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1、精品资料欢迎下载专题: 直线参数方程中的几何意义几点分析与解析一 知识点概述：若倾斜角为 的直线过点)(00yxM，t 为参数，则该直线的参数方程可写为为参数，ttyytxxsincos00若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P、Q，则 |MP|、|MQ|的几何意义就是：|21tMQtMP，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：|MQMP|t|t|21； |MP|MQ|的几何意义就是：|21ttMQMP； |PQ|的几何意义就是：2122121214)(|PQ|PQ|tttttttt，即. 若过点 M)(00yx ，、倾斜角为 的直线 l 与圆锥曲线交于A、B两点，则弦的中点坐标公式为：2)
2、sin()sin(22)cos()cos(2201021201021tytyyyytxtxxxx或)(22)()(2)(22)()(2212022012021211021011021ttpytpytpyyyyttpxtpxtpxxxx，21pp，为常数，均不为零( 其中中点 M的相应参数为t ，而221ttt，所以中点坐标也为：tpyytpxx2010 ) 若过点 M)(00yx ，、倾斜角为 的直线 l 与圆锥曲线交于A、B两点，且M恰为弦 AB中点，则中点 M的相应参数：221ttt=0 （因为tpyytpxx200100，而21pp ，均不为 0，所以 t=0 ）体会一：教学中一定要讲清
3、楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。实际上由新课程标准人教A版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点),(000yxp、倾斜角为的直线l的参数方程的标准形式为sincos00tyytxx（t 为参数），其中 t 表示直线l上以定点0p为起点，任意一点 P（x， y）为终点的有向线段PP0的数量，当P点在0p上方时 t 为正，当P点在0p下方时 t 为负。体会二：教学中必须要强调参数T的几何意义及两个结论的引导应用示范。实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t 具有如下的名师归纳总结 精品学习资料 - -
4、 - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载两个重要结论：如果我们假设直线l上两点 A、B所对应的参数分别为BAtt 和，则：第一：A、B两点之间的距离为BABABAttttttAB4)(|2，特别地，A、B两点到0p的距离分别为. |,|BAtt第二： A、B两点的中点所对应的参数为2BAtt，若0p是线段 AB的中点，则0BAtt，反之亦然。在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标
5、方程有关的内容的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等有关方面的题目时，如果我们能够充分利用参数t 的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：例 1、直线l过点)0 ,4(0P，倾斜角为6，且与曲线C：7相交于 A、B两点。（1）求弦长 AB. （2）求AP0和BP0的长（3）AP0?BP0解： （1）因为直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin06cos4tytx，即tytx21234，
6、（t 为参数），而曲线C是圆722yx，于是将直线的参数方程代入圆C的方程，得7)21()234(22tt，整理得09342tt有参数 T 的几何意义设A、B所对应的参数分别为21,tt，则3421tt，921tt，所以|21ttAB.324)(21221tttt（2）解：由第一问解方程09342tt得，3,3321tt，有参数的几何意义同理可得AP033|1t，BP0. 3|2t（3）由于是由第一问的求解过程可知AP0BP0=921tt2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：例 2、已知直线l过点)8 ,4(0P，倾斜角为3，求出直线l上到点0P的距离为5 的点的坐标。解：因为直线
7、l过点)8,4(0P，倾斜角为3，所以直线l的参数方程为3sin83cos4tytx，即tytx238214， （t 为参数），（1）设直线l上与已知点)8 ,4(0P相距为 5 的点为 P点，且 P点对应的参数为t ，则|0PP5|t，所以5t，将 t 的值代入（ 1）式，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载当 t 5 时， M点的坐标为)2358,213(；当 t 5 时， M点
8、的坐标为)2358 ,23(，综上，所求P点的坐标为)2358,213(或)2358,23(. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P点的坐标需要将直线方程代入曲线方程，消元后再用根与系数的关系，中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求P点的坐标就显得比较容易。3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二例 3、过点)0 , 1(0P，倾斜角为4的直线l和曲线线22tytx相交于 M 、N两点，求线段MN的中点 P的坐标。解：直线l过点)0, 1(0P，倾斜角为4，所以直线l的参数方程为tytx22221， （t 为参数），因为直线l和抛物
9、线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程xy22中，得：)221 (2)22(2tt，整理得022212tt，06)2(214)2(2，设这个二次方程的两个根为21,tt，由韦达定理得2221tt，由 P为线段 MN 的中点，根据t 的几何意义，得2221tttp，易知中点M所对应的参数为2Mt，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线l的参数方程，M 、N两点对应的参数为21,tt，则它们的中点所对应的参数为.221ttt将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答案，这将十分方便快捷。再如例 4： 过双曲线116922yx的右焦点F作倾斜角为45的直线 L 与双曲线交
10、于A,B 两点， M是 AB的中点，求|MF| 。如果用传统的解法则是解：方法一依题意a=3,b=4,c=5 所以 F(5， 0) ，又直线l的倾斜角为45 度 所以 k=1 5xyl的方程为5xy116y9x22和联立0369x90 x7:2得7805xy7452xxxMM21M2760|MF|整个解答过程将会比较繁琐，因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联立，消元后用根与系数的关系及终点坐名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 -
11、 - - - - - - - - 精品资料欢迎下载标公式才能求解。解法 2：依题意l的参数方程为：116y9xt22yt225x22代入0512t2160t72得27802|21ttMF小结：方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t 的几何意义，使求解过程变得简洁，不容易出错，如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考，那么我们教起来轻松，学生学起来也将会更容易。体会三：两个性质在用的过程中要注意参数T 取非单位向量时候的处理转化。从上面的例子不难看出，这两个性质的确好用，但是我们在教学中一定要要注意下面例子中的问题就需要对参数T所取的单位长度作转化：例如：已知曲线的方程是)4cos(2，直线
12、 L 的方程是tytx3141若直线与曲线相交与A、B两点，求AB弦长。解法 1：解：直线方程可以化简为：0143yx，而曲线的方程可化简为：022yxyx将直线方程代入曲线方程，消去一个未知数y后可得关于x的一元二次方程，由点到直线的距离公式及，弦心距，半径，半弦长之间构成直角三角形可以解得57AB解法 2：将直线的参数方程代入曲线方程，则可以得到一个关于t的一元二次方程：07252tt如果还是用以前的有参数t的几何意义的话将会求得AB的弦长为25702574)(|22BABABAttttttAB这一结果与上述结果为何会不一样呢？两种解法所得的结果是哪一种对呢？当然答案是第一种解法的对，实际
13、上这就是在推导直线的参数方程时一定要注意到直线参数方程中参数T 的几何意义的问题，实际上，在上述题目中我们的参数 T 是选取了模为5 的向量当作了单位向量，而非模为1 的向量为单位向量，但是在解题过程中多数同学甚至是老师也不会注意到这一细节，所以在涉及到直线参数方程，曲线的极坐标方程的问题时我们一定要注意到直线参数方程中参数 T 的几何意义的探究，如上题中的直线方程tytx3141中由于直线的参数方程标准形式sincos00tyytxx中t的系数无论是cossin还是，都只能在1, 1上取值一旦t的前面的系数超过了区间1 ,1则要考虑参数t是多少个单位长度为单位向量。于是在上面的解答中我们只要在257AB的基础上乘以直线参数方程tytx3141中t的模 5 即可以得到正确答案即575257AB。如果我们能在我们在教学中注意到了这样的问题，点清了问题的实质所在。也就是强调解释清楚了参数T的几何意义，并用适当的例子进行了纠错练习，那么学生的学习效果必然是好的。我们的解题速度和解题正确率、得分率也将得到大大的提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -