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1、2012 年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10 个小题，共计30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）1如果零上5 记作 +5 ，那么零下7 可记作（）A 7B +7C +12D 12考点 ：正数和负数。分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示解答：解： “正 ” 和“ 负” 相对， 零上 5 记作 +5 ，则零下 7 可记作 7 故选 A点评：此题考查了正数与负数的定义解题关键是理解“ 正 ” 和“ 负” 的相对性， 确定一对具有相反意义的量2如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）考点 ：简单组合体的三视图。分析：细
2、心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可解答：解：从左边看竖直叠放2 个正方形故选 C点评：考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项3计算（ 5a3）2的结果是（）A10a5B10a6C25a5D25a6考点 ：幂的乘方与积的乘方。分析：利用积的乘方与幂的乘方的性质求解即可求得答案解答：解： （ 5a3）2=25a6故选 D点评：此题考查了积的乘方与幂的乘方的性质注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘4某中学举行歌咏比赛，以班为单
3、位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100 分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）分数（分）8992959697ABCD名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 评委（位）12211A92 分B93 分C94 分D95 分考点 ：加权平均数。分析：先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可解答：解：由题
4、意知，最高分和最低分为97，89，则余下的数的平均数=（ 92 2+95 2+96） 5=94故选 C点评：本题考查了加权平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式5如图， ABC 中， AD 、BE 是两条中线，则S EDC：S ABC=（）A1：2B2： 3C1：3D1：4考点 ： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。分析：在 ABC 中， AD 、BE 是两条中线，可得DE 是 ABC 的中位线，即可证得 EDCABC ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案解答：解： ABC 中， AD 、BE 是两条中线， DE 是 ABC 的中位线， DE
5、 AB， DE=AB，EDCABC ， S EDC：S ABC=（）2=故选 D点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键6在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（）A（2，3） ， （4，6）B（2，3） ， （4，6）C（2， 3） ，（4， 6）D（2，3） ， （ 4，6）考点 ：一次函数图象上点的坐标特征。专题 ：探究型。分析：由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可解答：解： A、=， 两点在同一个正比例函数图象上
6、；B、 ， 两点不在同一个正比例函数图象上；C、， 两点不在同一个正比例函数图象上；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - D、 ，两点不在同一个正比例函数图象上；故选 A点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，知道正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同是解题的关键7 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， OE AB ， 垂足为 E，若 ADC=130 ，则 AOE
7、 的大小为（）A75B65C55D50考点 ：形的性质。分析：先根据菱形的邻角互补求出 BAD 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出 BAO 的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解解答：解：在菱形ABCD 中， ADC=130 ，BAD=180 130 =50 ，BAO= BAD= 50 =25 ， OE AB ，AOE=90 BAO=90 25 =65 故选 B点评：本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键8在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=x+3 与 y=3x5 的图象交于点M，则点 M 的坐
8、标为（）A（ 1，4）B（1，2）C（2， 1）D（2，1）考点 ：两条直线相交或平行问题。专题 ：计算题。分析：联立两直线解析式，解方程组即可解答：联立，解得，所以，点M 的坐标为（ 2，1） 故选 D点评：本题考查了两条直线的交点问题，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握9如图，在半径为5 的 O 中，AB、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P， 且 AB=CD=8 ，则 OP 的长为（）A3B4C3D4名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
9、 - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 考点 ：垂径定理；勾股定理。分析：作 OM AB 于 M，ON CD 于 N，连接 OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM 的长解答：解：作 OM AB 于 M，ON CD 于 N，连接 OP，OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM=3， 弦 AB、CD 互相垂直，DPB=90 ， OM AB 于 M，ON CD 于 N，OMP= ONP=90 四边形 MONP 是矩形， OP=3故选 C点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确
10、地作出辅助线10在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2x6 向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A1B2C3D6考点 ： 二次函数图象与几何变换。专题 ： 探究型。分析：算出函数与x 轴、 y 轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向解答： 解：当 x=0 时， y=6，故函数与y 轴交于 C（0， 6） ，当 y=0 时， x2x 6=0，即（ x+2） （x3）=0，解得 x=2 或 x=3，即 A（ 2，0） ，B（3，0） ；由图可知，函数图象至少向右平移2 个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2故选 B点评： 本题
11、考查了二次函数与几何变换，画出函数图象是解题的关键二、填空题（共6小题，每小题3 分共 18 分）11计算 2cos45 3+（1）0=5+1考实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 点专题 ： 计算题。分析： 先将二次根式化为最简，再计算零指数幂，然后代入cos45 的值即可得出答案解答：解：原式 =23 2+1=5+1故答案为：5+1点评： 此题考查了实数
12、的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题， 注意各部分的运算法则，另外要注意熟记一些特殊角的三角函数值12分解因式： x3y2x2y2+xy3=xy（x y）2考点 ：提公因式法与公式法的综合运用。分析：先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解因式解答：解： x3y2x2y2+xy3，=xy （x22xy+y2） ，=xy （x y）2点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式13请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分A、 在平面中，将长度为 4 的线段 AB 绕它的中点M， 按逆时针方向旋转30 ， 则线段
13、AB 扫过的面积为 B、用科学记算器计算：sin692.47（精确到0.01） 考点 ：扇形面积的计算；计算器三角函数。专题 ：计算题。分析：A、画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可；B、用计算器计算即可解答：解： A、由题意可得， AM=MB=AB=2 ，线段 AB 扫过的面积为扇形MCB 和扇形 MAB 的面积和，故线段 AB 扫过的面积 =+=B、sin692.47故答案为：、2.47点评：此题考查了扇形的面积计算及计算器的运用，解答A 需要我们明确线段AB 旋转后扫过的面积，解答B 要求我们熟练操作计算器名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
14、- -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14小宏准备用50 元钱买甲、乙两种饮料共10 瓶，已知甲饮料每瓶7 元，乙饮料每瓶4 元，则小红最多能买3瓶甲饮料考点 ： 一元一次不等式的应用。分析：首先设小红能买x 瓶甲饮料，则可以买（10 x）瓶乙饮料，由题意可得不等关系：甲饮料的花费+乙饮料的花费 50 元，根据不等关系可列出不等式，再求出整数解即可解答：解：设小红能买x 瓶甲饮料，则可以买（10 x）瓶乙饮料，由题意得：7x+4（ 10 x） 50，解得： x， x 为整数，
15、x，0，1，2，3，则小红最多能买3 瓶甲饮料故答案为： 3点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出合适的不等关系，设出未知数，列出不等式15在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6 的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是y=（只写出符合条件的一个即可）考点 ： 反比例函数与一次函数的交点问题。专题 ： 开放型。分析： 两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k 要满足 2x26xk=0， 0 即可解答：解：设反比例函数的解析式为：y=， 一次函数y= 2x+6 与反比例函数y=图象无公共点，则， 2x26x k=0，即 =（ 6）28
16、k0解得 k，则这个反比例函数的表达式是y=；故答案为： y=点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题解题的关键是： 两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k 要满足 2x26xk=0， 016如图，从点A（0，2）发出一束光，经x 轴反射，过点B（4，3） ，则这束光从点A 到点 B 所经过的路径的长为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 考点 ： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形
17、性质；勾股定理。分析： 首先过点B 作 BD x 轴于 D，由 A（0，2） ，B（4，3） ，即可得OA=2 ，BD=3 ，OD=4 ，由题意易证得 AOCBDC， 根据相似三角形的对应边成比例，即可得 OA ： BD=OC ： DC=AC ： BC=2 ：3，又由勾股定理即可求得这束光从点A 到点 B 所经过的路径的长解答： 解：如图，过点B 作 BD x 轴于 D， A（0，2） ，B（4，3） ， OA=2 ，BD=3 ，OD=4 ，根据题意得： ACO= BCD ，AOC= BDC=90 ，AOC BDC， OA：BD=OC ：DC=AC ：BC=2 ：3， OC=OD= 4=， A
18、C=， BC=， AC+BC=即这束光从点A 到点 B 所经过的路径的长为：故答案为：点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质此题难度适中，解此题的关键是掌握辅助线的作法，掌握入射光线与反射光线的关系三、解答题（共9小题，计72 分，解答应写出过程）17 （5 分）化简：考点 ：分式的混合运算。专题 ：探究型。分析：根据分式混合运算的法则先计算括号里面的，再把除法变为乘法进行计算即可解答：解：原式 =?=名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -
19、 - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 点评：本题考查的是分式的混合运算，即分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的18 （6 分）如图，在 ABCD 中， ABC 的平分线BF 分别与 AC、AD 交于点 E、F（1）求证： AB=AF ；（2）当 AB=3 ，BC=5 时，求的值考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析： （1）由在 ABCD 中，AD BC，利用平行线的性质，可求得 2= 3，又由 BF 是 ABC 的平分线，易证得 1= 3，利用等角对等边的知识，即可证得AB=
20、AF ；（2）易证得 AEFCEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值解答：）如图，在 ABCD 中， AD BC2= 3， BF 是 ABC 的平分线，1= 2，1= 3， AB=AF ；（2） AEF= CEB， 2= 3，AEFCEB，=，=点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意有平行线与角平分线易得等腰三角形19 （7 分）某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计结果如下图：请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全
21、条形统计图和扇形统计图；（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？（3）该校计划购买新书共600 本，若按扇形统计图中的百分比来相应的确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？考点 ： 条形统计图；扇形统计图。专题 ： 图表型。分析： （1）根据借出的文学类的本数除以所占的百分比求出借出的总本数，然后求出其它类的本数，再用总本数减去另外三类的本数即可求出漫画书的本数；根据百分比的求解方法列式计算即可名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -
22、第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 求出科普类与漫画类所占的百分比；（2）根据扇形统计图可以一目了然进行的判断；（3）用总本数600 乘以各部分所占的百分比，进行计算即可得解解答： 解： （1）借出图书的总本数为：40 10%=400 本，其它类： 400 15%=60 本，漫画类： 40014040 60=160 本，科普类所占百分比： 100%=35%，漫画类所占百分比： 100%=40%，补全图形如图所示； （2 分）（2）该校学生最喜欢借阅漫画类图书（ 3 分）（3）漫画类： 600 40%=240（本） ，科普类： 600 35%=210（本），文学类： 6
23、00 10%=60（本） ，其它类： 600 15%=90（本） （7 分）点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图， 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20 （8 分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65 方向， 然后，他从凉亭A 处沿湖岸向东方向走了100 米到 B处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45 方向（点A、B、C 在同一平面上） ，请你利用小明测得的相关数据， 求
24、湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离 （结果精确到1米） （参考数据sin250.4226，cos250.9063，tan250.4663，sin650.5563，cos650.4226， tan652.1445）考点 ：解直角三角形的应用-方向角问题。分析： 如图作 CD AB 交 AB 的延长线于点D，在 Rt ACD 和 Rt BCD 中分别表示出AC 的长就可以求得 AC 的长解答： 解：如图作CD AB 交 AB 的延长线于点D，则 BCD=45 ， ACD=65 ，在 Rt ACD 和 Rt BCD 中，设 AC=x ，则 AD=xsin65 ，BD=CD=xcos
25、65 ， 100+xcos65 =xsin65 x= 207（米）， 湖心岛上迎宾槐C 处与凉亭 A 处之间的距离约为207 米名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的求解21 （8 分）科学研究发现，空气含氧量y（克 /立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系经测量，在海拔高度为0 米的地方，空气含氧量
26、约为299 克/立方米；在海拔高度为2000 米的地方，空气含氧量约为 235 克/立方米（1）求出 y 与 x 的函数关系式；（2）已知某山的海拔高度为1200 米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？考点 ：一次函数的应用。分析：（1）利用在海拔高度为0 米的地方，空气含氧量约为299 克/立方米；在海拔高度为2000 米的地方，空气含氧量约为235克 /立方米，代入解析式求出即可；（2）根据某山的海拔高度为1200 米，代入（ 1）中解析式，求出即可解答：解： （1）设 y=kx+b ，则有：， 解之得， y=；（2）当 x=1200 时， y= 1200+299=260.6（克 /
27、立方米）答：该山山顶处的空气含氧量约为260.6 克/立方米点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键22 （8 分）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局依据上述规则，解答下列问题：（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2 的概率；（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和为7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6 个小圆点的小立方块，点数和：两枚骰子朝上的点数之和）考点 ：列表法与树状图
28、法。分析：（1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数和为2 的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）根据（ 1）求得点数和大于7 的情况，利用概率公式即可求得答案解答：解： （1）随机掷骰子一次，所有可能出现的结果如表：骰子 1/骰子 212345612345672345678名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3456789456789105678910116789101
29、112 表中共有36 种可能结果，其中点数和为2 的结果只有一种 .（3 分） P（点数和为2）= （5 分）（2）由表可以看出，点数和大于7 的结果有15 种 P（小轩胜小峰）= （8 分）点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 =所求情况数与总情况数之比23 （8 分） （2012?陕西）如图， PA、PB 分别与 O 相切于点A、B，点 M 在 PB 上，且 OM AP，MN AP，垂足为 N（1）求证：OM=AN；（2）若 O 的半径 R=3，PA=
30、9，求 OM 的长考点 ：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。专题 ：几何综合题。分析：（ 1）连接 OA ，由切线的性质可知OA AP，再由 MN AP 可知四边形ANMO 是矩形，故可得出结论；（ 2）连接 OB，则 OB BP 由 OA=MN ，OA=OB ，OM AP可知 OB=MN ， OMB= NPM 故可得出 Rt OBMMNP ，OM=MP 设 OM=x ，则 NP=9x，在 Rt MNP 利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出结论解答：（ 1）证明：如图，连接OA，则 OA AP， MN AP， MN OA ， OM AP， 四边形 ANMO 是矩
