五年级数学社团课程.doc

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1、生活中的正负数11 / 11趣味阅读 正数和负数的争吵大家一定都知道童话王国吧，那你们知道数学王国的事情么？就让我们一起去探索数学王国的秘密吧！ 有一天，正数和负数走到了一起，它们可是一对冤家。这不，它们又吵了起来，这次是为了0归谁而争得不可开交。 正数说：“0归我，数数都是从0123456789开始数的，我和0最近，所以0属于我这一边。” 听了正数的话，负数恼怒地说：“0应该属于我这一边，我和0才最近！” 它们就这样吵了起来。这时0走了过来，正数和负数都跑过去问0。正数说：“0，你说，你是属于我呢，还是属于负数？” 0看到它们都这么生气，吓得不敢说话了，于是就胆怯地说：“你你们去问最有知识的

2、计算器爷爷吧！”说完便飞快地跑走了。 正数和负数都不服气，便跑去问计算器爷爷。计算机爷爷说：“哈哈，你们别争了，告诉你们吧，0既不属于正数，也不属于负数，你们得多学点知识了。” 正数和负数听了，都惭愧地低下了头。 辨一辨 小新最喜欢吃“上好佳”薯片了，爸爸出差回家，带来了两包薯片，小新一见开心极了。不过，爸爸提了个问题：“你能告诉我，你能吃到多少薯片吗？”“这不简单，”小新一边想，一边查看了产品说明（如下），马上回答：“一包100克，两包我一共吃到200克。”同学们，你们说，小新说得对吗？你觉得应该是多少？100克（5克）挑战自我一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过了5个停靠站，最后到达终点站

3、。下表记录了这两公共汽车全程载客数量的变化情况：停靠站起点站中间第一站中间第二站中间第三站中间第四站中间第五站终点站上下车人数213842047190131、说说中间5个站点上下车人数各是多少？2、中间5个站点，哪些站点没有人下车，哪些站点没有人上车？3、你还知道了些什么？如果有兴趣的话，请再收集一些关于正、负数的有趣的题目，和小伙伴们交流交流。最大最小趣味阅读同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。例：两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？分析及解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法及乘法都符合交换律，有下面7

4、种情况：15=1+14，114=14；15=2+13，213=26；15=3+12，312=36；15=4+11，411=44；15=5+10，510=50；15=6+9，69=54；15=7+8，78=56。由此可知把15分成7及8之和，这两数的乘积最大。结论1：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。例：比较下面两个乘积的大小：，。分析及解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为比多3，比少3，所以它们的两因

5、数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得ab。挑战自我1、用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？2、两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？3、要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？用割补法求面积趣味阅读在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形及三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成

6、可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。例：在一个等腰三角形中，两条及底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。分析及解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中

7、的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。例：如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。分析及解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形及正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米及边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（99-55）4=14（厘米2）。例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。分析及解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通及矩形的联

8、系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A及A，B及B面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是46=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。分析及解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是4020=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形

9、的边长为（20-2）2=9（厘米），从而乙正方形的面积为99=81（厘米2）。数学名言爱因斯坦说：“数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。”图形的分割与拼接趣味阅读怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。例：请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。分析及解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质

10、来分割。方法一：将某一边等分成四份，连结各分点及顶点（见左下图）。方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点及另两个顶点（见右上图）。方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。例：将右图分割成五个大小相等的图形。分析及解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于155=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。例：右图是一个44的方格纸，请在保持

11、每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。分析及解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。例：将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。分析及解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。挑战自我1、有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请

12、将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。（提示及答案）2、用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。余数问题趣味阅读在整数的除法中，只有能整除及不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。（2）被除数=除数商+余数；除数=（被除数-余数）商；商=（被除数-余数）除数。（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a及b的差能被c整除。例如，17及11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。（4）a及b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（

13、或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（5）a及b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（2316）除以5的余数等于31=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（2319）除以5的余数等于（34）除以5

14、的余数。性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。例： 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。分析及解：由性质（2）知，除数商=被除数-余数。5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=2679。由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在6799之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。例： 被除数、除数、商及余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。解：因为被除数=除数商+余数=除数33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，

15、所以 除数33+52=2058-除数，所以 除数=（2058-52）34=59， 被除数=2058-59=1999。答：被除数是1999，除数是59。挑战自我1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。2、 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。数字问题趣味阅读在数学问题中有一类被称作“数字问题”的题目，及同学们在书本上学到的一些数学问题相比，似乎“不太规则”，有的数学课外参考书称它为“杂类问题”。解答这类题目要求同学们要认真审题，悉心研究题意，关键是做到合理分类，这样才能正确解题。例： 在11999内，是3的倍数，不是5的倍数的

16、数一共有多少个？为什么？分析及解这道题要求3的倍数有多少个，但有两个条件限制：（1）规定在11999内；（2）只是3的倍数，但不是5的倍数。比如：35=15，15是3的倍数，但它同时又是5的倍数，不符合题目要求，所以在1999内，15以及15的倍数都不能算进去。这样在11999内就把3的倍数分为两类：一类是3的所有倍数；一类是15以及15的倍数。然后从3的所有倍数的个数中减去15以及15的倍数的个数，即为题目所求的问题。有三种解法：解法（一） 在11999内3的倍数共有：19993=6661。余1，不到3的1倍，可以不考虑。在11999内15的倍数共有：199915=1334。余4，不到15的

