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1、关于函数的单调性与导数ppt现在学习的是第1页，共36页（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1复习：基本初等函数的导数公式现在学习的是第2页，共36页单调性的定义对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。一般地，设函数y=f(x
2、)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数 现在学习的是第3页，共36页判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数 的单调性。yx 2 (,0) (0,)xyo2yx 函数在 上为_函数，在 上为_函数。图象法定义法减增如图：现在学习的是第4页，共36页思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7
3、，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x24x3图象来考察单调性与导数有什么关系现在学习的是第5页，共36页2yx0.再观察函数y=x24x3的图象：总结: 该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.现在学习的是第6页，共36页xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.( )yf x 结论：在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,
4、那么函数 在这个区间内单调递减.( )0fx ( )0fx ( )yf x 如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数现在学习的是第7页，共36页a b( , )在在某某个个区区间间内内, ,fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递增增fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递减减注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。现在学习的是第8页，共36页2121()() y f xf xxxx1122( )A( ,()B(,()yf xxf xxf x 表示过函数图象上两点、的直线斜率。几何意义：关系：12,( )x
5、 xyf x 当区间()的长度很小时，平均变化率可以近似地反映函数在这个区间的单调性。思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。( )f x课本思考思考1：如果在某个区间内恒有 ，那么函数 有什么特性？( )0fx ( )f x( )f x 是是常常数数函函数数。现在学习的是第9页，共36页利用导数的符号来判断函数单调性利用导数的符号来判断函数单调性: 若某个区间内恒有若某个区间内恒有 f (x)0，则，则 f (x)为常数函为常数函 数数 现在学习的是第10页，共36页例1、已知导函数 的下列信息：( )f x当1x0;当x4,或x1时， 0)
6、(xf从而函数f(x)=x3+3x在xR上单调递增，见右图。现在学习的是第15页，共36页(2) f(x)=x2-2x-3 ;解： =2x-2=2(x-1)(xf图象见右图。当 0，即x1时，函数单调递增；)(xf当 0，即x1时，函数单调递减；)(xf现在学习的是第16页，共36页(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p)解： =cosx-10，即 时，函数单调递增；)(xf21712171xx或现在学习的是第18页，共36页图象见右图。当 0,即在（0， 1上恒成立31g xxg xg max而 ( )在（0， 1上单调递增，( )(1)=-11a-现在学习的是第25页，共36页32
7、2f xx 当a1时， ( )1f xa-f x对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数所以a的范围是-1，+ ）在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f x( )0(或0(或0 (B)1a1 (D) 0a1 )33,33(A现在学习的是第30页，共36页现在学习的是第31页，共36页现在学习的是第32页，共36页证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=
8、1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数.f(0)=e010=0.当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0.1+2xe2x2.当x0时，证明不等式：1+2xe2x.分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.现在学习的是第33页，共36页3.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。 )231,fxax解: )0,)afx 若则在(-恒正, )f x只有一个单调区间,与题意不符. )211133,333fxa xa xxaaa若a0,则 )0 ,)af x 11时有三个单调区间,(- ,-3a-3a,11为它的减区间,为它的增区间.-3a-3a现在学习的是第34页，共36页提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小现在学习的是第35页，共36页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第36页，共36页