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1、名师总结优秀知识点一元二次方程专题复习考点一、概念(1) 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表达式：)0(02acbxax难点 ：如何理解“未知数的最高次数是2” ：该项系数不为“0” ；未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A 12132xxB 02112xxC 02cbxaxD 1222xxx变式：当k 时，关于x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2、方程0132mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则m
2、的值为。针对练习：1、方程782x的一次项系数是，常数项是。2、若方程021mxm是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程112xmxm是关于 x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 4、若方程nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用 ：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知322yy的值为 2，则1242yy的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程04222axxa的一个根为0
3、，则 a的值为。例 3、已知关于x 的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。例 4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则 m 的值为。针对练习：1、已知方程0102kxx的一根是2，则 k 为，另一根是。2、已知关于x 的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。求 k 的值；方程的另一个解。3、已知 m 是方程012xx的一个根，则代数式mm2。 4、已知a是0132xx的根，则aa622。 5、方程02acxcbxba的一个根为（）A 1B 1 C cbD a 6、若yx则yx324,0352。考点三、解法方法：
4、 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法：mxmmx,02对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：;08212x216252x=0; ;09132x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点例 2、若2221619xx，则 x 的值为。针对练习： 下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.09
5、2x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ，方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx典型例题：例 1、3532xxx的根为（）A 25xB 3xC 3,2521xxD 52x例 2、若044342yxyx，则 4x+y 的值为。变式 1：2222222,06b则ababa。变式 2：若032yxyx，则 x+y 的值为。变式 3：若142yxyx，282xxyy，则 x+y 的值为。例 3、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例 4、解方程：0
6、4321322xx例 5、已知023222yxyx,则yxyx的值为。变式：已知023222yxyx,且0,0 yx,则yxyx的值为。针对练习：1、下列说法中：方程02qpxx的二根为1x，2x，则)(212xxxxqpxx)4)(2(862xxxx. )3)(2(6522aababa)()(22yxyxyxyx方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx正确的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2、以71与71为根的一元二次方程是（）A0622xxB0622xxC0622yyD0622yy 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元二次
7、方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y 满足023yxyx，则 x+y 的值为（）A、-1 或 -2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 5、方程：2122xx的解是。 6、已知06622yxyx，且0 x，0y，求yxyx362的值。 7、方程012000199819992xx的较大根为r，方程01200820072xx的较小根为s，则 s-r 的值为。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
8、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点例 1、试用配方法说明322xx的值恒大于0。例 2、已知 x、y 为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例 3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例 4、分解因式：31242xx针对练习： 1、试用配方法说明47102xx的值恒小于0。 2、已知041122xxxx，则xx1. 3、若912322xxt，则 t 的最大值为，最小值为。 4、如果4122411bacba,那么cb
9、a32的值为。类型四、公式法条件：04,02acba且公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程：.6132x.863 xx0142xx01432xx5211313xxxx例 2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx. 22542yxyx说明：对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成cbxax2=)(21xxxxa. 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二
10、次方程组。典型例题：例 1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。例 2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。例 3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.065) 1(, 6222yxyxyx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
11、- - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。例 2、关于 x 的方程0212mmxxm有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10且mmB.0mC.1mD.1m例 3、已知关于x 的方程0222kxkx(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例 4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全
12、平方式，试求m的值 . 例 5、m为何值时，方程组.3, 6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k 时，关于x 的二次三项式92kxx是完全平方式。2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m 的值是. 4、k为何值时，方程组.0124,22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解. 5、当k取何值时，方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方
13、程03212mxxm有两个实数根，则m 为, 只有一个根，则m 为。例 2、不解方程，判断关于x 的方程3222kkxx根的情况。例 3、如果关于x 的方程022kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题；“利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90 张，那么这个小组共多少人？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -
14、- - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少21，该产品第一年收入资金约400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313）4、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分
15、析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B 两地间的路程为3
16、6 千米 .甲从 A 地，乙从B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度. 考点七、根与系数的关系前提：对于02cbxax而言，当满足0a、0时，才能用韦达定理。主要内容：acxxabxx2121,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3 C.6 D.6例 2、已知关于x 的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求
17、出k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例 5、已知,是方程012xx的两个根，那么34. 针对练习：1、解方程组)2(5) 1(, 322yxyx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点2已知472aa，472bb)(ba，求baab的值。3、已知21,xx是方程092xx的两实数根，求663722231xxx的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -