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1、-全国名校高考数学专题训练09立体几何(解答题3)-第 23 页全国名校高考专题训练09立体几何（解答题3)51、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)如图PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点。 （1）求证：AF/平面PCE； （2）若二面角PCDB为45，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离。证：（1）取PC中点M，连ME，MFFM/CD，FM=，AE/CD，AE=AE/FN，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形AE/EM，AF平面PCEAF/平面PCE解：（2）PA平面AC，CDAD，CDPDPDA是二面角PCDB的平面角，PDA=45
2、PAD是等腰Rt，而EM/AF。又AFCDAF面PCD，而EM/AFEM面PCD又EM面PEC，面PEC面PCD在面PCD内过F作FHPC于H则FH为点F到面PCE的距离由已知PD=PFHPCD52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE中，AE面ABC，BDAE，且ACABBCBD2，AE1，F为CD中点(1)求证：EF面BCD；(2)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值53、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1BC2，且M是BC的中点，点N在CC1上()试确定点N的位置，使AB1MN；()当AB1MN时，求二面角
3、MAB1N的大小54、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，ABCA1B1C1O且侧面底面.（1）证明：点在平面上的射影为的中点；（2）求二面角的大小 ；（3）求点到平面的距离.（1）证明：过B1点作B1OBA。侧面ABB1A1底面ABCA1O面ABC B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角B1BO= 在RtB1OB中，BB1=2，BO=BB1=1又BB1=AB，BO=AB O是AB的中点。即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点4分 （2）连接AB1过点O作OMAB1，连线CM，OC，OCAB，平面ABC平面AA1BB1 OC平面A
4、ABB。OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 OMAB1AB1CM OMC是二面角CAB1B的平面角在RtOCM中，OC=，OM=OMC=cosC+sin2二面角CAB1B的大小为8分 （3）过点O作ONCM，AB1平面OCM，AB1ONON平面AB1C。ON是O点到平面AB1C的距离连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点B与C1到平面ACB1的相导。又O是AB的中点 B到平面AB1C的距离是O到平面AB1C距离的2倍是G到平面AB1C距离为12分55、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)如图，正方形ABCD中，ACBDO,PO平面ABCD，POAD，点E在PD上，PE：ED
5、=2：1。 （1）证明：PD平面EAC； （2）求二面角APDC的余弦值； （3）求点B到平面PDC的距离。解：（1） （2）CEA为二面角APDC的平面角， （3）点B到平面PDC的距离为56、(湖北省八校高2008第二次联考)SQDABPC如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，为的中点，为的中点. （）求证：平面；（）求二面角的大小解：（1）证明取SC的中点R，连QR, DR.由题意知：PDBC且PD=BC; QRBC且QP=BC,QRPD且QR=PD.PQDR, 又PQ面SCD,PQ面SCD. （6分） （2）法一：连接SP， . . ， （12分）（2）法二：
6、以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（），B（）,C（），Q（）. 面PBC的法向量为（）,设为面PQC的一个法向量， 由，cos， （12分）57、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.（1）证明：连，在长方体ABCDA1B1C1D1中，为在平面的射影，而AD=AA1=1，则四边形是正方形，由三垂线定理得D1EA1D 3分（2）解：以
7、点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则、则，设平面的法向量为，记点A到面ECD1的距离7分（3）解：设则，设平面的法向量为，记而平面ECD的法向量，则二面角D1ECD的平面角。当AE=时，二面角D1ECD的大小为。12分58、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)(湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足（如图1）.将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （）求证：A1E平面BEP； （）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表
8、示）.图1图2解：不妨设正三角形的边长为3，则（1）在图1中，取中点，连结，则 ,而，即 是正三角形又, 在图2中有,为二面角的平面角二面角为直二面角,又,平面,即平面.（2）由（1）问可知A1E平面BEP，BEEF,建立如图的坐标系，则（0，0，0），A1（0，0，1）B（2，0，0），F（0，0，）.在图中，不难得到F/P且FP；/ FP且FP故点的坐标（1，0），不妨设平面A1BP的法向量，则令得故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为. （3）由（2）问可知平面A1BP的法向量，设平面AEP的法向量，则令得故显然二面角BA1PF为钝角故二面角BA1PF为.【方法探究】本题属于翻折问题，
9、在翻折前的图中易证EAB，而翻折后保持这一垂直关系，并且易证，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可以建立坐标系，利用空间向量求解.【技巧点拨】本题属于翻折问题，这是高考的热点题型. 求解翻折问题的策略是对比翻折前后，分析变与不变，一般地有：（1）分析翻折前后点的变化，注意点与点的重合问题以及点的位置的改变；（2）分析翻折前后长度与角度的变化，注意利用平面图形解决空间的线段长度以及空间角的大小；（3）若翻折后，线与线仍同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；若翻折后，线与线由同一平面转为不同平面，则应特别注意点的位置变化.59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)在四棱锥
