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1、-初中数学专题：旋转问题-第 5 页第 专题二旋转学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空最后一道题和倒数第二道题，压轴题最后两道“旋转”在苏教版中是一个独立章节，在中考和平时的考试张经常出现，结合三角形，四边形等基本图形考察学生对旋转的应用。同时，旋转对解决动点问题有极大的帮助。一、 基本图形一：将AOB旋转至AOB，图、分别可以得到结论？旋转点会有一组对角相等（考题规律，如果已知条件为较小的角度相等，则题目一定需要较大的角相等；如果条件给出较大的角相等，则一定需要较小的角相等）二、 基本图形二：将AOB旋转至AOB，连接AA与BB，分别在图、中证明OAA与OBB相似。旋转后连接得到的两个三
2、角形相似。因为旋转的两个三角形全等，连接后出现等腰三角形，顶角相等；则底角亦相等；或根据夹角成比例证明相似。三、 解题步骤（1） 第一步：找旋转点，角相等；（2） 第二步：证全等、相似；（3） 第三步：利用全等、相似得到边、角条件。模块精讲例1.在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1） 当点C1在线段CA的延长线上时，如图1，求CC1A1的度数；（2） 如图2，ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA1，CC1，若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；（3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程
3、中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值例2.已知ABC是等边三角形.（1） 将ABC绕点A逆时针旋转角（0180），得到ADE，BD和EC所在直线相交于点O.如图a，当 =20时，ABD与ACE是否全等？（填“是”或“否”），BOE=度；当ABC旋转到如图b所在位置时，求BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B和C，使AB=AB,AC=AC,连接BC，将ABC绕点A逆时针旋转角（0180），得到ADE.BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.例3.（一）如图,在ABC和ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DA
4、E=90当点D在AC上时,如图(1),线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论；将图(1)中的ADE绕点A顺时针旋转角（090）,如图（2）,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由（二） 当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立?不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1,BAC=DAE90；乙：AB：AC=AD：AE1,BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE1,BAC=DAE90例4.【2016扬州】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的
5、延长线交于点E、F，连接EF。设CE=a，CF=b。（1）如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由。例5.【2016淮安】问题背景：如图，在四边形ADBC中，ACBADB90，ADBD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系.小吴同学探究此问题的思路是：将BCD绕点D逆时针旋转90到AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图），易证点C、A、E在同一条直线上，并且CDE是等腰直角三角形，所以CECD，从而得出结论：AC+BCCD.图图图 图图简单应用：（1）在图中，若A
6、C，BC2，则CD.（2）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，弧AD弧BD，若AB13，BC12，求CD的长。拓展延伸：（3）如图，ACBADB90，ADBD，若ACm，BCn（mn），求cd的长(用含m，n的代数式表示)（4）如图，ACB90，ACBC，点P为AB的中点，若点E满足AEAC，CECA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是.例6.【2016宿迁】已知ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将CAD 绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点 （1）如图1，当=90时，G是边AB上一点，且BG=
7、AD，连接GF求证：GFAC； （2）如图2，当90180时，AE与DF相交于点M 当点M与点C、D不重合时，连接CM，求CMD的度数； 设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长课堂练习1.将两块全等的三角板如图摆放，其中A1CB1=ACB=90，A1=A=30（1）将图中的A1B1C顺时针旋转45得图，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BEP1B时，求P1BE面积的最大值课后巩固习题1在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3
8、，4)，将OA绕坐标原点O旋转90至OA，则点A的坐标是2如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC由ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为(第2题图)(第3题图)3如图，在RtABC中，ACB90，B60，BC2，ABC可以由ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A与点A是对应点，点B与点B是对应点，连结AB，且A，B，A在同一条直线上，则AA的长为4把二次函数y(x1)22的图象绕原点旋转180后得到的图象的表达式为5如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，RtABC的三个顶点A(2，2)，B(0，5)，C(0，2)(1)将ABC以点C为旋转中心旋转180，得到A1B1C，请画出A1B1C
9、的图形(2)平移ABC，使点A的对应点A2坐标为(2，6)，请画出平移后对应的A2B2C2的图形(3)若将A1B1C绕某一点旋转可得到A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标(第5题图)6如图，将ABC绕点C(0，1)旋转180得到ABC，设点A的坐标为(a，b)，则点A的坐标为()A. (a，b) B. (a，b1)C. (a，b1) D. (a，b2) （第6题图)(第7题图)(第8题图)7如图，COD是AOB绕点O顺时针旋转40后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且AOD的度数为90，则B的度数是 ()A. 50 B. 60C. 70 D. 758如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFG
10、H，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为，S与的函数关系的大致图象是()9如图，把一个斜边长为2且含有30角的直角三角尺ABC绕直角顶点C顺时针旋转90到A1B1C，则在旋转过程中这个三角尺扫过的图形的面积是(D)A. B. C. D. (第9题图)(第10题图)10 在RtABC中，已知C90，B50，点D在边BC上，BD2CD.把ABC绕着点D逆时针旋转m(0m180)度后，如果点B恰好落在初始RtABC的边上，那么m. 11如图，等腰RtABC中，ACB90，ACBC1，且AC边在直线a上，将
11、ABC绕点A顺时针旋转到位置可得到点P1，此时AP1；将位置的三角形绕点P1顺时针旋转到位置，可得到点P2，此时AP21；将位置的三角形绕点P2顺时针旋转到位置，可得到点P3，此时AP32；，按此规律继续旋转，直至得到点P2016为止则AP2016(第11题图)12在数学兴趣小组的活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上(1)小明发现DGBE，请你帮他说明理由(2)如图，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请帮他求出此时BE的长(3)如图，小明将正方形ABCD绕点
12、A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出GHE与BHD面积之和的最大值，并简要说明理由(第12题图)13在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验如图，表盘是ABC，其中ABAC，BAC120，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1 s，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(2020) cm.(1)求AB的长(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6 s，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014 s，交点又在什么位
13、置？请说明理由(第13题图) 14. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是_；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长