆柱的轴线O在重力作用下作微振动，已知半圆柱的质心在距轴处，求其振动周期。解 OC偏离中垂线角时指向中间的力矩根据转动定理 其中 代入得 即 所以 6-12 测量液体阻尼系数的装置如图所示。若在空气中测得振动频率为，在液体中测得振动频率为，求在液体中物体振动时的阻尼因子。解 在空气中振动方程为 在液体中振动方程 (为阻尼系数)对应的振动角频率 则 即 所以 6-13 一弹簧振子，当位移是振幅之半时，
8、该振动系统的动能与总能量之比是多少?位移为多大时，动能和势能各占总能量之半? 解 设振幅为A，弹簧倔强系数为k， (1) 当位移是振幅之半时 (2) 位移为x时，动能、势能各占总能量的一半则有 所以 6-14 一弹簧振子，弹簧的倔强系数，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，(1)求谐振动的振幅；(2)位移是多大时，势能与动能相等?(3)位移是振幅之半时，势能是多大?解 (1) 设振幅为A，由机械能守恒定律，得 (2) 动能、势能相等时有 因此 (3) 位移为振幅一半时，势能为 6-15 如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数，重物的质量为m 6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一
9、水平恒力F10 N向左作用于物体(无摩擦)，使之由平衡位置向左运动了0.05 m，此时撤去力F。当重物运动到左方最大位置时开始计时，求物体的振动方程。解 以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立坐标系, 设振幅为A，由功能原理可得 因此 又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为故得运动方程为 6-16 两谐振动的振动方程分别为 (SI) 试求其合振动的振幅和初相位。解 由振动合成公式，得结合矢量图得6-17 两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 20cm，合振动与第一个谐振动的相位差为。若第一个谐振动的振幅为cm，求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振动的相位差。解 由题意可画出两简
10、谐振动合成的矢量图，由图知 易证 故第一、二两振动的相位差为 6-18 质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动 (S1)求：(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任一位置所受的作用力。解 (1) y方向的振动可化为消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为(2) 由 可得 同理 因此 6-19 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅A10cm，圆频率，当t1.0s时，x10cm处质点的位移为零，速度沿负方向，此时x=20cm处质点的位移为5.0cm，速度沿正方向。已知波长10cm，试写出该波的波函数。解 由已知得 A0.1m, ，波沿x轴正向传播，故可设波函数为：m当t=1s 时，x=0.1m处，y
11、=0m 故故有 (1)对t=1.0s ，x=0.2m 处，有故有 (2)对(1)、（2）两式k取相同的值的根据是10cm由(1)、(2)得 故所求波函数为6-20 一简谐波的周期T=0.5s，波长=10 m，振幅A 0.1 m。当t=0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点与波源重合，且波沿Ox轴正向传播；求：(1)此波的波函数，(2)时刻，处质点的位移；(3)时刻， 处质点的振动速度。解 (1)由已知条件，可设波函数为： 由已知 t=0，x=0时，y=0.1m故 由此得因而波函数为(2) ，处:(3) ，处，振动速度为6-21 一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅为A，频率为，
12、波速为u。设时刻的波形曲线如图所示。求：(1)x=0处质点的振动方程；(2)该波的波函数。解 (1) 设x=0处该质点的振动方程为： 由时波形和波速方向知，；时 故 所以x=0处的振动方程为:(2) 该波的波函数为：6-22 根据如图所示的平面简谐波在t=0时刻的波形图，试求：(1)该波的波函数；(2)点P处的振动方程。解 由已知，得，m (1) 设波函数为 当t=0，x=0时，由图知因此 (或)则波函数为(2) 将P点坐标代入上式，得6-23 已知一简谐平面波的波函数为。 (1)试求t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?(2)画出t4
13、.2 s时的波形曲线。解 (1) 波峰位置满足条件所以 显然k=8时，离坐标原点最近，设通过原点时刻为t，则 所以 (2) t=4.2s时的波形曲线6-24 一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和，波速为u。设t0时的波形曲线如图所示。(1)写出该波的波函数；(2)求距点O分别为和两处质点的振动方程；(3)求距点O分别为和两处质点在t0时的振动速度。解 (1)由图知，故 波函数 (2) 时 时 (3) 6-25 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，试画出点P处质点与点Q处质点的振动曲线，然后写出相应的振动方程。解 ，P处振动曲线振动方程 (2) Q处的振动曲线振动方程
14、6-26 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图。设简谐波的频率为250 Hz，且此时质点P的运动方向向下，求：(1)该波的波函数；(2)在距点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。解 (1) ，又因P点运动方向向下，则波向左传播，设波函数为 t=0，x=0时 ，则因，所以取（或由旋转矢量图知）故波函数为(2) x=100m时，当x=100m时，6-27 如图所示，两列波长均为的相干简谐波分别通过图中的点和。通过点的简谐波在平面反射后，与通过点简谐波在点P相遇。假定波在平面反射时有半波损失，和两点的振动方程分别为和，且，求：(1)两列波分别在点P引起的振动方程；(2)点P的合振动方
15、程(假定波在传播过程中无吸收)。解 (1) (2) 6-28 如图所示，两相干波源和之间的距离为d=30m，且波沿Ox轴传播时不衰减，=9m和=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波源间的最小相位差。解 由题意得 对m处 所以 因此 6-29 在均匀媒质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波函数分别为和，试求Ox轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。解 合振幅最大点满足的条件是可得 合振幅最小点满足的条件是可得 6-30 如图所示，和为两相干波源，相距，的相位比的相位超前，若两波在连线方向上的强度均为，且无吸收。问连线上在外侧各点的合成波的强度如何?又在外侧各点的合成波的
16、强度如何? 解 以为坐标原点，水平向右为x轴正方向,建立坐标系。外侧，、传出的波函数为故 、振动方向相同，振幅相同，且反相，故合振幅为零因此 外侧，、传出的波函数为合振幅为2A，又因波强正比于因此 6-3l 两波在一根很长的弦线上传播，其波函数分别为求：(1)两波的频率、波长和波速；(2)两波叠加后的波节位置；(3)两波叠加后的波腹位置。解 (1) 波动方程可写作标准形式为 故，(3) 节点条件满足 故 ，(3) 波腹条件满足 6-32 在弹性媒质中有一沿Ox轴正向传播的平面波，其波函数为 (S1)，若在x=5.00m处有一媒质分界面，且在分界面处反射波有半波损失，波的强度不衰减。试写出反射波
17、的波函数。解 处的振动方程所以反射波波函数为 6-33 一弦上的驻波方程为 (S1) (1)若将此波视为两列传播方向相反的波叠加而成，求两列波的振幅及波速；(2)求相邻波节之间的距离，(2)求时，位于x0.625m处质点的振动速度。解 (1) 因故 由于 所以 ms(2) 相邻波节间的距离 (3) 故当，时 6-34 一列横波在绳索上传播，其波函数为 (SI)(1)现有另一列横波(振幅也是0.05 m)与上述已知横波在绳索上形成驻波。设这一横波在x0处与已知横波同相位，试写出该波的波函数。(2)写出绳索中的驻波方程，求出各波节的位置坐标表达式，并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。解 (1)
18、设反射波的波函数为： 因x0处与已知波的波函数相位相同，故因而，波函数为 (2) 驻波方程 =波节处应有： 即 (k=0,1,2,)离原点最近的四个波节的坐标数值为： 1m, -1m , 3m, -3m6-35 简谐波在直径d0.10m的圆柱形管内空气媒质中传播，波强度，波速为250，频率为，试计算：(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2)两相邻同相位面(相距一个波长的两个波面)之间的波段中平均含有多少能量。?解 (1) 因 故 (2) 6-36 一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率Hz。若该媒质的密度为800，求：(1)该波的能流密度；(2)一分钟内垂直通过面积的总能量。解 (
19、1) 该波的平均能流密度(2) 一分钟内垂直通过面积的总能量为6-37 一汽笛发出频率为1000Hz的声波，汽笛以10的速率离开你而向着一悬崖运动，空气中的声速为330。(1)你听到直接从汽笛传来的声波的频率为多大?(2)你听到从悬崖反射回来的声波的频率是多大?解 (1) (2) 6-38 一人造地球卫星和地面接收站如图所示。卫星发出Hz的微波信号，卫星地面接收站的本机振荡频率，Hz，当卫星地面接收站探测器检测振荡信号产生的拍频2400Hz，试问此时卫星沿指向地面站方向的分速度是多少?解 卫星发出信号频率，波速为，卫星以沿指向地面站方向的分速度接近地面站(观测者)，故由多普勒效应知地面站接收到卫星发射信号的频率为因地面站本机接收信号频率为，接收信号和本机信号的拍频 故 解得 (利用)-第 38 页-