10、PABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA平面ABCD，且PA=2AB （）求证：平面PAC平面PBD； （）求二面角BPCD的余弦值.解：（）证明：PA平面ABCD PABDABCD为正方形 ACBDBD平面PAC又BD在平面BPD内，平面PAC平面BPD 6分 （）解法一：在平面BCP内作BNPC垂足为N，连DN，RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC；BND为二面角BPCD的平面角，在BND中，BN=DN=，BD=cosBND = 解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面BCP内作BNPC垂足为N连DN，RtPBCRtPDC，由B
11、NPC得DNPC；BND为二面角BPCD的平面角设10分12分解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AMPB于M、ANPD于N，易证AM平面PBC，AN平面PDC，设二面角BPCD的平面角与MAN互补二面角BPCD的余弦值为12分60、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD. 已知（1）证明；（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小.解法一：（1）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又，故为等腰直角三角形， 由三垂线
12、定理，得（2）由（1）知，依题设，故，由，得 所以的面积 连结DB，得的面积 设D到平面SAB的距离为h，由，得，解得设SD与平面SAB所成角为，则 所以直线SD与平面SAB所成的角为解法二：（1）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又，为等腰直角三角形，如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz， ，所以（2）取AB中点E，. 连结SE，取SE中点G，连结OG，OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直，所以平面SAB.的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余.所以直线SD与平面SAB所成的角为61、(
13、湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，点分别为的中点。求证：；求直线与平面所成的角的大小；求二面角的正切值。解：连结。在中，点为的中点，又面，即为在平面内的射影分别为的中点面，连结交于点，平面为直线与平面所成的角，且面，又，在中，过点作于点，连结，面，即为在平面内的射影，为二面角的平面角 中，（其他解法根据具体情况酌情评分）62、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，且,点是的中点。求证：；求证：；求二面角的大小。63、ABCDP(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,平
14、面,.（）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;（）求二面角APBD的大小.解：（）取DC的中点E.ABCD是边长为的菱形,，BECD.平面, BE平面， BE.BE平面PDC.BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. 3分BE=，PE=,=. 6分（）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AOBD.平面, AO平面， PD. AO平面PDB.作OFPB于F，连接AF，则AFPB.故AFO就是二面角APBD的平面角. 9分AO=，OF=，=.=. 12分64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，A
15、B=2，E、F分别是AB、PD的中点 （）求证：AF平面PEC； （）求PC与平面ABCD所成角的大小； （）求二面角P一EC一D的大小解：（）取PC的中点O，连结OF、 OEFODC，且FO=DCFOAE 2分又E是AB的中点且AB=DCFO=AE四边形AEOF是平行四边形AFOE又OE平面PEC，AF平面PECAF平面PEC（）连结ACPA平面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角6分在RtPAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 9分（）作AMCE，交CE的延长线于M连结PM，由三垂线定理得PMCEPMA是二面角PECD的平面角 11分由AMECBE，可得，二面角P一E
16、C一D的大小为 13分解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，则A（00，0），B（2，0，0），C（2，l，0），D（0，1，0），F（0，），E（1，0，0），P（0，0，1）（）取PC的中点O，连结OE，则O（1，）， 5分又OE平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC 6分（）由题意可得，平面ABCD的法向量即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 9分（）设平面PEC的法向量为则，可得，令，则 11分由（2）可得平面ABCD的法向量是二面角P一EC一D的大小为 13分65、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)在直三棱柱中，A1A=AB=3，AC=3，、Q分别为棱BB1、CC1
17、上的点，且.（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.（2）在线段A1B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC1最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.解：（1）建立如图所示空间直角坐标系AA（0，0，0），P（3，0，），Q（0，3，2）.设平面APQ的一个法向量为令，则平面ABC的一个法向量平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45.（6分）（1）问也用传统方法求解.（并参照计分）（2）沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开，连结AC1与A1B交于点M，此时AM+MC1有最小值.又C1A1面ABB1A1，C1A1A1B.AA1C1中，AA1C1=135AC1=存在点M，
18、使AM+AC1取最小值为（12分）66、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC=60，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60。（）证明：BDAA1；（）求二面角DA1AC的平面角的余弦值；（）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。解：连接BD交AC于O，则BDAC，连接A1O在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60A1O2=AA12+AO22AA1Aocos60=3AO2+A1O2=A12A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，所以A1O底面ABC
19、D以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，）2分（）由于则BDAA1 4分 （）由于OB平面AA1C1C平面AA1C1C的法向量设平面AA1D则得到 6分所以二面角DA1AC的平面角的余弦值是 8分（）假设在直线CC1上存在点P，使BP/平面DA1C1设则得 9分设则设得到 10分又因为平面DA1C1则即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP 12分67、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD
20、是边长为2的菱形，BAD60，N是PB中点，截面DAN交PC于M.（）求PB与平面ABCD所成角的大小；（）求证：PB平面ADMN；（）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.解：解法一：（I）取AD中点O，连结PO，BO.PAD是正三角形，所以POAD，又因为平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD，BO为PB在平面ABCD上的射影，所以PBO为PB与平面ABCD所成的角由已知ABD为等边三角形，所以POBO，所以PB与平面ABCD所成的角为45. （）ABD是正三角形，所以ADBO，所以ADPB，又，PAAB2，N为PB中点，所以ANPB，所以PB平面ADMN. （）连结ON
21、，因为PB平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，因为ADPO，所以ADNO，故PON为所求二面角的平面角.因为POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以PON45，即所求二面角的大小为45解法二：（）同解法一（）因为PO平面ABCD，所以POBO，ABD是正三角形，所以ADBO，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知O（0，0，0），B（0，0，），P（0，0，），A（1，0，0），D（1，0，0），N（0，），所以，所以，所以ADPB，ANPB，所以PB平面ADMN，（）因为ADPB，ADBO，所以AD平面POB， 所以ONAD，又POAD，所以故PON为所求二面角的平
22、面角. 因为设所求二面角为，则，所以45，即所求二面角的大小为45.68、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)如图，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面中心，且在底面上的射影为， （1）求证：平面平面；A1B1C1D1ABCDOEFO1 （2）若点、分别在棱、上，且，问点在何处时，？ （3）若，求二面角的大小解法一：（1）证明: 建立空间直角坐标系如图所示，设地面正方形的边长为a， 则 ， 由 ，得 平面A1B1C1D1ABCDOEFO1xyz 又平面， 平面平面 4分 （2） 由（1）及， 得 设，则， 由 8分（3）由， 从而 ， 设 是平面的一个法向量， 则 又 平面的一个
23、法向量为 所求二面角的大小为 12分 解法二：用欧氏几何推证的方法也可以解决。（略）69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，C=90，点D是A1C1的中点. （1）求证：BC1/平面AB1D； （2）求二面角A1B1DA的正切值.（1）证明：连结A1B交AB1于点O，连结OD点D是A1C1的中点，点O是A1B的中点，ODBC1 2分又OD平面A1B1C1，BC1平面A1B1C1BC1平面AB1D 5分 （2）过点A1作A1E垂直B1D交B1D延长于点E，连结AEABCA1B1C1是直三棱柱 A1A平面A1B1C1又A1EB1D AE
24、B1D AEA1是二面角AB1DA1的平面角 9分 12分解法二：利用空间向量法（略）70、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图，正三棱柱中，是的中点，（）求证：平面；（）求二面角的大小。解法一：（）证明：连接 。 3分平面 5分（）解：在平面 8分设。在所以，二面角的大小为。 12分解法二：建立空间直角坐标系，如图，（）证明：连接连接。设则。 3分平面5分（）解：设故 同理，可求得平面。9分设二面角的大小为 的大小为。12分71、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B
25、1内，PB1=PC1= （1）求证：PA1BC； （2）求证：PB1/平面AC1D；（3）求 解：（1）证明：取B1C1的中点Q，连结A1Q，PQ，B1C1A1Q，B1C1PQ，B1C1平面AP1Q，B1C1PA1，BCB1C1，BCPA1. （2）连结BQ，在PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为中点，PQ=1，BB1=PQ，BB1PQ，四边形BB1PQ为平行四边形，PB1BQ. BQDC1，PB1DC1，又PB1面AC1D，PB1平面AC1D.（3）= 72、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD/AB , ADAB , AD = DC
26、= AB , BCPC（1）求证：PABC ；（2）试在线段PB上找一点M，使CM / 平面PAD，并说明理由解：（1）连，在四边形ABCD中， 设，在中，在中， ，3分又， 5分7分(2)当为的中点时，8分 取的中点，连结则 ，12分 ，14分73、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB = 2，AB1BC1（1）求BB1的长；（2）求二面角A1AB1C1的余弦值解：（1）分别取中点，连结 在正三棱柱中，四边形为矩形， 分别为中点， ， 为正三角形，为中点 ， 分别以，所在直线为 建立如图的空间直角坐标系2分设， ， 即： 即：5分（2） 的一
27、个法向量是7分 设平面的法向量为，又 解得：不妨设，则平面的一个法向量10分二面角的余弦值是74、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，（）求证：AC平面BB1C1C；（）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论证明：（） 直棱柱中，BB1平面ABCD，BB1AC 2分又BADADC90，CAB45， BCAC5分又，平面BB1C1C， AC平面BB1C1C 7分（）存在点P，P为A1B1的中点 8分证明：由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1AB9分又DCAB，DCAB，DC PB1，且
28、DC PB1，DC PB1为平行四边形，从而CB1DP11分又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP面ACB113分同理，DP面BCB114分评讲建议：本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BCAC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的变题：求证：（1）A1BB1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E平面ACD1，并说明理由75、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分 别是BB1、CD的中点 （1）求证AED1F；（2）证明平面AED平面A1FD1解：（1）取AB的中点G，则易证得A1GD1F又正方形A1ABB1中，E、G分别是相应边的中点，A1GAE，D1FAE（2）由正方体可知：A1 D1面A1ABB1，A1D1AE 又由（1）已证：D1FAEA1D1D1F= D1，AE平面A1FD1 又平面AED，平面AED平面A1FD1