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1、奥数综合除法与余数定理【内容综述】数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。【要点讲解】1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可以推得（此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）
2、的第一项系数，把这个数乘以b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。例 1 计算（）分析把除式变成形式用综合除法，解：，商式为，余式为 -38 说明用综合除法计算时要注意：（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0 补足；（2）除式要变成的形式（ b 可以是负数）例2 用综合除法计算（1）；（2）解： （ 1）商式为，余式为 -3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2 除，而余数不变。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - -
3、 - - - - - - 商式为，余式为。说明一般地，多项式除以一次二项式， 用综合除法先将多项式除以，所得的商式除以p 就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。2、余数定理若多项式f（x）除以的商式为p（ x） ，余数为r，则当时，（此处表示多项式中x 用数值b 代入后计算出的数值） ，从而有下面的定理。余数定理多项式除以 ()所得的余数等于。特别地，当时，我们称多项能被整除，即 ()是的因式，这也称为因式定理。由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式的值。余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算复杂时也可以用综合法求。例3 一个关于x 的二次多项式，它被除余 2，它被除
4、时余 28，它还可被整除，求。解：设由题意得解得a=3,b=1,c=2 。说 明因能 被整 除 ， 所 以是的 因 式 ， 于 是 可 设，再由，列出a,b 的方程求解。例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b 整除。分析含， 即把看成是含字母a 的多项式， 要判断能否被a-b， a+b 整除，即判断，是否为零。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 解： 令=当 a=b 时，故能被 a-b 整除；当 a=-b 时，故
5、当 n 为偶数时，能被 a+b 整除， 当 n 为奇数时，不能被a+b 整除，余式为. 例5 试确定a 和 b，使能被整除。解： 由于，因此，若设，假如能被整除，则x+1 和 x+2 必是的因式，因此，当x=-1 ，即当 x=-2 时，即由，联立，则得时，能被整除。思维训练题A 级1、当多项式除以多项式时，其余式为（）。（A） 2 （ B） -2 （ C）2x-2 （ D） -2x-2 2、多项除以多项式x-3 所得余数为（）。（A） -71 （ B） 71 （C）-59 （ C） 59 3、若多项式含有因式x-1 和 x-2 ，则 mn=_。 4、求（除以的商式和余式。B 级 5、设，以 1
6、991 除 x，所得余数是（）。（A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 4 6、已知，则值为（）。（A） 30 （ B） -30 （ C） 32 （D）-32 7、如果，则_ 。 8、已知是二元二次式的一个因式，则 a+b= 。 9、已知能被整除，试求a,b 的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 参考答案A 级1、（ C）。2、（ D），提示：利用余数定理。3、 -100 ，提示：利用余数定理，得从而m=-5，n=20。4、商式 =，余式 =B 级5、（ B），提示：6、（ C），提示：含，得即。7、 5，提示，=。8、 -3 ，提示：含x=y=1 ，则原式为零，即。9、含因能整除，因此由余数定理，当时，即由此得 a=11，b=-6 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -