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1、1.1.21.1.2余弦定理余弦定理( (一一) )新课引入新课引入在在ABC中，若中，若AB2，AC3，A60问题问题1：这个三角形确定吗？：这个三角形确定吗？问题问题2：你能利用正弦定理求出：你能利用正弦定理求出BC吗？吗？问题问题3：能否利用平面向量求边：能否利用平面向量求边BC？如何求？如何求？ABC问题问题4：利用问题：利用问题3的推导方法，能否用的推导方法，能否用a，b，C推导出推导出c?CBAcab探探 究究： 在在ABC中，已知中，已知CB=a,CA=b，CB与与CA的夹角为的夹角为C， 求边求边ccABbCAaCB,设设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos2
2、22Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac2222coscababCBaccabcos2222同理同理：2222cosabcbcA问题问题5：刚才探究中的问题还可以用其他方法：刚才探究中的问题还可以用其他方法来解决吗？来解决吗？CBAcabCBAcab(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)坐标法坐标法探探 究究： 在在ABC中，已知中，已知CB=a,CA=b，CB与与CA的夹角为的夹角为C， 求边求边c余余 弦弦 定定 理理C CB BA Ab ba ac c2222coscababC2222cosabcbcA2222
3、cosbacacBbcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：推论：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍余弦定理余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。C CB BA Ab ba ac c剖析余弦定理：剖析余弦定理：（1）本质：揭示的是三角形三条边与某本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系，一角的关系， 从方程的角度
4、看，已知三从方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；个量，可以求出第四个量；（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；股定理是余弦定理的特例；（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；已知）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边；两边及它们的夹角，求第三边；（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形,任意一个角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式任意一个角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。完全一致的。1.ABC3,2 3,30 ,bc
5、Aa例 在中，已知求边 的值3a C CA AB Babc c新知应用新知应用变式变式在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别的对边分别为为a，b，c，若，若 ，则角，则角B的值为的值为()A. B. C. 或或 D. 或或2223acbac63656323A: :1:3:2a b c 例例2在在ABC中，若中，若求求A、B、C新知应用新知应用变式变式边长为边长为5，7，8的三角形中，最大角的三角形中，最大角与最小角的和是与最小角的和是: :1:3:2a b c 变式变式在在ABC中，已知中，已知解此三角形解此三角形.3,3 3,30bcB例例3 在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45
6、,解此三角形解此三角形.22归纳归纳在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？利弊呢？ 在已知两边和一个角的情况下：求另一角在已知两边和一个角的情况下：求另一角余弦定理正弦定理用余弦定理推论，解唯一用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。可以免去判断舍取。用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取行判断舍取小结小结: :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 1 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2 2、已知三边求三个角；、已知三边求三个角； 3 3、判断三角形的形状、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222 余弦定理余弦定理：推论推论: :数学思想数学思想：化归思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、化归思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程思想方程思想