31、形， OM=AN ；（ 2）解：连接OB，则 OB BP OA=MN ，OA=OB ，OM AP OB=MN ， OMB= NPM Rt OBM MNP ， OM=MP 设 OM=x ，则 NP=9x，在 Rt MNP 中，有 x2=32+（9x）2 x=5，即 OM=5 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 点评：本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答
32、此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答24 （10 分）如果一条抛物线y=ax2+bx+c （a 0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“ 抛物线三角形” （1）“ 抛物线三角形 ” 一定是等腰三角形；（2）若抛物线y=x2+bx（b0）的 “ 抛物线三角形 ” 是等腰直角三角形，求b 的值；（3） 如图， OAB 是抛物线 y= x2+b x （b 0） 的 “ 抛物线三角形 ” ， 是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由考点 ： 二
33、次函数综合题。专题 ： 代数几何综合题；新定义。分析：（1）抛物线的顶点必在抛物线与x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“ 抛物线三角形” 一定是等腰三角形（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b 0，那么其顶点在第一象限，而这个 “ 抛物线三角形” 是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b 的值（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ，那么必须满足OA=OB ，结合（ 1）的结论，这个 “ 抛物线三角形” 必须是等边三角形，首先用b 表示出AE、OE 的长，通过 OAB 这个等边三角形来
34、列等量关系求出b的值，进而确定A、B 的坐标，即可确定C、D 的坐标，利用待定系数即可求出过O、 C、D 的抛物线的解析式解答：解： （1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A 必在 O、B 的垂直平分线上， 所以 OA=AB ，即： “ 抛物线三角形 ” 必为等腰三角形故填：等腰（2） 抛物线 y=x2+bx（b0）的 “ 抛物线三角形 ” 是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点（，）满足=（b0） b=2（3）存在如图，作 OCD 与 OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形当OA=OB时，平行四边形ABCD 是矩形，又 AO=AB ，OAB 为等边三角形作AE OB，
35、垂足为E， AE=?（b 0） b =2 A（，3） ，B（2，0） C（） ，D（ 2，0） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 设过点 O、C、D 的抛物线为y=mx2+nx，则，解得故所求抛物线的表达式为y=x2+2x点评：这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况25 （
36、12 分）如图，正三角形ABC 的边长为3+（ 1）如图 ，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点 A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E F PN ，且使正方形EF P N 的面积最大（不要求写作法）；（ 2）求（ 1）中作出的正方形E FP N 的边长；（ 3）如图 ，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由考点 ： 位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质。专题
37、： 几何综合题。分析： （1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN 的位似正方形E F PN，如答图 所示；（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式EF+AE +BF =AB ，列方程求得正方形EFP N的边长；（3）设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m、n（m n） ，求得面积和的表达式为：S=+（mn）2，可见 S的大小只与m、n 的差有关： 当 m=n 时， S 取得最小值； 当 m 最大而 n 最小时， S 取得最大值 m 最大 n 最小的情形见第（1） （2）问解答： 解： （ 1）如图 ，正方形 E F P N即为所求（2）设正方形E F
38、PN 的边长为 x，ABC 为正三角形， AE =BF=x EF+AE +BF=AB ， x+x+x=3+， x=，即 x=3 3，（没有分母有理化也对，x 2.20 也正确）（3）如图 ，连接 NE、EP、PN，则 NEP=90 设正方形DEMN 、正方形 EFPH 的边长分别为m、n（m n） ，它们的面积和为S，则 NE=，PE=n PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页
39、 - - - - - - - - - S=m2+n2=PN2，延长 PH 交 ND 于点 G，则 PG ND在 Rt PGN 中， PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（mn）2 AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3 S=32+（ m n）2=+（mn）2 当（ m n）2=0 时，即 m=n 时， S最小 S最小=； 当（ m n）2最大时， S最大即当m 最大且 n 最小时， S 最大 m+n=3 ，由（ 2）知， m最大=3 3 S最大=9+（m最大n最小）2=9+（336+3）2=9954 （S最大 5.47 也正确）点评： 本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度本题（1） （2） （ 3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系第（3）问的要点是求出面积和S 的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求 S 最大值的过程中，利用了第（1） （2）问的结论名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -