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1、第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义,并能简单应用.在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对
2、任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角,它的终边与圆交于点P(),则比值叫作角的,记作 =;比值叫作角的,记作 =.当1时,任意角的终边与单位圆交于点P(),我们可以唯一确定点P(),点P的纵坐标b是的函数,称为函数,记作:;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作:.通常我们用分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为,余弦函数值有时也叫余弦值.问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值,即若=+2k(kZ),则 .问题3:正、余弦函数值的符号(1)表格表示象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四
3、象限 问题4:周期函数的有关概念(1)一般地,对于函数f(x),如果存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有 ,我们就把f(x)称为周期函数称为这个函数的.(2)正弦函数、余弦函数是周期函数,为正弦函数、余弦函数的周期.如-2,2,4等都是它们的周期.其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为.1.若 0,则的终边(不含端点)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角的终边经过点(-6,8),则 的值为().B.D.3.若点P在角的终边上,且2,则点P的坐标是.4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125时,求分针针尖到分针起始位置的距离
4、(即A到的距离,设分针长为r ).判断正弦、余弦函数值的符号判断下列各式的符号.(1)(-345);(2) 175 248.周期函数的证明已知f(2)(x),求证(x)是周期函数,并求出它的一个周期.利用正弦函数、余弦函数的定义求值已知角的终边在直线x上,求 -的值.若角的终边落在直线上,求+的值.若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值. 已知角的终边经过点P() (x0),且 =x,求 +的值. 1.等于().A.B.D.2.已知 0,那么角是().A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第二或第四象限角D.第一或第四象限角3.求下列式子的值:(1)=;(2) 4
5、05=.4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(1),求证(x)是以2为周期的周期函数.(2011年江西卷)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4)是角终边上一点,且 ,则.考题变式(我来改编):第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性知识体系梳理问题1:正弦余弦角正弦 (R)角 (R) x(xR) x(xR)问题2:相同相同=问题3:正正负负正负负正问题4:(1)非零f()(x)周期(2)2k(k0)最小正周期基础学习交流1 0,可知在第一、四象限及x轴的正半轴上,故在第四象限.2 =.3.(-1,) =2(-)1 =.点P的坐标为(-1,).4.解:1125=3603
6、+45 45=r().重点难点探究探究一:【解析】(1)-345360+15是第一象限角,(-345)0.(2)175是第二象限角,248是第三象限角, 1750 2480, 175 2480)进行分类讨论.于是,正确解答如下:在角的终边上取一点P1(43).则1=5.于是 = =, -=.在角的终边上取一点P2(-4,3).则2=5.于是 = =, -.综上 -的值为或-.【小结】(1)在角的终边上取点,利用定义求 ;(2)若终边落在直线上,则需分两种情况讨论.思维拓展应用应用一:当的终边落在第二象限时,+=+=0;当的终边落在第四象限时,+=+=0.+=0.应用二:f(x)是以为周期的奇函数,f(-)()(3+)()1.应用三:P()(x0),点P到原点的距离.又 =x, =x.x0,2.当时点的坐标为(),由三角函数的定义,有 =,=, +-;当时,同理,可求得 +=.基础智能检测1 120.2若 0 0,则在第四象限;若 0,则在第二象限.故选C.3.(1)1(2)(1)(+6)=1.(2) 405(45+360) 45=.4.解:f(2)(x),即f(2)(x).由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.全新视角拓展-8=,且 ,所以 =,则8.思维导图构建f()(x)