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1、1.3.1单调性与最大(小)值(三)关于单调性最值现在学习的是第1页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)判断函数 在区间(-1,1)上的单调性.2( )1xf xx 解:设则 f(x1)f(x2)12221211xxxx )1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x xxxxx 1x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0 .即 f(x1)f(x2) .故此函数在(-1,1)上是减函数.1211,xx 现在学习的是第2页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)利用函数单调性判断函数
2、的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 现在学习的是第3页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)1.增函数与减函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x
3、1)f(x2) ,那么就说f(x)在区间D上是增函数 2.单调性、单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 现在学习的是第4页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)(1)任取x1, x2D,且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2);(3)变形;(4)判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)；(5)定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)3.利用单调性定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：4.常见函数的单调性：现在学习的是第5页，共51页1.
4、3.1单调性与最大(小)值(三)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在 上是增函数在 上是减函数-2ba，,2ba在 上是增函数在 上是减函数-2ba，,2ba在(-,+)上是减函数在(-,+)上是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,现在学习的是第6页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)增函数减函数图象图象特征自左至右,图象上升.自左至右,图象下降.数量特征y随x的增大而增大.当x1x2时，y1y2y随x的增大而减小.当x1x2时，y1y2现在学习的是第7页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大(小)
5、值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法现在学习的是第8页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)1.求函数的单调区间;2.判断函数的单调性(证明);5.求函数的最值或值域3.比较函数的大小4.求参数的取值范围现在学习的是第9页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)
6、【例1】函数 y=x2 -2|x|-3 的单调递增区间是_;-1,0,1,+)-21-1oxy2223,0,23,0.xxxyxxx 一、求函数的单调区间现在学习的是第10页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)【1】 求函数 y=|x+1|1x| 的单调区间.解:由 y = | x + 1 |1x |,知xy-112-2o故函数的增区间为1, 1.1,12,2 ,2,11.xxxyx 现在学习的是第11页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)【2】画出函数y = |x2-2x3|的图象.解:当 x2-2x-30 ,即 x 1 或 x3 时,y = x2-2x3=( x-1)2
7、4. 当 x2-2x30, 即 1x3时,y =(x2-2x-3) =(x-1)2+4. 2223,1,3,23,13.xxxxyxxx 或或xyo4-431-1现在学习的是第12页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)【3】求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.解:(1)当x0时,y=-2(x-1)+3x=x+2;(2)当0 x0,则有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).证明:由a+b0,得a-b,b-a.又因为f(x)是R上的增函数, f(a) f(-b), f(b)f(-a), +得f(a)+f(b) f(-a)+f(-b).现在学习的是第23页，共51页1.3.1单调
8、性与最大(小)值(三),12122,10 , ,xxxx 且且分析:设则1212121616()()()()f xf xxxxx 121212()(16)xxx xx x 确定 正负号的关键,是确定12()()f xf x 的正负号.1216x x 由于x1, x2在同一区间内,要使 则需1216,x x 12,4,10,xx 要使 则需1216,x x 12,2,4,x x 例5.求函数 的最大值.16( ),2,10f xxxx 五、求函数的最大(小)值或值域现在学习的是第24页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)例5.求函数 的最大值.16( ),2,10f xxxx 解:任取
9、x1, x2 , x1, x22,4,且x1 x2,1212121616()()()()f xf xxxxx 121212()(16)xxx xx x 当 时,1224xx 12120160.xxx x ，1212()()0,()().f xf xf xf x 即即所以函数f(x)在2,4上是减函数.同理函数f(x)在4,10上是增函数.五、求函数的最大(小)值或值域现在学习的是第25页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)解：函数16( )f xxx在2,4上是减函数.所以f(x)在2,4上有最大值,max16( )(2)210;2f xf函数16( )f xxx在4,10上是增函数
10、.所以f(x)在4,10上有最大值,max1658( )(10)10.105f xf(10)(2),ff 所以函数f(x)在2,10上的最大值是58(10).5f 几何画板现在学习的是第26页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三) 例6.函数f(x)是定义在(0,+)上的递减函数,且f(x) f(3-a),求实数a 的取值范围 【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,若f(2-a) f(3-a),求实数a 的取值范围现在学习的是第28页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)6:( 2,2)( )()( )( 2,2)(2)(1 2 )0f xfxf xfafaa
11、例 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，求 的取值范围.222121 2202221aaaaa 解：由已知得：现在学习的是第29页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)【例3】求f(x)=x2-2ax+2在 2,4 上的最小值.解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2, 当a2时,当2a4 时， 当a4时, i2m n2,(264 ,(2),( )4),188 ,4.aaaf xaaa f(x)min=f(2)=64a;f(x)在 2,4 上是增函数, f(x)min=f(a)=2a2.f(x)在2,4上是减函数. f(x)min=f(4) = 188a.几何画板七、有关
12、最值讨论题现在学习的是第30页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)求最大值： 当 a 3 时， 当 a 3 时， f ( x ) max = )3(818)3(46aaaaxyo2 4x = 3f ( x ) max = f ( 4 ) = 18 8af ( x ) max = f ( 2 ) = 6 4a现在学习的是第31页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)例6.已知f(x)=x24x4,xt,t+1(tR )，求 f(x)的最小值g(t)的解析式.解:f(x)=(x2)28(1)当2t,t+2,即1t2时， g(t)=f(2)=8;(2) 当 t 2 时，g(t) =
13、 f(t)=t24t4;(3)当t+12,即t1时,f(x)在t,t+1上是减函数,g(t)=f(t+1)=t2-2t -7.综上所述:g ( t ) = 272)21(8)1(4422tttttttf(x)在t,t+1上是增函数，xyox = 2t t + 1x = 2x = 2现在学习的是第32页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)教材P11 练习T4.教材P12 A组T7,9,10.现在学习的是第33页，共51页2007年9月13日山东省临沂一中李福国现在学习的是第34页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)1.函数单调性的定义：图象法定义法2.函数单调性的判定：3.函
14、数单调性的应用：(1)设元:对任意x1,x2D,且x1x2(2)作差:f(x1)-f(x2)(3)变形(4)判号 (5)定论思思考考：讨讨论论函函数数的的单单调调性性. .1( )f xxx *求函数 的单调区间.652 xxy现在学习的是第35页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三) 若函数f(x),g(x)在给定的区间I上具有单调性,(1)k0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性； (2)若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.(3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(4)若f(x)0
15、,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)也是增(减)函数;若f(x)0,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)是减(增)函数.单调性性质规律总结:现在学习的是第36页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)(4)奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(5)复合函数fg(x)的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减) .单调性性质规律总结:现在学习的是第37页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)复合函数：y=fg(x)令 u=g(x)则 y=f(u)内函数外函数y=fg
16、(x)原函数以x为自变量以u为自变量以x为自变量(5)复合函数的单调性复合函数单调性结论： 当内外函数在各自定义域内同增同减时,原函数增; 当内外函数在各自定义域内一增一减时,原函数减.现在学习的是第38页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三) (1)f(x)是a,b上增函数,若存在x1, x2a,b且x1x2,则f(x1)f(x2). (2)若存在x1, x2a,b且x1x2,则f(x1) f(x2) f(x)是a,b上增函数 . (3)函数f(x)在a,b上满足f(a) f(b)，则f(x)在a,b上是增函数. (4)若存在x1, x2a,b且x1f(x2) f(x)是a,b上减函
17、数 .（正确）（错误）（错误）（错误）【2】判断下列两个命题的正误：现在学习的是第39页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)的的单单调调区区间间。例例题题、求求函函数数3-2xxy2 1x-3x03-2xx2 ，或，或解：解：），原原函函数数的的定定义义域域为为（ 13 uy, 3-2xxu2 则则令令）上上为为增增函函数数，在在为为减减函函数数，在在（而而）为为增增函函数数，在在 1 33-2xxu 0uy22yx2x-31 3 函函数数的的单单调调递递增增区区间间为为 ，），单单调调递递减减区区间间为为（，现在学习的是第40页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)的单调区
18、间。的单调区间。求函数求函数34xxy2 练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性现在学习的是第41页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)补充练习：的的大大小小。试试比比较较满满足足、已已知知二二次次函函数数f(4)f(2),f(1),t),-f(2t)f(2 0)c(abxaxf(x)12 的的取取值值范范围围。为为增增函函数数，求求实实数数）上上，在在、已已知知函函数数a 25a)x-(2xf(x)32 0bD 0bC 0bB 0bA 0cbxxy22 、）充充要要条条件件是是（）上上是是单单调调函函数数的的，在在、函函数数现在学习的是第42页，共51页1.3.1单调性与最大
19、(小)值(三)的的单单调调区区间间。、求求函函数数3|x|2-xf(x)42 5a a、讨讨论论函函数数f f( (x x) )= =x x+ + ( (a a 0 0) )的的单单调调性性. .x x现在学习的是第43页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)7f(x)0 f(xy)f(x)f(y),f(2)1, f(x)f(x-2)3 、已已知知的的定定义义域域为为（ ，），且且在在其其上上为为增增函函数数，满满足足解解不不等等式式26f(x)1 1f(x-1)-f(x -1)0 x 、已已知知函函数数是是定定义义在在 ，上上的的增增函函数数，且且，求求实实数数 的的取取值值范范围围
20、。8 、已已知知函函数数f f( (x x) )对对任任意意x x, ,y yR R, ,总总有有f f( (x x+ +y y) )= =f f( (x x) )+ +f f( (y y) ), ,2 2 且且当当x x 0 0时时, ,f f( (x x) ) 0 0, ,f f( (1 1) )= =- -3 3( (1 1) )求求证证: :f f( (x x) )是是R R上上的的减减函函数数; ;( (2 2) )求求f f( (x x) )在在 - -3 3, ,3 3 上上的的最最大大值值和和最最小小值值. .现在学习的是第44页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)
21、(1)f(x)是a,b上增函数,若存在x1, x2a,b且x1x2,则f(x1)f(x2). (2)若存在x1, x2a,b且x1x2,则f(x1) f(x2) f(x)是a,b上增函数 . (3)函数f(x)在a,b上满足f(a) f(b)，则f(x)在a,b上是增函数. (4)若存在x1, x2a,b且x1f(x2) f(x)是a,b上减函数 .（正确）（错误）（错误）（错误）【1】判断下列说法是否正确.现在学习的是第45页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)是R上的增函数( ).定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(
22、1),则函数f(x)在R上不是减函数( ).函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2满足 ,则f(x)在区间I上为单调增函数( ). 1212()()0f xf xxx yxO12f(1)f(2)X【2】判断下列说法是否正确.现在学习的是第46页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)定义在R上的函数f(x)在区间(-,0上是增函数,在区间(0,+)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数( ).定义在R上的函数f(x)在区间(-,0上是增函数,在区间0,+)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数( ).yxOX函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2 ,且x11 时,
23、 f(x)0. (1)求证: f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.(1)证: 在中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0. 再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). f(x) 为偶函数. 先讨论 f(x) 在 (0, +) 上的单调性, 任取x1, x2, 设x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在 (0, +) 上是增函数, 由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是减函数. 偶函数图象关于 y 轴
24、对称, (2)解: 在中令 y=, 得: x1由知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =-f(x), x 1 x 1 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 现在学习的是第49页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)(3)解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2, 由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)0, f(x) 在 (0, +) 上为增函数, 由 fx(x-3)f(4) 得: 2)若 x(x-3)0 x(x-3)4 x3 -1x4 -1x0 或 3x4; x(x-3)0 x(x-3)-4 0 x3. 0 x3 xR 原不等式的解集为-1, 0)(0, 3)(3, 4. 注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基本方法是变量代换、换元等, 应熟练掌握它们的这些特点. 法二 原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x0, x-30), 由 f(x) 在 (0, +) 上为增函数得: |x(x-3)|4. 再进一步求得解集.现在学习的是第50页，共51页1.3.1单调性与最大(小)值(三)感谢大家观看现在学习的是第51页，共51页