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1、名师精编优秀教案空间向量的夹角教学设计第二册（下） “空间向量的坐标运算”第三课时蒋敏慧一、教材分析1、教材的地位与作用本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的，是空间向量的坐标运算的第3 课时，是空间向量在立体几何中的简单应用。这节课的教学， 为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础。按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、演绎推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量法处理立体几何问题，把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。2
2、、教学重点难点重点：空间向量夹角公式及其坐标表示法；选择恰当的方法求两条异面直线的夹角。难点：两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；恰当的构建空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标。关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标，将几何问题转化为代数问题。二、教学目标1、知识目标：使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；提高学生选择恰当的方法求两条异面直线夹角的技能；2、能力目标：在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系；通过空间向量的坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的
3、研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力。3、情感目标：通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生 “做数学”的习惯和热情。三、教学方法与手段1、教学方法：采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。2、学习方法：自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。3、教学手段：借助多媒体计算机（几何画板、实物投影、幻灯片等）辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。四、教学程序名师归纳
4、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案教学程序教学内容设计说明1、创设情境复习引入情境：如图1 已知正方体ABCD-A1B1C1D中，11141AAFDAE， 求证1DF 与BE垂直。问题 1: 若将 E 点在 AA1，A1B1上移动，若移至A1B1的 E1处，如图 2，又如何确定1DF与1BE 的夹角？图 1 图 2 学生活动复习回顾1、学生回顾上节课学习的:两个非零向量1122212121
5、2()()0axybxyzaba bx xy yz z1，z ，2、 由教师提出当点E 在 AA1、A1B1上移动时，BE与1DF 还是否垂直 ? 3、以将点E 移至 E1处为例，我们又将如何确定1DF 与1BE 的夹角？从而很自然的引出本节课的课题，拉开了本节课教学的序幕。2、建构数学（学生归纳，教师总结）类比推广类比： 对于平面内两个向量的夹角问题我们是如何求得的? 问题 2：是否可以将平面内求得两个向量的夹角公式推广到空间?公式的形式有何变化？学生活动类比推广通过与平面向量的夹角公式的类比，让学生猜想空间两个非零向量的夹角公式，然后推广到空间。希望提高学生的类比转化能力。F1 A1 ED
6、 C1 C B1 D1 B A D C1 C B1 A1 D1 F1 E1 B A E 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案教学程序教学内容设计说明对于空间两个非零向量111222(,),(,)axy zbxyz，其夹角为 ，仍有abCOSab，用坐标表示为1 21 21 2222222111222x xy yz zCOSxyzxyz。（将几何问题转化为代数问题，让学生体验将空间形式
7、的研究，从“定性” 推理到“定量”计算的转化。提高学生的类比转化能力，让学生感受知识货的的过程）练习求下列两个向量夹角的余弦值（1）(2, 3, 3),(1,0,0)ab，（2）( 1, 1,1),( 1,0,1)ab。学生活动及时巩固为了及时巩固空间向量的夹角公式，我设计了以下两道直接利用公式求空间向量夹角的练习题，以达到学以致用，熟能生巧的目的。3、知识运用（学生活动为主，教师活动为辅）例题例 1如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，11111114B ED FA B，求 BE1与 DF1所成角的余弦值。分析：学生活动例题讲解（ 发散性思维）一方面解决课题引入中的问题，一方面体现空间
8、向量的应用。学生可能想到的解法有：方法一： 传统的几何法 -平移法，即将两条异面直线平移直至构成一个三角形，利用余弦定理而求得；方法二：向量法由学生建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标， 从而求得对应向量的坐标， 代入公式， 由于学生所取向量的方向不一样，求出1115COSDF BE17，而有的学生求出的是1115COSFD BE17，A B D C1 C B1 A1 D1 F1 E1 D A C1 C B B1 A1 D1 F1 E1 EFz y D C1 C B1 A1 D1 F1 E1 B A x 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心
9、整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案教学程序教学内容设计说明突破难点学生提问： 此题所求的是两条异面直线的夹角，而不是两个空间向量的夹角，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？由师生共同比较两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角的区别，以突破本节课的难点之一。小结评价问题 3：利用空间向量解决立体几何中求夹角问题的一般步骤是什么？(1) 当的构建空间直角坐标系，求得所对应点的坐标；(2) 用坐标表示空间向量及其数量积；(3) 代入空间向量夹角公式的坐标形式；(4)
10、提炼共性，转化为几何结论。使学生养成对新的一种方法及时总结的学习习惯， 使得学生达到系统掌握的目的。 同时将利用向量求两条异面直线的夹角的方法推广到一般。 为学生解决异面直线夹角问题提供新视角。题组练习一如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M 是AB 的中点，求对角线DB1与 CM 所成角的余弦值。学生活动掌握理解让学生分组讨论， 寻求解决某个问题的多种途径， 再对各种途径进行比较。归纳学生的方法， 大致可分为几何法、 向量法两类。 通过本题， 建议学生在实际运用中，选择恰当的方法，使得我们解题过程变得更简单。 倡导一种自主探索、 动手实践、合作交流的学习数学的方式。例题例 2.沿着
11、正方体ABCD-A1B1C1D1相邻的三个面的对角线去截正方体，得到一个新的几何体B1-A1BC1， 已知 E、 F 分别是 A1B 和 BC1的中点，求异面直线B1E 与 A1F的夹角。问题 4：如何正确放置几何体，可以构建恰当的空间直角坐标系？学生活动例题讲解从我们较为熟悉的正方体中截出一个我们不熟悉的新的几何体，如何在一个新的几何体中研究两条异面直线所成的角? 由于学生初次接触到这样一个几何体，学生开始时可能会感到有些茫然不知所措， 所以教师将通过提出问题4 将学生带入到一个建系的过程中去， 建系是本节课的一个难点，同时也是关键。D A C1 C B B1 A1 D1 F E C1 B
12、B1 A1 D A C1 C B B1 A1 D1 M 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案教学程序教学内容设计说明优化方案法一 : 法二：通过学生探究几何图形,并思考讨论 ,由学生的认知水平,学生可能给出以下两种方法：方法一：补形将问题转化为正方体中的两条异面直线的夹角问题。方法二：翻转将图形翻转，以 B1为原点 ,建立空间直角坐标系。课后思考：是否有其它建系的方法。建系之后， 将
13、求空间内相关点的坐标转化为求平面内点的坐标。再求得对应向量的坐标，代入夹角公式，求得1136COSB E A F，或1136COSEB A F，加强学生对两个空间向量的夹角与两条异面直线的夹角的概念的理解。突破了本节课的另一个难点，提高学生分析问题、解决问题的能力。D A C1 C B B1 A1 D1 F E z y x B1 A1 B C1 F E z y x 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -
14、 名师精编优秀教案D A C1 C B B1 A1 D1 教学程序教学内容设计说明题组练习二必做题：1.设点 O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1， 1，1)，C(0，0，1)，异面直线OA 与 BC 夹角为 ，则 的值为（）A.60B. 120C. -60D. 2402.已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 请用不同的方法求异面直线AC 与 BD1所成的角。选做题：沿 着 正 方 体ABCD-A1B1C1D1对 角 面A1BCD1去 截 正 方 体 ， 得 到 一 个 新 的 几 何 体D1CC1-A1BB1，E、F 分别是 A1D1，D1C1的中点，求异面直线BE 与 A1F 所成
15、的角。学生活动巩固提高我设计了两组不同层次的练习题：必做题和选做题，让学生自主选择，然后由学生利用实物投影展示自己的解答，并分析解题思路。设计意图：1、鼓励学生选择不同的解题方法，提倡创新思维；2、通过学生对题目和方法的自主选择， 为不学生习能力的学生提供广阔的空间；3、 充分体现学生的主体地位，发展学生的个性；4、培养学生善于分析、乐于探索的钻研精神。反馈评价：对学生在动手实践过程中勇于思考、积极探索的学习态度给予充分的肯定；同时指出学生在练习中值得注意的以下几个问题：1、将求空间点的坐标正确转化为平面内点的坐标；2、理解两个空间向量的夹角与两条异面直线夹角的区别；3、选择恰当的方法求夹角，
16、理解向量法不是求夹角的唯一方法，也不一定是最佳途径。4、归纳总结（师生共同归纳）总结（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示；（2）构建恰当的空间直角坐标系，正确写出点的坐标及向量的坐标；（3）两条异面直线的夹角与两个向量的夹角之间的区别；（4）掌握类比猜想的方法，将平面问题向空间问题推广，将几何问题向代数问题转化，提高类比转化的能力。学生活动归纳总结通过对本节课的知识和方法的回顾，让学生自己归纳小结本节课的内容，培养学生归纳总结的能力。C1 C B B1 A1 D1 F E D A C1 C B B1 A1 D1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
17、 -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案教学程序教学内容设计说明5巩固作业巩固作业感受理解：1.如图，在正方ABCD-A1B1C1D1中， M、N 分别是 AA1、BB1的中点，求直线CM 与 D1N 所成角的正弦值。思考运用：2.已知正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直） ABC-A1B1C1中，底面边长 AB=2，求异面直线 AB1与 BC 所成的角。题 1 图题 2 图探究拓展：3. 利用空间向量是否可以求直线与平面所成的角，二面角，点到平面的距离，两异面直
18、线之间的距离等其它空间夹角与距离问题？学生活动理解掌握从三个不同的层次布置巩固作业，通过自主解决作业中的问题，既让学生体会到收获成功的喜悦，又能在层层提高的作业中让学生检查自己对知识和方法的掌握程度，并且培养学生课后复习，课前预习的良好学习习惯。五、教学评价1、教学过程中以问题为载体，学生活动为主线，重视为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间；空间向量是教材新增加的内容，它将复杂的几何问题转化为代数问题，具有相对的优越性，但不是绝对的，实际应用时要恰当选择，合理运用。2、注意观察学生在教学各环节中的表现，看其是否能做到积极的探究和主动地与他人合作交流。 对学生在学习过程的良好表现及
19、时鼓励；通过对学生解题方法的收集与评价，及时肯定学生表现出的创新能力和解决问题的能力；通过设置不同层次的变式训练、题组练习和课后作业，对学生学习能力和学习效果进行及时检验，为补偿性教学提供依据。设计说明一、对教材的地位与作用的说明本节课是 空间向量的坐标运算的第三课时， 有平面向量的数量积公式及其变形公式的知识基础， 是在学习了空间向量的坐标表示，以及空间向量的数量积以后，对空间向量的D A C1 C B B1 A1 D1 M N C1 A C B B1 A1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -
20、- - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案简单应用，为后面向量在物理和数学上的综合运用奠定了基础。按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。 用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。尤其是向量用坐标表示后，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。二、对教法与学法的说明本节课的目的是希望学生通过对空间立体几何图形的探究，进一步培养学生的空间想象能力
21、， 通过与平面向量的类比运算，和空间向量的坐标运算将几何问题代数化，培养学生的类比转化思想， 从而提高学生分析问题、解决问题的能力。所以在教学方法和教学手段的选择上，遵循“以学生为主体，教师为主导”的原则，充分调动学生的积极性，倡导学生“自主探索、动手实践、合作交流”的学习数学的方式，力求体现教师的设计者、组织者、帮助者的地位，突出学生的主体地位。三、对教学流程的说明本节课的教学过程以问题为载体，学生活动为主线， 有意识地留给学生适度的思维空间，让学生在思考与实践中探索、类比、猜想、发现并获得新知，主要流程是：通过创设情境，以师生的活动为主线，将构建数学知识运用巩固提高总结作业等环节串联一体。
22、利用多媒体辅助教学，为学生营造一种良好的探究、创新的学习氛围，激发学生学习的兴趣， 体现学生的主体地位。并从不同的角度训练不同层次的学生的学习，使传授知识和培养能力融为一体。四、对评价的说明1、教学过程中以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间；空间向量作为新增加的内容，将复杂的几何问题转化为代数问题，具有相当的优越性，但不是绝对的优越性，恰当选择，合理运用。2、通过学生参与活动的积极主动性，能否与他人合作探索，对学生的学习过程加以评价；通过学生解题方法的选择，对学生的创新能力和解决问题的能力进行评价；通过不同层次的题组练习和课后作业题，对学生学习能力和学习效果进行评价。五、对信息技术与课程整合的说明本节课主要应用了几何画板，突出了空间几何图形变化的直观性，克服了学生空间想象力的障碍；本节课还利用了实物投影，展示学生的动手探究、合作交流的成果。（本设计的说课获得全国中学青年数学教师优秀课观摩及评比活动第一名）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -