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2、个式子表示，人均产出是人均资本量的函数（数字“1”是不变的，从而可以忽略）。规模收益不变的假设意味着，经济的规模用工人人数来衡量并不影响人均产出与人均资本量之间的关系。由于经济规模是无关紧要的，所以可以证明以人均额来表示所有数量是方便的。用小写字母来表示这些量，因此是人均产出，是人均资本量。这样，可以把生产函数写为：。在这里，定义。图7-1显示了这一生产函数。图7-1 生产函数这个生产函数的斜率表示当给定一单位额外资本时，一个工人生产的额外产出是多少。这个量是资本的边际产量。数学上，可以写为：。国民收入恒等式（不考虑政府支出和净出口）由储蓄率为可知：则：即投资等于储蓄。人均资本折旧=折旧率（）
3、人均资本水平（）。（2）资本存量的增长和稳定状态投资使资本存量增加，折旧使资本存量减少。因此，资本存量变动等于同期的投资减折旧：而，所以：。索洛模型的核心方程：。该方程决定了资本随时间的运动情况；同时也决定了其他内生变量，因为所有的内生变量都依赖于，如：人均产出： 人均消费： 稳定状态当投资和折旧相等时，就会有：。图7-2 投资、折旧和稳定状态人均资本存量保持不变，记为，称之为稳定状态的人均资本存量。在稳定状态，由于人均资本存量保持不变，所以人均产出也保持不变，即人均产出增长率为零。（3）趋近稳定状态如图7-2所示，资本存量越多，产出量和投资量就越大。但资本存量越高，折旧量也越大。资本的稳定状
4、态是投资等于折旧的水平，这表示资本量不随时间而变化。初始资本水平小于时，投资大于折旧，所以人均资本会增加。也就是说，只要投资大于折旧，人均资本水平就会向右移动，直到达到时，投资和折旧相等，人均资本不再发生移动，经济达到了均衡状态。当初始资本水平大于时，原理和一样，只是现在折旧大于投资，因此人均资本水平会下降，直到达到，折旧和投资相等，经济达到稳定状态。（4）储蓄率与增长的关系图7-3 储蓄率的提高储蓄率上升会增加投资，从而增加人均资本存量以及人均产出。如图7-3所示，经济初始处于稳定状态，当储蓄率上升，储蓄曲线也随之向上移动，储蓄（投资）就高于折旧，于是人均资本存量增加，直到达到，经济重新达到
5、稳定状态。由于人均资本存量增大了，所以在新的稳定状态下，人均产出水平高于经济初始水平。索洛模型预测：储蓄率是稳定状态资本存量的关键决定因素，从长期看，如果一国有更高的储蓄率和投资，则将有更高的人均资本存量和产出水平。如果储蓄率高，经济的资本存量就会大，相应的产出水平就会高。如果储蓄率低，经济的资本存量就会少，相应的产出水平就会低。这个结论也说明：减少储蓄率的长期后果是较低的资本存量和较低的国民收入。这就是许多经济学家批评长期预算赤字的原因。2资本的黄金律水平（1）资本的黄金律水平定义：资本的黄金律水平就是指稳定状态时人均消费最大化所对应的人均资本水平。意义：资本的黄金律水平描述了如何将产出在消
6、费和投资间分配才能使经济福利最大化。经济福利通常以人均消费来衡量。解法：设资本的黄金律水平。首先，把表示为的式子：求解最大化，可得：这就是资本的黄金律水平的条件。如图7-4所示，曲线代表人均产出，代表折旧，也代表稳态时的投资，那么两曲线之间的差距就代表稳态时的人均消费水平。求解，也就是找到使曲线和之间的差最大时的资本水平，那么在这个资本水平下两曲线的斜率相等，的斜率为，的斜率为，所以仍然得到资本的黄金规则水平条件：。图7-4 稳定状态的消费（2）向黄金律稳态的过渡特点：a经济体系不会自发地向黄金律稳定状态过渡。b要达到黄金律稳定状态，要求政策制定者调整储蓄率。c这种调整将使经济达到更高消费水平
7、的新的稳定状态。d但是在过渡的过程中，消费的变动是不确定的，这取决于初始资本水平与资本的黄金律水平间的大小关系。初始资本水平大于的情况如图7-5所示，由于初始经济的资本水平大于，要使经济过渡到黄金律稳态，就要减少储蓄，因此在整个过渡过程中，人均消费水平都高于初始状态。图7-5 储蓄率的下降初始资本水平小于的情况如图7-6所示，由于初始经济的资本水平小于，要使经济过渡到黄金律稳态水平，就要增加储蓄，从而在短期内消费水平会下降，当然达到稳态后消费水平会高于初始情形。图7-6 储蓄率的提高3人口增长（1）有人口增长的稳定状态两个概念资本扩展化也即资本广化，指为使人均资本保持不变而进行的投资，又称之为
8、补偿投资或收支相抵的投资（break-even investment）。所以，在没有人口增长和技术进步的情况下，资本扩展化就等于折旧。在人口增长率为的情况下（仍然没有技术进步，涉及技术进步的情况会在下一章讨论），资本扩展化就等于。资本深化指人均资本存量的累积。资本深化大于零，就说明人均资本在增加；资本深化等于零，就说明经济达到了稳定状态。投资就是用于资本扩展化和资本深化这两方面，也就是说：投资=资本扩展化+资本深化。那么资本运动方程实际上就是：资本深化=投资-资本扩展化。稳定状态时资本深化为零，所以稳定状态条件也可以表示为：投资=资本扩展化。资本运动方程在加入了人口增长因素之后，资本运动方程变
9、为：。新的稳态条件为：。如图7-7所示，在稳定状态，投资对人均资本存量的正效应正好与折旧和人口增长的负效应平衡。这就是说，在，而且，。一旦经济处于稳定状态，投资就有两个目的：一些投资（）用于替代折旧的资本；其余的投资（）给新增加的人口提供稳定状态的资本量。图7-7 有人口增长时的新稳态条件（2）人口增长与经济增长的关系如图7-8所示，人口增长率的提高会使资本扩展线上移，降低了稳定状态的资本水平，从而降低了稳态的人均产出。图7-8 人口增长的影响因此，索洛模型预言：从长期看，人口增长率较高的国家，人均资本和人均收入水平较低。由于稳定状态的人均资本不变，所以在有人口增长率的情况下，稳态人均产出增长
10、率仍然为零，但是由于人口在增长，所以总产出在增长，其增长率等于人口增长率。（3）有人口增长时的黄金律先把表示为的式子：解的最大化问题，可得：或者写成：达到黄金律稳定状态时，资本边际产量减去资本折旧率等于人口增长率。4索洛模型的结论（1）从长期来看，一国的人均产出水平（生活水平）与储蓄率正相关，与人口增长率负相关。（2）储蓄率的增加会带来长期的产出增加和暂时的增长率提高，但不能提高稳定状态后的增长率。（3）如果经济中有高于黄金律水平的资本存量，减少储蓄将会增加所有时点上的消费水平，使每一代人都受益。如果经济中的资本水平低于黄金律水平，增加储蓄将提高将来世代的消费水平，但将减少现在这一代人的消费水平。以上内容为跨考网整理的经济学考研课后习题答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果同学还想获得更多经济学课后习题资料，可以关注微信公众平台索要经济学考研资料,你想要的资料都在这儿jjxkyzs。 想了解经济学考研高分的秘密吗？请点击:经济学考研解题技巧跨考经济学考研辅导提醒您: 成功的原因千千万,失败的原因就那么几个，加入我们的经济学考研交流群，考研经验交流，规避风险，锁定名校一次进!