一阶微分方程课件.ppt

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1、关于一阶微分方程关于一阶微分方程现在学习的是第1页，共88页一、可分离变量方程一、可分离变量方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解.分离变量法现在学习的是第2页，共88页例1 求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解分离变量,2xdxydy 两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为为所所求求通通解解xcey 典型例题典

2、型例题现在学习的是第3页，共88页.0)()(2通通解解求求方方程程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为解现在学习的是第4页，共88页例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律.解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件)0(衰衰变变系

3、系数数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律现在学习的是第5页，共88页例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数孔口截面面积重力加速度现在学习的是第6页，共88页cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由h降

4、至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较(1)和(2)得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2现在学习的是第7页，共88页dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程.可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为现在学习的是第8页，共88页解例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间

5、内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO)%(txt,dttt 在 内,2CO的通入量2CO的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 现在学习的是第9页，共88页2CO的通入量2CO的排出量2CO的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0

6、C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后, 车间内 的百分比降低到%.056. 02CO现在学习的是第10页，共88页二、齐次方程二、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu 作变量代换,xuy 即即代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程1.定义现在学习的是第11页，共88页,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得得通通解解,0u 当当, 0

7、)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解现在学习的是第12页，共88页例 6 求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为解现在学习的是第13页，共88页2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例 7 求解微分方程

8、解现在学习的是第14页，共88页,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 现在学习的是第15页，共88页例 8 抛物线的光学性质实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox如图),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL xyoMTNRL为上任一点，为上任一点，设设),(yxM,yMT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜斜率率为为为为法法线线,NMROMN 现在学习的是第16页，共88页 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan, 022 yy

9、xyy得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夹角正切公式得xyoMTNRL现在学习的是第17页，共88页，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即现在学习的是第18页，共88页平方化简得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 现在学习的是第19页，共88页可化为齐次的方程可化为齐次的方程的的微微分分方方程程形

10、形如如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程.,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中h和k是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程.)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法1.定义现在学习的是第20页，共88页 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解, 上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba现在学习的是第21页，共88页,11 bbaa令令),)(1cbyaxcby

11、axfdxdy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量.现在学习的是第22页，共88页.319的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得，令令XYu 现在学习的是第23页，共88页,11uudXduXu 分离变量法得,

12、)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代代回回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为现在学习的是第24页，共88页利用变量代换求微分方程的解.)(52的的通通解解求求例例yxdxdy 解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为.)tan(xCxy 现在学习的是第25页，共88页)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的

13、., 0)( xQ当当例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的;非线性的.三三、一阶线性方程一阶线性方程现在学习的是第26页，共88页. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)现在学习的是第27页，共88页2. 线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxv

14、y.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC 现在学习的是第28页，共88页常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy现在学习的是第29页，共88页代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdx

15、xPdxxP )()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解现在学习的是第30页，共88页.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解例10现在学习的是第31页，共88页例11 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得,32xyy 解解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 现在学习的是

16、第32页，共88页 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 现在学习的是第33页，共88页伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.伯努利方程伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.现在学习的是第34页，共88页,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出

17、通解后，将 代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn现在学习的是第35页，共88页.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解，得，得两端除以两端除以ny例 12现在学习的是第36页，共88页例13 用适当的变量代换解下列微分方程:;22. 122xxexyyy 解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezx

18、dxxxdx 所求通解为).2(222Cxeyx 现在学习的是第37页，共88页;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 现在学习的是第38页，共88页;1. 3yxdxdy 解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式,11udxdu 分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解. yxdydx 方程变形为方程变形为现在学

19、习的是第39页，共88页四、全微分方程四、全微分方程1.定义:0),(),( dyyxQdxyxP则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程现在学习的是第40页，共88页2.解法:0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑全微分的方法.全微分方程现在学

20、习的是第41页，共88页.0)3()3(2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解,6xQxyyP 是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为,42344224yyxx 例14现在学习的是第42页，共88页.0324223的的通通解解求求方方程程 dyyxydxyx解,64xQyxyP 是全微分方程,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为),1(32yxyd 例15现在学习的是第43页，共88页积分因子法积分因子法定义: 0),( yx 连

21、连续续可可微微函函数数，使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成成为为全全微微分分方方程程. .则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子. .问题: 如何求方程的积分因子?现在学习的是第44页，共88页1.公式法:,)()(xQyP xQxQyPyP ，两两边边同同除除 xQyPyPxQ lnln求解不容易特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx 现在学习的是第45页，共88页;.有有关关时时只只与与当当yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(

22、yg .)()( dyygey 现在学习的是第46页，共88页2.观察法:凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122现在学习的是第47页，共88页可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( . x 例16则原方程为, 0)()3(2322 dy

23、yxxdxxyyx现在学习的是第48页，共88页, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法)可积组合法现在学习的是第49页，共88页.0)1(222的的通通解解 dyyxdxyxx解将方程左端重新组合,有例17 求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为.)(322322Cyxx 现在学习的是第50页，共88页.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy

24、解将方程左端重新组合,有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法例18 求微分方程现在学习的是第51页，共88页.132的的通通解解求求微微分分方方程程xyxxdxdy 解1整理得,112xyxdxdy A 常数变易法:B 公式法:.4343Cxxxyy 通解为通解为.1xCy 对应齐方通解对应齐方通解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例19现在学习

25、的是第52页，共88页解2整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A 用曲线积分法:,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB 凑微分法:, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd现在学习的是第53页，共88页C 不定积分法:,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程的通解为.4343Cxxxyy 现在学习的是第54页，共88页五、一阶方程的近似解法五、一阶方程

26、的近似解法 设设(1)(1)中右端的函数中右端的函数),(yxf在区域在区域D内内有定义，那么过有定义，那么过D内每一点内每一点),(yxM作一条以作一条以),(yxf为斜率的直线，并把向量为斜率的直线，并把向量 ),(, 1),(yxfyx 所指的方向定义为直线的方向所指的方向定义为直线的方向. .这样，对于这样，对于D内内每一点每一点),(yx, ,方方程程( (1 1) )都都确确定定一一个个方方向向与与之之对对应应，于于是是我我们们说说方方程程( (1 1) )在在D内内确确定定了了一一个个方方向向场场)1(),(yxfy 一一阶阶微微分分方方程程定义1现在学习的是第55页，共88页

27、过过D内内任任一一点点),(yxM,做做一一个个以以M为为起起点点长长度度等等于于 的的向向量量),(, 1),(1),(20yxfyxfyx 如如图图所所示示,可可形形象象地地表表示示方方向向场场.xoy现在学习的是第56页，共88页定义2等斜线的方程为.),(Cyxf 在这条等斜线上的各点处, 1120CC 方方向向场场中中具具有有同同一一方方向向)(Cy 的的点点的的轨轨迹迹叫叫做做方方程程( (1 1) )的的等等斜斜线线方向场画法 适当画出若干条等斜线适当画出若干条等斜线,再在每条再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量0 ,这样即可画出这

28、个方向场这样即可画出这个方向场.现在学习的是第57页，共88页例20画出方程22yxy 所确定的方向解方程的等斜线为,22Cyx , 2, 5 . 1, 1, 5 . 0, 0 C取取画出五条等斜线, 再在再在每条等斜线上适当选取每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向若干个点画出对应的向量量0,如图方向场如图方向场.xoy场示意图.现在学习的是第58页，共88页xoy的积分曲线的积分曲线的曲线就是方程的曲线就是方程点处的方向一致，这样点处的方向一致，这样线方向都和方向场在该线方向都和方向场在该处的切处的切内的一条曲线在任一点内的一条曲线在任一点如果如果)1(D定义3如图，)1, 0(),0

29、, 0(),1 , 0( 的三条积分曲线经过点根据方向场即可大致描绘出积分曲线现在学习的是第59页，共88页欧拉欧拉- -柯西近似法柯西近似法问题: 一阶微分方程的初值问题一阶微分方程的初值问题 ,),(00yyyxfyxx的解不能或不易用初等积分法求出时的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？怎么办？方法：近似积分法欧拉柯西近似法一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的充分条件如下定理：现在学习的是第60页，共88页样的积分曲线是唯一的样的积分曲线是唯一的上也连续，那末这上也连续，那末这在在线一定存在如果线一定存在如果的积分曲的积分曲通过点通过点上，微分方程上，微分方程闭区域闭区域的内点，那末

30、在的内点，那末在是是上连续，点上连续，点在闭区域在闭区域右端的函数右端的函数设方程设方程定理定理DyfMDDyxMDyxf 0000)1(),(),()1(注意上上连连续续闭闭区区域域在在及及下下面面总总假假定定函函数数Dyxfyyxf),(),( 现在学习的是第61页，共88页内内的的一一段段积积分分曲曲线线位位于于时时，对对应应，并并设设当当的的积积分分曲曲线线为为经经过过点点设设方方程程DHxxHxxyyxM 00000)(),()1( :,00上作欧拉折线上作欧拉折线在在Hxx ，如图，如图轴的直线轴的直线作平行于作平行于，为步长；记为步长；记称称，等分，记等分，记把区间把区间), 2

31、 , 1 , 0(,000nixxyihxxhnHhnHxxii 1x2x1 nxyxo0 xH现在学习的是第62页，共88页；则则，交于点交于点，与直线，与直线段段为斜率的直线为斜率的直线作以作以，过点，过点值值求出函数求出函数上取点上取点在直线在直线001111110000000000),(),(),(yhyyyxMxxMMyMyyxfyxMxx ；，则则于于点点，交交直直线线为为斜斜率率的的直直线线段段作作以以，过过点点求求出出函函数数值值)(),(),(10011222222111111yyhyyhyyyxMxxMMyMyyxf 1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M现在学习的是第

32、63页，共88页1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M如此一段接一段地作下去，得一条折线，称欧拉折线 .),(,),(,),()(11112111110000nnnnnnxxxxxyyxxxxxyyxxxxxyyxy 方程为方程为现在学习的是第64页，共88页).,(,)(,100110iiiiiiiiyxfynHhhyyyhyyyihxx 其其中中函数函数表示表示的一个表（函数表）来的一个表（函数表）来可列出可列出)(,xyyxnii 注意内，且内，且于于应位应位折线折线)()(lim)()(00 xxDHxxxxynnn 初值问题的近似解现在学习的是第65页，共88页例21，计计算算到

