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1、一维抛物线偏微分方程数值解法（3）上一篇参看一维抛物线偏微分方程数值解法（2） （附图及 matlab程序）解一维抛物线型方程( 理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）Ut-Uxx=0, 0 x1,0t0) U(x,0)=ex, 0=x=1, U(0,t)=et,U(1,t)=e(1+t), 0t xlabel(x);ylabel(t);zlabel(e); title( 误差曲面 ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - -
2、 - - - - - - - plot(x,e) plot(t,e) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 误差较向前欧拉法减小一半但是运行时间较长，约39 秒,而前两次运行只需l 秒左右；u p e x t=CN(0.01,0.01,100,100); 运行需三分钟左右,误差比前次提高五倍,运算量也提高五倍名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理
3、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - u p e x t=CN(0.1,0.1,10,10);surf(x,t,e) 运行需要 2秒；精度还是挺高的；u p e x t=CN(0.1,0.2,10,5);surf(x,t,e) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 误差还可以接受此种方法精度高，计算量
4、较大二：用迭代法解线性方程组：Matlab程序如下：function u e p x t k=CN1(h1,h2,m,n,kmax,ep)% 解抛物线型一维方程 C-N 格式 （ Ut-aUxx=f(x,t),a0)% 用g-s(高斯 - 赛德尔 ) 迭代法解%kmax为最大迭代次数%m,n为x,t方向的网格数，例如（2-0 ）/0.01=200;%e为误差， p为精确解syms temp ;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h1;t=0+(0:n)*h2;for(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i); u(i,m+1)=exp(1+t(i);endfor(i=
5、1:m+1) u(1,i)=exp(x(i);endfor(i=1:n+1)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - for(j=1:m+1) f(i,j)=0;endenda=zeros(n,m-1);r=h2/(h1*h1); %此处 r=a*h2/(h1*h1） ；a=1for(k=1:kmax)for(i=1:n)for(j=2:m) temp=(r/2*u(i,j-1)+(1-r)*u(i,j)
6、+r/2*u(i,.j+1)+h2*f(i,j)+r/2*u(i+1,j-1)+r/2*u(i+1,j+1)/(1+r); a(i+1,j)=(temp-u(i+1,j)*(temp-u(i+1,j); u(i+1,j)=temp;% 此处注意是 u(i+1,j),而不是 u(i+1,j+1)%endend a(i+1,j)=sqrt(a(i+1,j);if(kkmax)break;endif(max(max(a)ep)break; endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i); e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j);end
7、end u e p x t k=CN1(0.1,0.005,10,200,10000,1e-10); 运行速度： 1秒迭代次数 k = 81 surf(x,t,e) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第二幅图为三角追赶法解方程作出的图，两者几乎一样；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 由于迭代法速度很快，所以可以将区间分得更小u e p x t k=CN1(0.01,0.01,100,100,10000,1e-12);surf(x,t,e);shading interp; k=6903名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -