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1、 现代物理学基础思考之十：黑洞问题 目录第一章:黑洞问题提出 1、经典力学框架中黑洞问题 2、广义相对论下黑洞概念 3.能量条件 4.奇点定理与能量条件 5、施瓦西黑洞与拉普拉斯黑洞完全相同 6、量子力学与黑洞 第二章：黑洞问题研究 1.黑洞活动证据 2.彭罗斯和霍金争论 第三章：黑洞存在性质疑 1.席瓦西度规并没预言黑洞一定存在-黑洞不存在一个简单证明 2.黑洞存在性质疑 3、现代天文学实验对于黑洞存在性质疑4、美科学家称宇宙间不存在黑洞 引发激烈讨论第一章 黑洞问题提出1、 经典力学框架中黑洞问题 （1）拉普拉斯黑洞概念提出过程回顾虽然黑洞这个名字直到1968年才由美国科学家惠勒(Whee
2、le)提出来【1】 .然而，有关黑洞研究历史却可追溯到200多年以前.在整个18世纪，科学家们大都相信牛顿光粒子学说，这个学说认为光是由光源以极高速度发出粒子组成.1783年，英国科学家米歇耳(Michell)假定光粒子也像其他物体一样受到引力作用，他计算了一个具有太阳密度天体必须多大，才能使逃逸速度大于光速.米歇耳得出，直径为太阳直径500倍这样一个天体，其逃逸速度应该超过光速.如果这样天体存在，光也不能逃离它们，所以，这样天体人们是看不见.【2】 年，法国拉普拉斯（Laplace，）首次提出了“黑洞”概念，他认为，地球逃逸速度是公里秒，如果地球半径r缩小到几厘米，其密度将非常大，地球表面物
3、体逃逸速度将超过光速次方公里秒，这时，外部光可以射到地球上来，但地球上光却无法逃逸到太空中去，太空外部人看不到地球云层反射光，地球就成了宇宙中一只“黑洞”.同理，如果宇宙中有某些天体密度特别大，也就会变成宇宙中“黑洞”.1798年，法国著名数学家和天文学家拉普拉斯(Laplace)也独立地推导出与米歇耳相同结果.米歇耳和拉普拉斯所提出看不见天体，就是今天所说黑洞.米歇耳和拉普拉斯工作都是建立在牛顿引力理论基础上.由于米歇耳研究没有引起人们注意，直到20世纪80年代才被重新发现，因此用牛顿力学得出黑洞一直被称为拉普拉斯黑洞.给定一个质量为M，半径为R星球，并假设星球质量是均匀分布，再给定一个静止
4、质量为质点，M，下面研究质点在星球引力作用下运动规律，由于讨论静态球对称情况，因此可进一步假设质点只在星球径向做直线运动.首先将球坐标系固定在星球M上，并令坐标原点与星球球心相重合.在牛顿力学中，质点质量是一个常量，根据牛顿第二定律和万有引力定律，质点运动方程为：(1)，公式（1）中是质点径向速度，在球对称问题中，速度u只是r函数，因此有： (2)，将公式(2)代入公式(1)中，整理后可得：（3），对上式积分，并注意边界条件：r =时，u = 0，积分后可得速度公式为： (4)，在后面研究中，需要经常使用参数，即速度与光速之比，由公式（4)可得： (5)，注意公式（3）右端只是函数，因此可以引
5、入势函数，其中满足： (6)，对上式积分，并引入边界条件r =时，=0于是得到： (7)，将引力势代入运动方程(3)中，则牛顿引力场中运动方程为： (8)，对公式(8)取积分，并注意利用公式(2)，再代入边界条件，在r =时，u = 0，= 0于是得到： (9)，公式(9)就是牛顿引力场能量守恒方程.按照牛顿引力理论，一个质点动能若超过它引力势能，质点就能摆脱星球引力而逃逸，对于一个质量为M，半径为R星球来说，在它表面上一个质量为质点，根据能量守恒方程(9)，该质点能够从星球表面逃逸最小速度很容易算出来，把(7)代入(9)，我们有： (10)，由公式(10)可求得逃逸速度： (11)，从上式可
6、以看出，质量越大半径越小星球，其逃逸速度越大.令逃逸速度等于光速，由方程(11)求出半径，这个半径就是拉普拉斯半径.用这一方法，我们最终得到： (12)，式中c代表光速，称为拉普拉斯半径，利用公式(11)很容易得到，当星球半径小于拉普拉斯半径时，即 时，我们有：c (1-3)，这个公式表明，如果光也同一般物体一样受万有引力作用，那么在条件下，光线就不能克服引力场而逃逸.换句话说，根据牛顿引力理论，我们可以得出宇宙中存在这样一种星球，它半径满足条件，即： (14)，这种星球引力是如此之强，光也不能从其表面逃脱，以至一个远方观测者无法接收到从星球表面发出光，这种星球拉普拉斯称其为看不见星，也就是今
7、天所说黑洞.定义1.1：一个星球，如果它逃逸速度大于光速，即光也不能从其表面逃出，这个星球就是黑洞. （2）拉普拉斯黑洞局限性黑洞问题属于强引力问题，在强引力场质点速度可以接近光速.当用相对论方法计算质点速度大于光速0.79倍时，用牛顿力学公式（4）得出速度就会大于光速，而此时牛顿力学早已不适用了.因此，黑洞问题是不能用牛顿力学研究.然而，在200多年前，拉普拉斯在不知道牛顿力学适用范围情况下，用牛顿力学研究了黑洞，并推导出拉普拉斯黑洞.虽然用牛顿力学可以推导出黑洞，由于黑洞属于强引力问题，超出了牛顿力学适用范围，因此，拉普拉斯推导黑洞方法是错误.笔者认为,根据引力质量与电磁质量之间关系,引力
8、质量与电磁质量没有相互作用,因此在经典力学范围内不存在黑洞.参考文献：【1】 Wheeler J A. American Scientist, 1968, 56：1【2】 Michel, J. Philos. Trans. 1783, 74：35-572、广义相对论下黑洞概念米歇耳和拉普拉斯工作提出不久，托马斯杨(Young)发现了光干涉与衍射现象.在以后一百多年间，光波动学说代替了光粒子学说，米歇耳和拉普拉斯建立在光粒子学说基础上得出结论，逐渐被人们淡忘了.直到1916年从爱因斯坦(Einstein)广义相对论中导出了与他们相同结果，米歇耳和拉普拉斯工作才再度引起人们关注.1916年，在爱因
9、斯坦广义相对论发表后不久，施瓦西(Schwarzschild)导出了爱因斯坦场方程一个准确解，即施瓦西解.这个解给出了对静态球对称黑洞，即施瓦西黑洞描述，这标志着用广义相对论研究黑洞开始.【2】按照广义相对论，物质决定时空如何弯曲，而光和物质运动将由弯曲时空曲率决定，当曲率大到一定程度时，光线就无法跑出去了，广义相对论中黑洞概念就是这样产生.下面是钱德拉塞卡（Chandrasekhan S）给出黑洞定义.定义1：黑洞将三维空间分为两个区域，一个是以称之为视界二维光滑曲面为边界内区域，一个是视界以外渐进平直外区域，而且内区域点不能与外区域点交换讯息.定义2：一个星球，如果它逃逸速度小于光速，即物
10、体可以以小于光速度从其表面逃逸，那么这个星球一定不是黑洞.Einstein在广义相对论中所建立引力场方程为：,这个方程是高度非线性，一般不能严格求解.只有在对时空度规附加一些对称性或其他要求下，使方程大大简化，才有可能求出一些严格解.在引力场球对称假定下，可以得到方程史瓦西解： 显然，度规在和0处奇异（趋于无穷大）.但是,处奇异是由于坐标系带来,可以通过适当坐标系变换来避免.1960年代，克鲁斯科(Kruskal)提出一个说法.他说爱因斯坦场方程解之所以会无穷发散，是因为坐标系选择得不好.如果我们选择一个适当坐标系，便可以消除这个奇点.他提出以下坐标变换，把时空坐标(r,t)变换到一对没有物理
11、意义抽象数学坐标(u,v)，叫做克鲁斯科坐标：其中 rs = 2GM 是施瓦兹查尔德半径.逆变换为：将这一变换画成图像，就得到克鲁斯科变换图像.克鲁斯科变换几个特征：1）空间原点 r = 0 从一个几何点变成了一条最上面抛物线.（其实是一个四维曲面.别忘了极角和方位角坐标.）2）施瓦兹查尔德半径被变换到了 u v 坐标系中两条对角线.但是奇点并没有消失.3）整个时空宇宙占据了u-v 坐标系中以对角线 u= -v 为界右上方和以抛物线 r = 0 为界下面所界定区域.4）施瓦兹查尔德半径以内区域变换到了两条对角线以上，原点抛物线以下区域II.5）施瓦兹查尔德半径以外空间变换到了两条对角线右面区域
