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1、代数系统的一般性质代数系统的一般性质 现在学习的是第1页，共37页第第5章章 代数系统代数系统现在学习的是第2页，共37页代数系统代数系统成分：集合成分：集合+ +运算运算公理：运算性质公理：运算性质代数系统的构成代数系统的代数系统的同构与同态同构与同态代数系统间的关系映射映射半群与群半群与群环与域环与域格与布尔代数格与布尔代数子代数子代数积代数积代数商代数商代数笛卡儿积笛卡儿积等价关系等价关系子集子集新的代数系统分类分类生成生成现在学习的是第3页，共37页代数系统代数系统5.0近世代数简介近世代数简介5.1 二元运算及其性质二元运算及其性质 5.2 代数系统的同态与同构代数系统的同态与同构现
2、在学习的是第4页，共37页近世代数简介近世代数简介l公元公元3世纪，中国数学家世纪，中国数学家赵爽赵爽对于一元二次方程对于一元二次方程 -x2+kx=c给出了一个根的公式给出了一个根的公式l我们现在熟知的一元二次方程的求根公式是由我们现在熟知的一元二次方程的求根公式是由花拉子米花拉子米在在600年后建立的年后建立的:21(4 )2xkkc2240,2bbacaxbx cxa 现在学习的是第5页，共37页近世代数简介近世代数简介l三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚塔塔利亚和和卡丹卡丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的的出现，
3、才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。求根公式。 方程方程 的解为：的解为：l而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里费拉里得出的。得出的。3( ,; ,0)xpxq p qR p q232333,( )() ,( )()223223xabqqpqqpab现在学习的是第6页，共37页近世代数简介近世代数简介l法国数学家法国数学家拉格朗日拉格朗日发表论文发表论文关于代数方程解的思考关于代数方程解的思考，他认为次数不低于五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他认为次数不低于五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正确性，但是终以失
4、败告终，然而这件事他试图证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们的研究工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时的研究工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，即近世代数时代。代，即近世代数时代。现在学习的是第7页，共37页近世代数简介近世代数简介l厄米特厄米特评价评价阿贝尔阿贝尔：“他工作他工作中丰富的数学思想可以让数学家中丰富的数学思想可以让数学家们忙碌们忙碌500500年。年。”l他的论文他的论文高于四次的一般方程高于四次的一般方程的代数求解不可能
5、性的证明的代数求解不可能性的证明是是代数学发展史上里程碑式的代数学发展史上里程碑式的重大突破。重大突破。（N.H.Abel，18021829）现在学习的是第8页，共37页近世代数简介近世代数简介l罗素罗素说，他的死使数学的发展推迟了几说，他的死使数学的发展推迟了几十年。十年。l伽罗瓦最主要的成就是提出了伽罗瓦最主要的成就是提出了群群的概念，的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关程的问题，而且由此发展了一整套关于于群和域群和域的理论。的理论。( Galois 1811.10-1832.5)现在学习的是第9页，共37页近世代数简介近
6、世代数简介引例引例 凯撒密码凯撒密码思考：思考：明文和密文如何转换？明文和密文如何转换？如明文如明文 HELLO WORLD ？明文明文a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 密文密文D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C现在学习的是第10页，共37页近世代数简介近世代数简介用数字用数字025表示字母表示字母az，a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
7、2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25则则Z26=0,1,2, ,25,凯撒加密实现了如下转换过程：凯撒加密实现了如下转换过程： f : Z26 Z26 ， xZ26 , y = f(x)= (x+3)mod26上述上述构成了一类代数系统构成了一类代数系统：群：群现在学习的是第11页，共37页近世代数简介近世代数简介l思考：思考：更一般地，若加密函数变为更一般地，若加密函数变为 y= (ax+b)mod26, 如何解如何解出出x？ x = a-1(y-b)mod26现在学习的是第12页，共37页近世代数简介近世代数简介近世代数的内容：近世代数的内容：l
8、近世代数所要探讨的数学结构是近世代数所要探讨的数学结构是由集合上定义若干运由集合上定义若干运算而组成的系统算而组成的系统称为代数系统。称为代数系统。l主要介绍主要介绍 群、环、域、格、布尔代数群、环、域、格、布尔代数等基本概念和理等基本概念和理论。论。现在学习的是第13页，共37页近世代数简介近世代数简介近世代数特点：近世代数特点：l比较抽象。采用集合论的记号。比较抽象。采用集合论的记号。l对对运算及其运算规律运算及其运算规律的重视。的重视。l研究对象高度抽象，以便掌握最根本的性质。研究对象高度抽象，以便掌握最根本的性质。现在学习的是第14页，共37页近世代数简介近世代数简介近世代数学在计算机
9、科学中的广泛应用：近世代数学在计算机科学中的广泛应用： (1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用；半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用； (2)群论在计算机安全领域的重要作用；群论在计算机安全领域的重要作用； (3)有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发 挥了挥了重要作用；重要作用； (4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通讯格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通讯 系系统设计中的重要工具。统设计中的重要工具。现在学习的是第15页，共37页代数系统代数系统5.0近世代数简介近世代数简介5.1 二元运算及其性质二元运
10、算及其性质 5.2 代数系统的同态与同构代数系统的同态与同构现在学习的是第16页，共37页二元运算及其性质二元运算及其性质l代数系统代数系统l二元运算二元运算l二元运算的重要性质二元运算的重要性质（重点）（重点）l代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素（重点）（重点）现在学习的是第17页，共37页代数系统代数系统定义定义 代数系统代数系统 集合及其上的运算集合及其上的运算 定义定义 运算运算f 函数函数 f : SSSS注：注：通常用符号通常用符号“+”+”、“-”-”、“* *”、“/ /” ”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“” ”、“ ”、 “ ”、“ ”等抽象的符号来表示一个
11、抽等抽象的符号来表示一个抽象的运算。象的运算。封闭性封闭性现在学习的是第18页，共37页代数系统代数系统例例1 通常通常数的乘法运算数的乘法运算是否可看作下列集合上的二元运算？是否可看作下列集合上的二元运算？请说明理由。请说明理由。（1）A=1,2（2）B=x|x是素数是素数（3）C=x|x是偶数是偶数（4）D=2n|nN 现在学习的是第19页，共37页代数系统代数系统例例2 几个比较重要的代数系统：几个比较重要的代数系统：(1) , “+” 为普通加法。为普通加法。 整数加群整数加群(2) ，“ ”定义为模定义为模n加法，加法，x y = (x+y)modn. 模模n加群加群(3) , “
12、”为对称差运算。为对称差运算。对称差群对称差群(4) ，“”,“”,“ ”为集合的并、交、补运算为集合的并、交、补运算 集合代数集合代数(5) ,“ ”，“ ”，“ ”分别为命题的合取、析取、分别为命题的合取、析取、否定运算否定运算 布尔代数布尔代数 现在学习的是第20页，共37页代数系统代数系统l运算表：运算表：xi (xi)x1x2xn (x1) (x2) (xn)一元运算表x1 x2 xnx1x2xnx1 x1 x1 x2 x1 xnx2 x1 x2 x2 x2 xn xn x1 xn x2 xn xn二元运算表现在学习的是第21页，共37页代数系统代数系统例例3 令令A=a,b ，写出
13、，写出P(A)上的上的运算表运算表。aaaaabbbbba,ba,ba,b上上 表表 头头 元元 素素左表头元素左表头元素运算运算现在学习的是第22页，共37页代数系统代数系统练习练习 设设S=1,2,3,4，定义，定义S上的二元运算如下：上的二元运算如下：x y=(xy) mod 5, x, y S. 求求的运算表。的运算表。注：注：运算表可以直观地显示出运算所具有的某些性质。运算表可以直观地显示出运算所具有的某些性质。 1 2 3 41234 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1现在学习的是第23页，共37页二元运算的性质二元运算的性质 运算性质是代数系统的核心。
14、根据运算的性质，可以将众多代运算性质是代数系统的核心。根据运算的性质，可以将众多代数系统进行抽象分类，比如群，交换群，循环群，置换群，环，域数系统进行抽象分类，比如群，交换群，循环群，置换群，环，域，格，布尔代数，等等。，格，布尔代数，等等。现在学习的是第24页，共37页二元运算的性质二元运算的性质定义定义 设设和和*为为S上的二元运算，上的二元运算，(1) 在在S上上可交换可交换： x,y S, xy=yx.(2) 在在S上上可结合可结合： x,y,z S, (xy)z=x(yz).(3) 适合适合幂等律幂等律： x S, xx=x.(4) *对对可分配可分配： x,y,z S, x*(yz
15、)=(x*y)(x*z).(5) 和和*满足满足吸收律吸收律： x,y S, x*(xy)=x, x(x*y)=x.现在学习的是第25页，共37页二元运算的性质二元运算的性质注：注：在满足结合性的集合上，可以定义元素的幂运算。在满足结合性的集合上，可以定义元素的幂运算。 xx=x2 x2x=xx2=x3 xmxn=xm+n (xm)n=xmn (m,n Z+)现在学习的是第26页，共37页二元运算的性质二元运算的性质例例4 关于元素的幂，请计算：关于元素的幂，请计算： (1)整数集上的加法整数集上的加法 +： 13 = ？ ， 乘法乘法： 13= ？(2)集合族集合族P(S)上的对称差上的对称
16、差 ： A3= ? （A P(S)）(3)集合集合Zn=0,1,2, . , n-1上的模上的模n加法：加法： xy = (x+y)modn 求求x3= ? (x Zn)现在学习的是第27页，共37页二元运算的性质二元运算的性质例例5 在在Z+上定义两个运算为：上定义两个运算为：a*b=ab，ab=a b，其中，其中“ ”是普通乘法，是普通乘法，试证明试证明*对对是不可分配的。是不可分配的。现在学习的是第28页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素定义定义 设设为为S上的二元运算，上的二元运算， el, er, e, l, r , S，(1) 左幺元左幺元el： x S, elx =x
17、. 右幺元右幺元er： x S, xer=x. 幺元幺元(单位元单位元)e：e既是左幺元，又是右幺元。既是左幺元，又是右幺元。(2) 左零元左零元 l： x S, lx = l. 右零元右零元 r ： x S, x r = r. 零元零元 ： 既是左零元，又是右零元。既是左零元，又是右零元。(3) x的的左逆元左逆元yl： x S, yl S, 使得使得 ylx = e. x的的右逆元右逆元yr： x S, yr S, 使得使得xyr = e. x的的逆元逆元y：y S既是既是x的左逆元，又是的左逆元，又是x的右逆元。的右逆元。现在学习的是第29页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素
18、定理定理 (1) 幺元存在唯一性。幺元是代数系统的幺元。幺元存在唯一性。幺元是代数系统的幺元。(2) 零元存在唯一性。零元是代数系统的幺元。零元存在唯一性。零元是代数系统的幺元。(3) 设设在在S上可结合，则逆元若存在，则唯一。上可结合，则逆元若存在，则唯一。 通常把这个唯一的逆元记作通常把这个唯一的逆元记作x-1. 逆元依赖于元素逆元依赖于元素x。注：注：在定义了在定义了幺元和逆元幺元和逆元之后，元素的幂运算可以扩充至：之后，元素的幂运算可以扩充至： x0=e， xn =xxn-1 xmxn=xm+n (xm)n=xmn (m,n Z) 现在学习的是第30页，共37页代数系统的特殊元素代数系
19、统的特殊元素例例6 求以下各代数系统的幺元，零元及各元素的逆元（如果存在的话求以下各代数系统的幺元，零元及各元素的逆元（如果存在的话）。）。(1) , “+” 为普通加法。为普通加法。(2) ，“ ”定义为模定义为模n加法，加法，x y = (x+y)modn.(3) , “ ”为对称差运算。为对称差运算。(4) ，“”,“” 为集合的并、交运算为集合的并、交运算， ， 现在学习的是第31页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素例例7 关于元素的幂，请计算：关于元素的幂，请计算：(1)整数集上的加法整数集上的加法 +： 1-3 = ？ ， 乘法乘法： 2-3 = ？(2)集合族集合族P
20、(S)上的对称差上的对称差 ： A-3= ? （A P(S)）(3)集合集合Zn=0,1,2, . , n-1上的模上的模n加法：加法： xy = (x+y)modn 求求x-3= ? (x Zn)现在学习的是第32页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素定义定义 设设为为S上的二元运算，如果上的二元运算，如果 x, y, z S满足以下条件：满足以下条件：(1) 若若x y = x z且且x不是零元，则不是零元，则y = z，(左消去律左消去律) (2) 若若y x = z x且且x不是零元，则不是零元，则y = z，(右消去律右消去律)就称运算就称运算满足满足消去律消去律。现在学习
21、的是第33页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素例例8 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的幺元、零元和所有的逆元。质，并求出它的幺元、零元和所有的逆元。(1) x, y Z+，x*y=lcm(x, y)，即求，即求x和和y的最小公倍数。的最小公倍数。(2) x, y Q，x*y=x+y - xy.现在学习的是第34页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素解：解：(1) *运算运算可交换，可结合，可交换，可结合，是是幂等幂等的。的。 x Z+，x*1=x，1*x=x，1为为幺元幺元，不存在，
22、不存在零元零元。只有。只有1有有逆元逆元，是，是它本身，其它整数无逆元。它本身，其它整数无逆元。(2) *运算满足交换律运算满足交换律， x, y Q，x*y = x+y-xy = y+x-yx = y*x.*运算满足结合律运算满足结合律， x, y, z Q，有，有(x*y)*z=(x+y-xy)*z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z =x+y+z-xy-xz-yz+xyz，x*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz) =x+y+z-xy-xz-yz+xyz，(x*y)*z=x*(y*z).现在学习的是第35页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特
23、殊元素(续上续上)*运算不满足幂等律运算不满足幂等律，5 Q，但，但5*5=5+5-5 5= -15 5.*运算满足消去律运算满足消去律， x, y, z Q，x 1（1为零元），为零元），证明左消去律成立：若使证明左消去律成立：若使x*y=x*z，即，即x+y-xy=x+z-xz，只有，只有y=z时成立时成立。同理可证右消去律也成立。同理可证右消去律也成立。 x Q，有，有x*0=x+0-x0=x, 0*x=0+x-0 x=x，0是是幺元幺元。 x Q，有，有x*1=x+1-x1=1, 1*x=1+x-1x=1，1是是零元零元。 x Q，欲使，欲使x*y=0和和y*x=0，即，即x+y-xy
24、=0，解得解得 即即 （逆元）（逆元）).1x(1xxy).1x(1xxx1现在学习的是第36页，共37页代数系统的特殊元素代数系统的特殊元素注：注：计算幺元、零元、幂等元、逆元等特殊元时，计算幺元、零元、幂等元、逆元等特殊元时，首先首先可以假设可以假设这些元存在，这些元存在，然后根据定义直接得到方程（然后根据定义直接得到方程（组组），解这个方程），解这个方程（组组）就可以计算出这些元素，如果方程无解，则特殊元不）就可以计算出这些元素，如果方程无解，则特殊元不存在。存在。 思考：思考：如何通过运算表观察运算的某些性质及特异元素？如何通过运算表观察运算的某些性质及特异元素？现在学习的是第37页，共37页