33、到四四位位小小数数取取步步长长的的近近似似解解上上求求初初值值问问题题在在)1 . 0(,11 , 0022 hyyxyx解.1 . 011 . 01 . 022110iiiiiiyxyyyyyixh ，列表计算如下.,数数表表两两列列就就表表示示近近似似解解的的函函其其中中iiyx现在学习的是第66页，共88页iixiyiy 1247035689101 . 02 . 04 . 07 . 00 . 03 . 05 . 06 . 08 . 09 . 00 . 19000. 0 8094. 0 6474. 0 4176. 0 0000. 1 7260. 0 5713. 0 4954. 0 3361

34、. 0 2493. 0 1559. 0 9055. 08337. 07610. 08151. 00000. 17855. 07592. 07781. 08677. 09339. 0现在学习的是第67页，共88页分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-隐式通解.六、小结六、小结齐次方程).(xydxdy 齐次方程的解法.xyu 令令可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令现在学习的是第68页，共88页齐次方程线性非齐次方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPexuy令令;1zyn 令令分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程

35、现在学习的是第69页，共88页思考题 2求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程?思考题 1现在学习的是第70页，共88页思考题 1 解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解.现在学习的是第71页，共88页思考题 2 解答方程两边同时对 求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程是齐次方程.现在学习的是第72页，共88页一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解

36、: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练 习 题 1现在学习的是第73页，共88页三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力 和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成

37、反比. .在在10 t 秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘米厘米克克 , , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ? 四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线). ). 设设a船速为船速为, ,船行方向始终与船行方向始终与河岸垂直河岸垂直, ,设河宽设河宽 h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路 线线 . .

38、 现在学习的是第74页，共88页练习题 1 答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三三、3 .269 v厘厘米米/ /秒秒. .四四、取取 0 0 为为原原点点, ,河河岸岸朝朝顺顺水水方方向向为为轴轴x, ,轴轴y指指向向对对 岸岸, ,则则所所求求航航线线为为)312(32yyhakx . .现在学习的是第75页，共88页一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21(

39、 dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .练 习 题 2现在学习的是第76页，共88页练习题 2 答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yx

40、yx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. .现在学习的是第77页，共88页一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy练 习 题 3现在学习的是第78页，共88页三、设有一质三、设有一质

41、的的量为量为 m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.现在学习的是第79页，共88页五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换

42、将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .现在学习的是第80页，共88页练习题 3 答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . .二

43、、二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. .三、三、)1(022121tmkekmktkkv . .四、四、1 1、Cxxy ； 2 2、)32(ln32322 xxCyx. .现在学习的是第81页，共88页五五、1 1、Cxyx 2)(2； 2 2、Cxxy 1sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. .六六、 1,)1(210, )1(2)(xeexexyyxx. .现在学习的是第82页，共88页一、一、 判别下列方程中哪些是全微分方程判别下列方程中哪些是全微分方程, ,并求全微分方并求全微分方程的通解程的通解: :1 1、0)2( dyy

44、xedxeyy；2 2、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二、二、 利用观察法求出下列方程的积分因子利用观察法求出下列方程的积分因子, ,并求其通并求其通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxyxydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1( xdyxyydxxy. .练 习 题 4现在学习的是第83页，共88页三、三、 验证验证)()(1xygxyfxy 是微分方程是微分方程 0)()( dyxyxgdxxyyf的积分因子的积分因子, ,并求方程并求方程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的通解的通解 . .四、四、 已知已知

45、21)0( f, ,试确定试确定)(xf, ,使使0)()( dyxfydxxfex为全微分方程为全微分方程, ,并求此并求此全微分方程的通解全微分方程的通解 . .现在学习的是第84页，共88页练习题 4 答案一、一、1 1、Cyxey 2； 2 2、不是全微分方程；、不是全微分方程； 3 3、Ce )1(2 . .二、二、1 1、Cxyx 22； 2 2、xCeyx222 ； 3 3、xyCeyx1 . .三、三、2212yxeCyx . .( (或或Cyxyx 22211ln) )四、四、Cyxexexfxx )21(, )21()(. .现在学习的是第85页，共88页练 习 题 5.1

46、 . 0 , 002. 01,32.0 , 5 . 01 . 01,1020求近似解求近似解上上在在；按；按近似解近似解上求上求在在；按；按位小数）：位小数）：上的近似解（计算到三上的近似解（计算到三程初值问题在指定区间程初值问题在指定区间求下列各题所给微分方求下列各题所给微分方 hyyxyhyyxyxx现在学习的是第86页，共88页练习题 5 答案681. 05 . 0712. 04 . 0758. 03 . 0820. 02 . 0900. 01 . 0000. 10 . 01 yx121. 110. 0092. 108. 0066. 106. 0042. 104. 0020. 102. 0000. 100. 02yx现在学习的是第87页，共88页感谢大家观看现在学习的是第88页，共88页