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1、-初中数学动点问题归纳-第 9 页动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点xAOQPBy1、（2009年齐齐哈尔市）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动（1）
2、直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标解：1、A（8，0） B（0，6）2、当0t3时，S=t2 当3t8时，S=38(8-t)t提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP为边、OQ为边，OP为边、OQ为对角线，OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、（2009年衡阳市）如图，AB是O的直径，弦BC=2cm，ABC=60（1）求O的直径；（2
3、）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与O相切；图（3）ABCOEFABCOD图（1）ABOEFC图（2）（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，BEF为直角三角形注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结（1）求该抛物线的解析式；xyMCDPQOAB（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行
4、四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 当OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。二、 特殊四边形边上动点PQABCD4、（2009年吉林省）如图所示，菱形的边长为6厘米，从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为
5、平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： （1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；（3）求与之间的函数关系式提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ； 提醒- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位秒的速度向终点C匀速运动，设PM
6、B的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；OMBHACxy图（1）OMBHACxy图（2）（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，MPB与BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类； 第（3）问发现MBC=90，BCO与ABM互余，画出点P运动过程中， MPB=ABM的两种情况，求出t值。 利用OBAC,再求OP与AC夹角正切值.6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，C（0，2)动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点
7、E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF设运动时间为t秒(1)求ABC的度数；(2)当t为何值时，ABDF；(3)设四边形AEFD的面积为S求S关于t的函数关系式；若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S2时，求m的取值范围(写出答案即可)注意：发现特殊性，DEOABACDPOQxy7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且AOC=60，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1a3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设秒后，直线PQ交OB
8、于点D.（1）求AOB的度数及线段OA的长；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形中，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒（1）求直线的解析式；（2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？（3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与
9、的函数关系式，并指出自变量的取值范围；ABDCOPxyABDCOxy（此题备用）（4）当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间
10、为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0t时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答过程提示：第（3）问用相似比的代换，得PF=OA（定值）。 第（4）问按哪两边相等分类讨论PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、 直线上动点8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速
11、度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为秒时，连结，将沿翻折， 点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标； yOxCNBPMA（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由提示：第（2）问发现特殊角CAB=30,CBA=60特殊图形四边形BNPM为菱形； 第(3)问注意到ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与ABC相似的BNQ ，再判断是否在对称轴上。9、（2009眉山）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标
12、为 (1，0)。求该抛物线的解析式；动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形-P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，E为直角顶点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009年兰州）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正
13、半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶
14、点的坐标分别为，延长AC到点D,使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线与轴
15、夹角为.见“最短路线问题”专题。12、(2009年上海市)ADPCBQ图1DAPCB（Q）图2图3CADPBQ已知ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；（2）在图8中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取
16、值范围。当PCBD时，点Q、B重合，x获得最小值； 当P与D重合时，x获得最大值。 第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证BQPBCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。 13、（08宜昌）如图，在RtABC中，ABAC，P是边AB（含端点）上的动点过P作BC的垂线PR，R为垂足，PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上（1）ABC与SBR是否相似，说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB
17、1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值(第13题)(第13题)提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(2009年河北)如图，在RtABC中，C=90，AC = 3，AB = 5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发
18、，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；ACBPQED（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值 提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，； （）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，t时，时15、（2009年包头）已知二次函数（）的图象经
19、过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由提示：第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形； 第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。四、 抛物线上动点16、（2009年湖北十堰市）如图， 已知抛物线（a0）与轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C(1) 求抛
20、物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3) 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标-C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函
21、数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积17、（2009年黄石市）正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，抛物线过三点 （1）求抛物线的解析式；（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状； OyxBEADCF（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由注意：第（2）问，发现并利用好NMFA且NMFA; 第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形
22、，再证明三年共同点： 特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 “坐标几何题”（动点问题）分析070809动点个数两个 一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含60的特殊菱形；AOB是底角为30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论） 广东中考题（2003）