17、1倍，也不考虑。两者相减，便是所求的问题：666-133=533（个）。解法（二） 在11999内3的倍数共有666个，那么，666中又包含多少个5的倍数呢？6665=1331。余1，比5小，可以不考虑。两者相减，便是所求的问题：666-133=533（个）。解法（三） 把数字分段来考虑：比如在130中，3的倍数有10个，但要去掉同时能被3、5整除的数2个，还剩10-2=8（个）。199930=6619。余数19，193=61。余数1比3小，不考虑，但要注意，在最后的6个3的倍数中，有一个是5的倍数（1995），应去掉。每段8个，共有：866+（6-1）=533（个）。例： 43位同学，他们身

18、上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片。问所买的3分画片的总数是多少张？分析及解先来分析一下题目的要求：（1）从8分到5角就是以“分”为单位，从8到50的43个连续自然数，这正好及43个同学一一对应。（2）每个同学都把身上带的全部钱各自买画片，就是每人都不许有余钱。（3）每人既要把钱花光，又要尽量多买5分一张的画片。我们把钱数是5的倍数（0、15、20、25、30、35、40、45、50）的九个人分为一类。他们不能买3分一张的画片。钱数被5除余3分（8、13、18、23、28、33、38、43

19、、48）的九个人分为另一类。他们可以买1张3分的画片，9人共买9张。钱数被5除余1分（11、16、21、26、31、36、41、46）的八个人分为第三类。因为他们身上所余的钱数不是3的倍数，只好退下一个5分及余数1分合成6分，这样每人可以买2张3分画片，8人共买：28=16（张）。用同样的方法，把钱数被5除余2分的8个人再分为一类，每人可买3分画片4张，共买：48=32（张）。把钱数被5除余4分的9个人也分为一类，他们每人可买3分画片3张，共买：39=27（张）。因此，他们所买3分画片的总数共是：9+16+32+27=84（张）。数学名言希尔伯特说：“当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理

20、解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。”年龄问题趣味阅读我们每个人都有年龄，也常常要根据所学的知识解决有关年龄的问题。你能从变化多样的条件中寻求解决的途径吗？让我们从最简单的开始，将常见的年龄问题整理解答出来。例： 今年许鹏比爸爸小30岁。4年后爸爸的年龄是许鹏的3倍。问许鹏和爸爸今年各多少岁？ 4年后爸爸的年龄是许鹏的3倍，即爸爸的年龄比许鹏大2倍（312倍），刚好是他们年龄的差（30岁）。所以4年后许鹏的年龄应该是：30（3l）15（岁）；今年许鹏的年龄是：15411（岁）；今年爸爸的年龄是：113041（岁）。例： 一

21、家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁。想想看，今年每人的年龄是多大？今年全家四口人年龄之和是100岁，那么十年前全家人口年龄之和应该减少10440岁；但1006535，说明十年前还没有弟弟。这个差数5，正是弟弟的年龄，从100中减去姐姐和弟弟年龄就是父母年龄和。由此可知，弟弟今年：104（10065）5（岁）；姐姐今年：5813（岁）；父亲今年：（1005132）242（岁）；母亲今年；42240（岁）。例： 一天宋老师对小芳说：“我像你那么大时，你才1岁。”小芳说：“我长到您这么大时，您已经43岁了。”问他们现在各有多少岁？

22、小芳从1岁到她现在年龄，从她现在年龄到宋老师现在年龄，和宋老师从现在年龄到43岁，这中间的间隔是相等的，正好都等于他们俩人的年龄差，所以宋老师及小芳的年龄差是（431）314（岁）。可知小芳现在年龄为：11415（岁），宋老师现在年龄为：151429（岁）。例：当问某人的年龄时，他说：“我后天22岁，可去年过元旦时，我还不到20岁。”这样的事可能吗？这是可能的。这个人的生日是元月2日。他说话时是今年12月31日。这样一来。他去年元旦时是19岁，1月2日20岁，今年元月1日还是20岁，元月2日21岁，明年元月2日就是22岁了。挑战自我1、有一家祖孙三人正好同一天生日。这一天他们的年龄加起来正好1

23、00周岁。又知道祖父的岁数正好等于孙子过的月数，父亲过的星期数恰好等于他儿子过的天数。请你算一算祖孙三人各有多少岁？2、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？3、妈妈今年的年龄是小红的4倍，3年前妈妈和小红的年龄和是39岁。妈妈和小红今年各几岁？4、今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍，二人今年各几岁？方法点睛：解答年龄问题，要灵活运用一下三个规律：1.无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的。2.随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。3.随着时间的变化，两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。巧算趣味阅读灵活、合理地应用乘法的结

24、合律、交换律、分配律在四则运算中进行简便计算，是我们小学生必须掌握的基本技能。做到这一点，既能提高运算速度，还能提高运算的准确性。例1简算99999999。例272108+10846-（118142-118134）例37364+2765例4用简便方法计算：12524例5不要算出结果，比较下面两个积的大小。9876543211234567899876543221234567881用简便方法计算（1）5139117（2）45204-454（3）11111111119999999999（4）（12574+12526）82胜利村共有村民2308人，1992年1月至6月人均收入为804元，人均存款是18

25、9元，求该村平均每月总收入及半年存款数2想一想，在括号内填上合适的数。（1）123456799=1111111111234567918=（）12345679（）=44444444412345679（）=555555555（2）1111=121111111=1232111111111=（）1111111111=（）3（1）观察下面二道算式的因数有什么特点？计算方法是怎样的？7674=56243931=1209（2）根据上面的计算方法直接写出下面各题的得数。4347=8486=高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登”数学名言