12、I.从图表上我们看到，克鲁斯科变换并没有把施瓦兹查尔德半径变掉，而是变成了u v 坐标系中两条对角线.u-v 坐标系没有物理意义.真正有物理意义是r t 坐标.时空坐标系中度规是否发散是可以观测到物理现象.一个无穷发散物理现象不应该仅凭坐标系选择而消除，这是常识，也是常理.克鲁斯科认为一个坐标变换就可以改变物理现象，是对相对性原理根本违反.0处奇点是本质.在奇点上，时空曲率和物质密度都趋于无穷大，时空流形达到尽头.不仅在宇宙模型中起始奇点是这样，在星体中引力坍缩终止奇点也是这样.在奇点处，“一切科学预见都失去了效果”，没有时间，也没有空间.无穷大出现显然是广义相对论重大缺陷.世纪初，Einst
13、ein认为“黑洞”成因是引力造成了空间弯曲，故光子无法逃到这种至密天体引力场外.后来，施瓦西（KarlSchwarzschild，）为Einstein“相对论”黑洞确立了一个“视界”，光子只能被禁闭在“视界”之内，“视界”之外空间仍然是平直欧几里德空间，光子仍然遵守地球空间中一切物理定律.广义相对论预言，当大质量恒星达到极高密度时，就在空间形成了一只很深“引力陷阱”，最终把空间弯曲到这样一个程度，以致附近任何物体，包括光线在内被其吞灭，就好像一个无底洞，这样天体称为黑洞.在黑洞中心是一个奇点，那里所有物质都被无限压缩，时空被无限弯曲.按照广义相对论，黑洞并不是通常意义上物质实体，而是一个区域，
14、一个极度弯曲了空间.一旦物质落入这一弯曲了空间，它就立刻消失得无影无踪，不管黑洞吞掉了多少物质，它本身依旧是弯曲空间.根据广义相对论，引力场将使时空弯曲.当恒星体积很大时，它引力场对时空几乎没什么影响，从恒星表面上某一点发光可以朝任何方向沿直线射出.而恒星半径越小，它对周围时空弯曲作用就越大，朝某些角度发出光就将沿弯曲空间返回恒星表面.等恒星半径小到一特定值（天文学上叫“史瓦西半径”）时，就连垂直表面发射光都被捕获了.到这时，恒星就变成了黑洞.说它“黑”，是指它就像宇宙中无底洞，任何物质一旦掉进去，“似乎”就再不能逃出.黑洞是引力汇点.史瓦西这个解奠定了整个黑洞物理学基础，此后在60年代克尔等
15、人又找到另一个轴对称解，被称作克尔度规，在此基础之上又有克尔黑洞. 自世纪年代以来，英国霍金（StephenHawking，）相继提出了“微型黑洞”、“量子黑洞”概念，认为“微型黑洞”可以在宇宙间四处游荡，甚至经常光顾太阳系，并曾对太阳与行星引力场产生过影响.“量子黑洞”是一种“灰色天体”它里面某种“虚粒子”可以从黑洞中“蒸发”出来，故“黑洞不黑”，仍然可以与“视界”外空间交换能量.严格说来，“黑洞”理论本身就是另外一种“引力佯谬”或“引力悖论”，它是按牛顿“万有引力”理论推导出来一种“极限天体”，现实宇宙无法满足这种“极限天体”所要求物理条件，故它不可能得到任何观测与实验检验.当我们在实验室
16、里把某种物质密度加大到一定程度时，这种物质必然因理化环境改变而抗拒密度增加，或始终维持在固态最小密度状态，根本不可能实现黑洞所要求密度条件.就天文观测角度讲，如果某种天体体积与质量达到了一定极限，其内部热能必然导致它熔解、气化、等离子化，通过向外“蒸发”来减少自己质量，从而使自身物质密度维持在一个有限范围之内.比如银心直径已达光年多，它就不得不以蒸发、辐射方式向外界排泄质量，以减少自己质量或扩大自身体积，来维持一个合理平均密度. 黑洞辐射很像另一种有相同颜色东西，就是黑体.黑体是一种理想辐射源，处在有一定温度表征完全热平衡状态.它发出所有波长辐射，辐射谱只依赖于它温度而与其它性质无关.【1】
17、现今主流科学家们对黑洞霍金辐射权威解释包括霍金在内都用“真空中能量涨落而能生成基本粒子”概念.他们认为：“由于能量涨落而躁动真空就成了所谓狄拉克海，其中偏布着自发出现而又很快湮灭正-反粒子对.，量子真空会被微型黑洞周围强引力场所极化.在狄拉克海里，虚粒子对不断地产生和消失，一个粒子和它反粒子会分离一段很短时间，于是就有4种可能性：【1】.两个伙伴重新相遇并相互湮灭.反粒子被黑洞捕获而正粒子在外部世界显形.正粒子捕获而反粒子逃出.双双落入黑洞. 霍金计算了这些过程发生几率，发现过程2最常见.于是，能量账就是这样算：由于有倾向性地捕获反粒子，黑洞自发地损失能量，也就是损失质量.在外部观察者看来，黑
18、洞在蒸发，即发出粒子气流.” 【1】 霍金对黑洞发射霍金辐射解释是：真空里虚粒子对中反粒子易被黑洞俘获，而后与黑洞中一个正粒子湮灭，使黑洞内损失一个正粒子，导致黑洞损失能量而缩小.并使黑洞外面真空中多出一个正粒子.谈到黑洞，离不开史瓦西半径 (Schwarzchild raduis).史瓦西半径是说，在史瓦西半径之內物体，即使加速到接近光速，也沒有办法逃离黑洞.而在史瓦西半径之外物体，可以逃离黑洞重力场.史瓦西半径（Schwarzchild radius）公式如下（文献1）： Rs = 2*G*M/C2上式中： Rs 为史瓦西半径，单位为m； G 为万有引力常数，毕姆斯（Beams，J.W.）
19、等人得到 值为6.674*10-11 m3s-2kg-1（文献2 ）； M 为黑洞质量，单位为kg； C 为光速，其值为 299 792 458 m / s； 这个公式是史瓦西将静态球对称引力场代入广义相对论场方程得到史瓦西解（Schwarzchild Solution）.史瓦西解告诉我们，广义相对论预言一种物体，那就是黑洞.只要接近黑洞到一个限度，你就会发现时空被一個球面(半径为史瓦西半径)分割成两个性质不同区域，这个球面称为“事界”(Event horizon).史瓦西半径公式是说：一个物体囚禁光半径与该物体质量成正比.已知太阳和地球质量，我们不难求出太阳史瓦西半径是3km, 也就是說,
20、质量跟太阳一样黑洞, 如果光接近到3km以內, 就逃不出来了.而地球史瓦西半径为0.9cm.广义相对论引力场在理论上存在着奇性，这种奇性具有十分奇特性质，沿着短程线运动粒子或光线会在奇性处“无中生有”或不知去向.按照广义相对论，演化到晚期星体只要还有两三个太阳质量，就会迟早变为黑洞，包括光线在内任何物体都会被黑洞强大引力吸到里面而消失得无影无踪.不仅如此，黑洞还要不断坍缩到时空奇性.时间停止了，空间成为一个点，一切物理定律，包括因果律都失去意义，一切物质状态都被撕得粉碎.此外，经典理论中一个黑洞永远不能分裂为两个黑洞，只能是两个或两个以上黑洞合为一个黑洞，其结果很可能是整个宇宙变为一个大黑洞，
21、并且早晚要坍缩到奇性.寻找黑洞观测工作也在稳步进展.1970年底，美国和意大利联合发射了载有X射线探测装置卫星，这颗卫星工作到1974年，共探测到161个射线源，经筛选确认，天鹅座X-1最有希望是一个黑洞.另外，圆规座X-1与天鹅座X-1数据非常相似，也很有希望被证认为黑洞.现在关于黑洞理论研究正在进展，观察结果还有待进步证实.无论如何，广义相对论竟然要求这类难以接受奇性，无疑是一个难题.或者广义相对论本身要修改，或者物理学其他基本概念和原理要有重大变更.不管黑洞如何定义，无论是用牛顿力学方法定义，还是按照广义相对论方法定义，定义2均能成立，因为，所谓黑洞是这样一种星球，任何物质都不能逃离出去
22、，如果物质可以以小于光速度逃到无穷远处，那么，这个星球显然不是黑洞.由此我们不难看出，黑洞概念与星球逃逸速度密切相关在爱因斯坦提出广义相对论后，史瓦西首先得到了描述时空方程，也就是著名史瓦西方程.这个方程描述了一种被称为标准恒星模型周围空间.史瓦西方程主要描述恒星外时空和恒星内时空.惠勒根据这个方程首先提出了黑洞存在可能性，同时也拉开了对致密星体尤其是黑洞研究序幕. 参考文献：【3】 约翰皮尔卢考涅：“黑出版社, 2000. 【4】 Kip, S. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einsteins Outrageous Legacy, W. W. No
23、rton, New York. 1994. 3、能量条件纵观人类科学史，可以发现，一切理论或模型成败，关键就在于，由人类经验语言构筑用作认知标准被称为“基本观念”“刚杆或标尺”（scale），是否与客观存在物本质相一致，是否与客观存在物边界条件相一致.这对任何形式表述理论，特别是空间理论，都是一样.物理学家们所用能量条件主要分为两类： 一类被称为逐点能量条件 (pointwise energy condition)， 它们给出是每个时空点上能量动量张量所满足条件； 另一类被称为平均能量条件 (average energy condition)， 它们给出是能量动量张量在平均意义上沿特定类时或类
24、光曲线所满足条件. 这两类中每一类都包含几种不同能量条件， 下面着重介绍逐点能量条件. 首先对能量动量张量本身形式做一个简单分析. 为了让度规张量形式尽可能简化， 人们通常在所谓正交标架场 (tetrad) 下讨论能量动量张量形式注一. 正交标架场 (以下简称标架场) 由一组正交归一基矢量 (ea) 张成， 其中拉丁字母 a, b, . 标识标架场基矢量， 希腊字母 , , . 表示基矢量时空指标. 标架场基矢量满足下列正交归一条件： ab(ea)(eb) = g, g(ea)(eb) = ab 很明显， 标架场不是唯一， 对一个标架场作局域 Lorentz 变换得到仍然是标架场. 由于 Lo
25、rentz 群具有旋量表示 (切空间中一般线性变换群 GL(4, R) 则没有旋量表示)， 因此标架场在讨论引力场与旋量场相互作用时是非常重要工具. 对于我们所要讨论能量条件来说， 标架场优点在于能量动量张量在标架场中分量具有明确测量意义. Hawking 曾经把标架场下能量动量张量分为四种类型， 每种类型均可通过标架场中 Lorentz 变换约化为一个正则形式 (canonical form). 这其中最重要是第 I 类， 其正则形式为： Tab = diag(, p1, p2, p3) 其中 diag 表示对角矩阵， 为标架场中静止观测者 (即世界线切线沿基矢 e0 方向观测者) 测量到能
26、量密度， pi 则为沿三个正交空间方向主压强. 除了极少数特殊情形外， 这种类型能量动量张量涵盖了几乎所有物理上有意义物质分布情形， 下面将只讨论这种类型. 第 I 类能量动量张量正则形式其实就是该张量对角化， 但能量动量张量是一个实对称张量， 按照线性代数中熟知定理， 实对称张量必定可以通过正交变换对角化， 既然如此， 能量动量张量岂不都应该是第 I 类？ 为什么在 Hawking 分类中会出现不止一种类型呢？ 这其中原因在于普通线性代数所讨论内积空间具有正定度规， 而广义相对论中时空度规不是正定 (请读者想一想， 度规非正定性是如何破坏线性代数中有关实对称张量对角化证明？). 下面对几种主
27、要逐点能量条件做一个简单介绍： 弱能量条件 (weak energy condition): 对所有类时矢量 Va， TabVaVb 0. 利用 Tab 正则形式， 我们可以证明： 弱能量条件等价于 0 及 +pi0 (i=1, 2, 3). 充分性证明非常简单： 取 Va=e0 (即静止观测者) 可得 0； 取 Vae0+ei (注意 Va 是趋于而非等于 e0+ei， 因为后者是类光) 则可得 +pi0. 接下来再证必要性： 假设 0 及 +pi0， 则 TabVaVb = V02 + ipiVi2 (V02 - iVi2) 0 其中第一个 “” 用到了 +pi0， 第二个 “” 用到了
28、0 及 Va 类时. 在弱能量条件中最重要部分是 0， 它表明能量密度处处为正. 需要注意是， 虽然上面推导是在使正则形式成立特殊标架场中进行， 但 0 这一结果适用于沿任意类时世界线运动观测者所测得能量密度 (请读者想一想这是为什么？). 由于物理上可以实现所有观测者都是沿类时世界线运动， 因此弱能量条件表明任何物理观测者测得能量密度都处处为正. 在弱能量条件中让 Va 趋于类光， 由能量条件连续性可以得到： 零能量条件 (null energy condition): 对所有类光矢量 ka， Tabkakb 0. 显然 (请读者自行证明)， 零能量条件等价于 +pi0 (i=1, 2, 3
29、). 零能量条件是一个非常弱能量条件， 比弱能量条件更弱. 强能量条件 (strong energy condition): 对所有类时矢量 Va， Tab-(1/2)gabTVaVb 0. 由于 Einstein 场方程可以改写为 Rab = 8GTab-(1/2)gabT (其中 T=Taa 为能量动量张量迹)， 因此强能量条件等价于一个几何条件 RabVaVb 0注二. 从物理上讲， 强能量条件等价于 +ipi0 及 +pi0 (i=1, 2, 3). 这一点证明非常简单， 只需注意到在正则形式下： Tab-(1/2)gabT = (1/2)diag(+ipi, +2p1-ipi, +2
30、p2-ipi, +2p3-ipi) 然后做与弱能量条件相同论证即可 (请读者自行推导上式并完成论证). 显然， 强能量条件比零能量条件强. 但是与强弱二字正常含义不符是， 强能量条件与弱能量条件互不包含， 而非前者强于后者. 事实上， 多数物质主压强 pi 是正， 对于这些物质， 强能量条件其实比弱能量条件还弱注三. 主能量条件 (dominant energy condition): 对所有类时矢量 Va， TabVaVb 0， 并且 TabVb 非类空. 这个能量条件是在弱能量条件之上增添了能流密度矢量 TabVb 非类空这一额外限制. 在正则形式下这一额外限制可以表述为： |TabVb|
31、2 = 2V02 - ipi2Vi2 0. 取 Vbe0+ei 可得 2pi2. 这比弱能量条件中 +pi0 要强. 为了证明 2pi2 也是保证额外限制成立充分条件， 只需注意到： |TabVb|2 = 2V02 - ipi2Vi2 2(V02 - iVi2) 0 这里第一个 “” 用到了 2pi2， 第二个 “” 用到了 0 及 Vb 类时. 将这一结果附加到弱能量条件上可得： 主能量条件等价于 |pi| (i=1, 2, 3). 从定义及上述结果均可看出， 主能量条件显然比弱能量条件强 (从而也比零能量条件强). 但它与强能量条件互不包含. 看到这里， 有些读者可能会产生这样一个疑问：
32、那就是主能量条件中额外限制是说能流密度矢量非类空. 我们知道， 在相对论中如果一个四维矢量类空， 就必定可以找到一个参照系， 使该矢量时间分量为负. 对于能流密度矢量来说， 时间分量就是能量密度， 因此如果能流密度矢量类空， 就说明必定存在一个参照系， 在其中能量密度为负. 但弱能量条件已经表明任何物理观测者测得能量密度都处处为正， 这岂不等于排除了能流密度矢量类空可能性？ 如果这样话， 主能量条件中额外限制变成了弱能量条件推论， 而这两种能量条件岂不变成等价了？ 这种推理显然是错误， 但它究竟错在哪里呢？ 有兴趣读者不妨思考一下， 以加深对能量条件及其观测意义理解. 迹能量条件 (trace
33、 energy condition): T Taa 0. 这是我们要介绍最后一种逐点能量条件. 它表述与度规张量符号约定有关， 在本系列中我们所用约定是 ab = diag(1, -1, -1, -1). 如果做相反约定， 则迹能量条件表述为 T0. 在正则形式下， 迹能量条件等价于 -ipi0， 它与其它能量条件互不包含. 注释 注一 标架基矢 (ea) 是时空坐标函数， 因此叫做标架场. Tetrad 这个名称通常是指四维标架场， tetra- 这个词头含意是 “四”. 标架场另一个常见名称是 vierbein， 源于表示 “四” 德语词头 vier. 在其它维数下， 标架场还有一些常用名
34、称， 比如 triad， pentad， funfbein， elfbein， vielbein， 等. 注二 这里不考虑宇宙学项. 其它能量条件也可以用类似方式改写成几何条件. 注三 由于强能量条件可以写成 TabVaVb(1/2)T， 而弱能量条件为 TabVaVb0， 由于通常 T0， 因此如果把这两个能量条件视为是对 TabVaVb 约束条件， 则强能量条件比弱能量条件强. 当然这种命名理由也不严格， 因为 T0 其实就是迹能量条件， 并非是无条件成立物理事实.4.奇点定理与能量条件 广义相对论经典解 - 比如 Schwarzschild 解 - 存在奇异性. 这其中有奇异性 - 比如
35、 r=2m - 可以通过坐标变换予以消除， 因而不代表物理上奇点； 而有奇异性 - 比如 r=0 - 则是真正物理奇点. 很明显， 在奇点研究中， 真正物理奇点才是我们感兴趣对象. 那么究竟什么是广义相对论中真正物理奇点 (简称奇点) 呢？ 初看起来， 这似乎是一个很简单问题. 奇点显然就是那些时空结构具有某种 “病态性质” (pathological behavior) 时空点. 但稍加推敲， 就会发现这种说法存在许多问题. 首先， “病态性质” 是一个很含糊概念， 究竟什么样性质是病态性质呢？ 显然需要予以精确化. 其次， 广义相对论与其它物理理论有一个很大差异， 那就是其它物理理论都预先
36、假定了一个背景时空存在注一， 因此， 那些理论如果出现奇点 - 比如电磁理论中点电荷所在处场强奇点 - 我们可以明确标识奇点在背景时空中位置. 但是广义相对论描述是时空本身性质. 因此广义相对论中一旦出现奇点， 往往意味着时空本身性质无法定义. 另一方面， 物理时空被定义为带 Lorentz 度规四维流形注二， 它在每一点上都具有良好性质. 因此， 物理时空按照定义就是没有奇点， 换句话说， 奇点并不存在于物理时空中注三. 既然奇点并不存在于物理时空中， 自然就谈不上哪一个时空点是奇点， 从而也无法把奇点定义为时空结构具有病态性质时空点了. 但即便如此， 象 Schwarzschild 解具有
37、奇异性这样显而易见事实显然是无法否认， 因此关键还在于寻找一个合适奇点定义. 为了寻找这样定义， 我们不妨想一想， 为什么即便把 r=0 从时空流形定义中去除， 我们仍然认为 Schwarzschild 解具有显而易见奇异性？ 答案很简单 (否则就不叫显而易见了)： 当一个观测者在 Schwarzschild 时空中沿径向落往中心 (即 r 趋于 0) 时， 他所观测到时空曲率趋于发散. 由于观测者下落是沿非类空测地线进行注四， 这启示我们这样来定义奇点： 如果时空结构沿非类空测地线出现病态性质， 则存在奇点. 这个定义不需要将奇点视为时空流形一部分， 从而避免了上面提到困难. 但是， 这个定
38、义还面临两个问题： 一是 “病态性质” 这个含糊概念仍未得到澄清， 二是在这个定义中， 假如观测者沿非类空测地线需要经过无穷长时间才会接触到时空结构病态性质， 那么奇点存在就不具有观测意义. 为了解决这两个问题， 我们进一步要求定义中涉及非类空测地线具有有限 “长度”， 并且是不可延拓 (inextendible)注五. 这种具有有限 “长度” 不可延拓非类空测地线被称为不完备非类空测地线 (incomplete non-spacelike geodesics). 有了这一概念， 我们可以这样来定义奇点： 如果存在不完备非类空测地线， 则时空流形具有奇点. 这就是多数广义相对论文献采用奇点定义
39、. 这种存在不完备非类空测地线时空流形被称为非类空测地不完备时空， 简称测地不完备时空 (geodesically incomplete spacetime). 在一些文献中， 按照不完备测地线类型， 还将测地不完备时空进一步细分为类时测地不完备与类光测地不完备注六. 这个定义合理性体现在： 在一个测地不完备时空流形中， 试验粒子可以沿不完备非类空测地线运动， 并在有限时间内从时空流形中消失. 这种试验粒子在有限时间内从时空流形中消失行为 - 即测地不完备性 - 可以视为是对时空结构具有 “病态性质” 这一含糊用语精确表述. 这样我们就既解决了 “病态性质” 精确化问题， 又使奇点具有了观测意
40、义. 在一些文献中， 还对奇点存在于过去还是未来进行区分： 如果所涉及非类空测地线是未来 (过去) 不可延拓， 则对应奇点被称为未来 (过去) 奇点. 细心读者可能注意到我们在前面 “长度” 一词上加了引号. 一般来说， 类时测地线长度定义为本征时间： = ds ,但这一定义不适合描述类光测地线， 因为后者对应本征时间恒为零. 因此， 我们需要对长度定义进行推广， 将之定义为所谓广义仿射参数 (generalized affine parameter). 对于一条时空曲线 C(t) (t 为任意参数)， 广义仿射参数定义为： = aVa(t)Va(t)1/2 dt ,其中 Va(t) 为曲线在
41、 C(t) 处切向量 /t 沿该处某标架场 ea(t) 分量， 曲线上各点标价场定义为由某一点标价场平移而来， 求和则是欧式空间中分量求和. 显然， 这样定义广义仿射参数是恒正， 它数值与标架场选择有关. 但可以证明， 广义仿射参数有限与否与标价场选择无关. 因此它对于我们表述奇点定义已经足够了. 需要注意是， 广义仿射参数定义适用于所有 C1 类 (即一次连续可微) 时空曲线， 而不限于测地线. 不难证明， 类时测地线本征时间是广义仿射参数特例 (请读者自行证明). 作为一个例子， 我们来看看 Schwarzschild 解中 r=0 奇点是否满足上面所说奇点定义. 为此我们来证明从 Sch
42、warzschild 视界 (r=2m) 出发沿 r 减小方向径向类时测地线长度 (即本征时间) 是有限. 由 Schwarzschild 度规可知： ds2 = -(2m/r-1)dt2 + (2m/r-1)-1dr2 因此 (请读者补全被省略计算细节) = ds (2m/r-1)-1/2dr m 0， 0a1 恒为 1， 在 r=0 上满足 t20 (t). 显然 (请读者自行证明)， 类时测地线 r=0 沿 t 具有不完备性， 因此这个时空流形具有类时测地不完备性. 另一方面， 所有类光测地线都将穿越区域 r1 而进入平直时空， 因而都是测地完备. 由此可见这个时空具有类时测地不完备性，
43、 但不具有类光测地不完备性注八. 这个反例表明奇点并非都能理解为是从时空中被挖去点 (或点集). 注释 注一 当然， 这里所谓 “其它物理理论” 指是不把时空本身作为研究对象理论. 注二 Lorentz 度规是指 signature 为 (1, -1, -1, -1) 度规 (有些文献定义与本文差一个整体符号). 除 Lorentz 度规外， 人们常常在时空定义中附加一些其它条件， 比如 Hausdoff 性质、 连通性， 等. 对于度规可微性则有假定为 C， 有假定为 Cr (r 为正整数 - 请读者思考一下， r 最小应该是多少？)， 等. 注三 有些物理学家试图将奇点视为时空流形边界 - 被称为奇异边界 (singular boundary)， 但迄今尚未建立令人满意处理方式. 注四 非类空即类时与类光总称. 这里我们所说 “观测者” 是广义， 即试验粒子， 其中包括零质量粒子. 注五 这里我们首先要求时空流形本身是 “不可延拓” ， 即无法等度规地