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1、课时限时检测(十二)函数模型及其应用 (时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难函数模型的增长差异1一(二)次函数模型49,10指(对)数函数模型2,8分段函数模型3,711综合应用5,612一、选择题(每小题5分，共30分)1(2014阜阳模拟)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100xBy50x250x100Cy502x Dy100log2x100【解析】根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数
2、模型，代入数据验证即可得，应选C.【答案】C2一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，当剩余的物质为原来的时，需要经过()A5年B4年C3年D2年【解析】由指数函数模型知，x，解得x3.【答案】C3(2014长沙模拟)某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(元)f(n)k(n)(n500)(n为年销售额)，而k(n)若一员工获得400元的奖励，那么该员工一年的销售额为()A800 B1 000 C1 200 D1 500【解析】根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题
3、据题中所给的函数关系式可算得n1 500，故选D.【答案】D图2964某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图296中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为()Ax15，y12Bx12，y15Cx14，y10Dx10，y14【解析】由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180，当y12时，S有最大值，此时x15.【答案】A5一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图297甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图297丙所示(至少打开一个水口)图297给出以下3个论断：0点到3点只
4、进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水也不出水则一定正确的是()A B C D【解析】由丙图知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故正确由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故错误由丙图知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水，故错误【答案】A6(2014福州模拟)下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和
5、时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图应该是匀速的，故对应的图象不正确中的变化率应该是越来越慢的，图象正确；中的变化规律是先慢后快，图象正确；中的变化规律是先快后慢，图象正确，故只有是错误的故选A.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.2
6、88超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元(用数字作答)【解析】高峰时间段200千瓦时的用电电费为：500.5681500.598118.1(元)；低谷时间段100千瓦时的用电电费为：500.288500.31830.3(元)，合计：148.4元【答案】148.48某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析
7、】设过滤n次才能达到市场要求，则2%n0.1%，即n，nlg1lg 2，n7.39，n8.【答案】89(2014晋江模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_【解析】七月份的销售额为500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 8605002500(1x%)500(1x%)2，根据题意有3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，即
8、25(1x%)25(1x%)266，令t1x%，则25t225t660，解得t或者t(舍去)，故1x%，解得x20.【答案】20三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P(亿元)和Q(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式P，Qt，今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x(亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元)求：(1)y关于x的函数表达式；(2)总利润的最大值【解】(1)根据题意，得y(5x)，x0,5(2)令t，t0，则x.yt2t(t2)2.因为20，所以当2时，即x2时，y最大值0.875.答：总利润
9、的最大值是0.875亿元11(12分)(2014威海模拟)新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得101 000万元的投资收益现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：f(x)2；f(x)4lg x2.试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求【解】(1)由题意知，公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是：当x10,1 000时，f(x)
10、是增函数；f(x)1恒成立；f(x)恒成立(2)对于函数模型f(x)2；当x10,1 000时，f(x)是增函数，则f(x)1显然恒成立而若使函数f(x)2在10,1 000上恒成立，整理即29x300恒成立，而(29x)min290，f(x)不恒成立故该函数模型不符合公司要求对于函数模型f(x)4lg x2；当x10,1 000时，f(x)是增函数，则f(x)minf(10)4lg 10221.f(x)1恒成立设g(x)4lg x2，则g(x).当x10时，g(x)0，所以g(x)在10,1 000上是减函数，从而g(x)g(10)4lg 10220.4lg x20，即4lg x2，f(x)
11、恒成立故该函数模型符合公司要求12(13分)(2014长沙模拟)如图298，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|S成正比，比例系数为图298；其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量当移动距离d100，面积S时，(1)写出y的表达式；(2)设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少【解】(1)由题意知，E移动时，单位时间内的淋雨量为|vc|，故y(3|vc|10)(2)由(1)知，当0vc时，y(3c3v10)15，当cv10时，y(3v3c10)15，故y()当0c时，y是关于v的减函数，故当v10时，ymin20；()当c5时，在(0，c上，y是关于v的减函数；在(c,10上，y是关于v的增函数故当vc时，ymin，总淋雨量最少