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1、课程教材教法（2012年增刊）对数学核心概念的理解吴正宪 张秋爽 一、如何提高学生的运算能力 “运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”1一是指运算；二是指运算能力。运算能力不仅仅包括会算和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。 提到运算的意义，我们觉得要让学生积累运算的原型，不断补充进而完善学生对于运算含义的准确把握。运算的多种“原型”包括：加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的
2、和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。 提到算理和算法的关系，我们认为“法理”需要平衡。直观演绎、清晰算法是外在模型，算理是内在的魂。而现在的孩子在学习新知识之前不是一张白纸，他们往往学会了一些所谓的计算方法。但是对于方法背后的道理却是知之甚少或一无所知。怎样引起他们对算理的关注与探究呢？教学中可以借助直观模型，架起算理与算法之间的一座桥梁，使学生能够直观地感悟计算的道理。北京黄城根小学的史冬梅老师的一节“两位数乘两位数”，结合三年级学生的思维特点，借助直观模型，很好地处理了算理与算法的关系。片段一：“算对了”就是真明白了吗? 教师出示问题1412等
3、于多少。在学生独立试做并利用计算器验证出结果，全班学生证明计算结果正确之后，教师说：“既然我们已经认同了14412=168是正确的，大家又会计算过程，是不是就可以下课了呢?”不能下课的呼声顿时而起，“妈妈教会我计算，但是我不知道为什么这样计算”，“竖式计算方法为什么上下摞着写”，“是谁发明这样计算的，人类怎么想到这种方法的”。看似一句简单的“是否可以下课”，引发了学生的深度思考。教师创设这样的问题情境，没有把学生的思维停留在计算的结果，而是为学生提供质疑的空间，让学生带着需求进入后续知识的研究。 片段二：在点子图上刻画思维轨迹。 “我们除了用竖式计算和用计算器计算之外，同学们还有很多计算方法，
4、例如1272，1462，1443，1426，1210124，1252+124，这样计算有道理吗?”学生开始疑惑和茫然，此时教师提供点子图建议学生在图中找答案(每行有14个点，有这样的12行)。学生在点子图中演绎计算道理。如下图所示。 1272 每2行的点数为一份，有这样的6份1252124 1210124 学生在点子图中找到计算的道理，并证实以上几种方法都是正确的。史老师接着追问：“哪幅图能恰当地体现竖式的计算过程?” 史老师在这节课上没有将会写“竖式”作为最终的教学目标，而是在学生已经能够初步掌握竖式计算方法的基础上，提供给学生直观的点子图作为研究素材，使学生的思维轨迹在点子图上留下足迹，使
5、学生丰富多彩的学习成果得以证明。学生计算的方法不完全相同，但都是采用“先分后合”的思路，这一点恰恰就是乘法竖式计算的基本思路。其中最后的追问也体现了直观与抽象的关系，让学生进一步理解计算的道理。 片段三：在点子图中，把抽象的算理和外显的算法进行勾连。 “竖式计算中用到的四句口诀(二四得八，一四得四，一二得二，一一得一)计算的是哪部分?为什么第二层的积要错位写?能在点子图上找到竖式计算的过程并说明道理吗?”提出的问题引发学生思考，学生开始在点子图上寻觅竖式计算的步骤。24=8 410=40 102=201010=100学生将计算过程分成算式： 在点子图中找每个算式对应的位置。如下图所示： 104
6、=40 24=8 1010=100 102=20接着将点子图抽象成矩形，并用数形结合表示计算的过程和道理，如下图：24=8104=401010=100104=4081010=10020 210=20 然后，说明第二层积为什么要错位书写的道理。104=4081010=10020 (整十数与整十数相加，在竖式计算中出现第二层级错位现象。) 最后将所有的积相加，就是1214的计算结果。 在点子图中寻觅竖式计算的足迹，帮助学主还原最简单、最直观的道理和方法，使算理与算法融为一体。 在进行学生前测时，多数学生掌握的是计算的流程，但是为什么这样计算，竖式是怎样演变来的，人类为什么这样规定计算流程，激发了学
7、生的学习需求。点子图将“冷冰冰”的算法和“神秘秘”的算理揭示得如此透彻，让学生清楚“法中见理，理中得法，原本不可剥离”。 回顾以往的教学，不少教师认为计算教学没什么道理可讲，或者不重视引导学生探索计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，就立即引导学生学习竖式，在学生对竖式运算的每个环节没有真正理解的情况下就开始追求计算方法，这就很可能造成学生在没有真正理解道理的情况下，只能靠记忆法则来习得方法和技能。这显然对学生的发展是不利的，而这节课恰恰体现了算理与算法有机融合的鲜活而典型的案例。 因此，教师要给学生提供可以操作、圈画的素材，促使学生有意识地审视自己的操作过程，自觉地把操作过程中所获得的认识进行整理提升，使抽象的算理变得直观形象，使学生在明理中顺利、自然地掌握了算法，促进学生思维的发展，提高运算能力。