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1、关于二次曲线与二次曲面现在学习的是第1页，共17页 4.1 坐标变换坐标变换11221212 ; ,; ,.O e eO e e 平面上给了两个仿射坐标系我们研究同一个点（向量）在和下的坐标之间的关系.1001211121122212(,), ,(,),(,),( , )( ,).Oxye eaaaaMx yx y 设在下的坐标为在下的坐标分别为点在和下的坐标分别为和一一 平面的坐标变换平面的坐标变换2eo1eo 2e 1e 2eo1eMo 2e 1e 现在学习的是第2页，共17页 )()x( 212010eyexeye )()(eyex 2221122211112010eaeayeaeax
2、222210112110)(x eyaxayeyaxa MOOOOM 21ex ey 2eo1eMo 2e 1e 现在学习的是第3页，共17页 所以(1.1) 0222101211 yyaxayxyaxax(1.2) 0022211211 yxyxaaaayx0111202122 (1.2) x xa axy ya ay (1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式平面点的仿射坐标变换公式或 将(1.1)写成矩阵形式现在学习的是第4页，共17页12( , )( , )au vu v 设向量 在下的坐标为，在下的坐标为，则1211 121 212 1222111212122212 ()()
3、 ()() au ev eu a ea ev a ea eu av aeu av aeueve 11122122 1.3 ua ua vva ua v因此（）11122122 (1.3) aauuvaav 将它写成矩阵形式121.3 (1.3).将（） 或称为从到的向量的仿射坐标变换公式现在学习的是第5页，共17页 和 的坐标向量之间的关系为 形式上可写成 矩阵 称为从坐标系 到坐标系 的过渡矩阵过渡矩阵 .1 2 22211222211111eaeaeeaeae, ) () (222112112121 aaaaeeee 22211211 aaaaA1 2 现在学习的是第6页，共17页12co
4、s -sin cos sindet1.sin cossin cosAAA 注2：与为同定向的直角坐标系的充要条件是 为正交矩阵且，此时或12cos sin cos -sindet1sin -cos-sin -cosAAA 注3：与为反定向的直角坐标系的充要条件是 为正交矩阵且，此时或，其中02 .121221.TAA 注1：如果与都是直角坐标系，则从到的过渡矩阵 是正交矩阵，从到的过渡矩阵是现在学习的是第7页，共17页120011(,),Ox yee 设与均为右手直角坐标系，到 的转角（逆时针方向）为 ，则00cos -sin .sin cosxxxyyy =0若，则00001 0 x 0 1
5、yxxxxyyyy 上式就是移轴公式.现在学习的是第8页，共17页 平面上的任一右手直角坐标变换都可以经过移轴和转轴得到。 OO 若 与重合，则cos -sinx sin cosyxy . 上式称为转角为 的转轴公式现在学习的是第9页，共17页二二 空间的坐标变换空间的坐标变换1123212311231112131231232122233132331 ; , ,; , (,)1,2,3 ( ,)( ,) ()iiiiijO e e eO e e eea aaiaaae e ee e eaaaaaaAa 设是空间的两个仿射坐标系，在下， 的坐标为，那么形式上有 ，其中矩阵称为从2.到的过渡矩阵，
6、且是可逆的现在学习的是第10页，共17页12100012123123, ,( ,),( ,),Mx y zx y zOx y zaa a aa a a 设点在和下的坐标分别为，在下的坐标为，向量 在和下的坐标分别为那么使用平面的坐标变换公式的推导方法可以得到111213021222303132330 , aaaxxxyaaayyzzaaaz 111213112212223233313233 , aaaaaaaaaaaaaaa 12称为到的点的仿射坐标变换公式12称为到的向量的仿射坐标变换公式现在学习的是第11页，共17页121212det=1det=-1.AAA如果和是直角坐标系，则可以证明
7、是正交矩阵，进一步，如果与是同定向的，那么；如果与是反定向的，那么现在学习的是第12页，共17页空间中的平移变换公式 空间中绕z轴旋转的变换公式000 xxxyyyzzzcossinsincosxxyyxyzz现在学习的是第13页，共17页 1 zxy 例利用绕轴旋转化简方程，并判断该方程表示那种曲面？现在学习的是第14页，共17页1212 2 3410, 4370:2 -30:210 xyxyxylx ylxy 例在平面上，设 轴 轴在原坐标系中的方程分别为且新、旧坐标系都是右手直角坐标系，求到的点的坐标变换公式；直线在新坐标系中的方程；在原坐标系中的方程.现在学习的是第15页，共17页22 3 :(2)()Sxyzxyzyz 例在右手直角坐标系中，判断曲面是什么曲面现在学习的是第16页，共17页感谢大家观看现在学习的是第17页，共17页