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1、-全等三角形培优讲义-第 3 页全等三角形常见辅助线作法精准诊查【知识导图】【导学】全等三角形第一部分：知识点回顾常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
2、5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答第二部分：例题剖析一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：A
3、D平分BAE.二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC2、如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD3、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC应用：三、平移变换例1 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且B
4、D=CE，求证：AB+ACAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.例2 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；例3 设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上
5、滑动且保持EAF=450，APEF于点P，（1） 求证：AP=AB。（2）若AB=5，求ECF的周长。变式练习1、如图所示，正方形ABCD的BC边上有一点E，DAE的平分线交CD于F，试用旋转的思想方法说明AE=DF+BE 3.（1）如图111，ADE中，AE=AD且AED=ADE，EAD=90，EC、DB分别平分AED、ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；图111图112O（2）ADE的位置保持不变，将ABC绕点A逆时针旋转至图112的位置，AD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由【课后作业】1.如图，在ABC中，ACB90，A
6、CBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAEBF（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系ADBD；ADBD；ADBD2.如图3，RtABC中，ACB=90，AC=BC，ADCD，BFCD，AB交CD于E.求证：DF=CD-AD.3.如图，已知AC=BC，ACB=90，D为AB上任意一点，AECD延长线于E，BFCD于F.求证：EF=BF-AE.4如图，在ABC中，ACBC,AC=BC,D为AB上一点，AFCD交CDA C F D E BB 的延长线于F，BECD于E.求证：EF=BEAF5.如图，AD为ABC的中线，ADB和ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F求证：BE+CFEF