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1、-名师辅导 立体几何 第1课 平面的概念与性质（含答案解析）考试目标 主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一
2、个平面.题型示例 点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线【解前点津】 A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能
3、不共面.应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】 D.【解后归纳】 平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】 把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面内，点B不在平面内，点A、B都在直线l上；(2)平面与平面相交于直线l，直线a在平面内且平行于直线l.【解前点津】 注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用、等符号表示空间基本元素之间的位置关系是
4、解决本题的关键.【规范解答】 (1)A,B ,Al,Bl,如图(1)；(2)=l,a,al,如图(2).例2题解图【例3】 如图，已知：l不属于,A、B、Cl,AA1,BB1,CC1.求证：AA1、BB1、CC1共面.【解前点津】 证明n条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内. 例3题图【规范解答】 证法一 AA1,CC1,AA1CC1.AA1与CC1确定平面,且.AC,即l,而Bl,B,又知BB1,BB1.AA1、BB1、CC1共面.证法二 反证法由证法1得于A1C1，假设BB1不属于,在内作BBA1C1(如图).BB,已知BB1,与过一点引面的垂线，有
5、且只有一条矛盾.BB1不属于是不可能的,BB1,AA1、BB1、CC1共面.【解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】 设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平面依次相交于A1,B1,C1,D1,E1,F1六点，求证:A1,B1,C1,D1,E1,F1六点在同一条直线上.例4题图【规范解答】 设平行四边形ABCD所在平面为,A,B,AB,又A1AB,A1,又A1A1在平面与平面的交线上,设交线为l,则A1l,同理可证B1,C1,D1,E1,F1都在直线l上,A1,B1,C1,D1,E1,F1六点在同一条直线上.【解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线上
6、,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.、是两个不重合的平面，在上取4个点,在上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 ( )A.30 B.32 C.35 D.402.下列说法正确的是 ( )A.如果两个平面、有一条公共直线a，就说平面、相交，并记作aB.两平面、有一公共点A，就说、相交于过A的任意一条直线C.两平面、有一个公共点，就说、相交于A点，并记作AD.两平面ABC与DBC交于线段BC3.下列命题正确的是 ( )A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条
7、直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设、是不重合的两个平面，a，下面四个命题：如果点P，且P，那么Pa；如果点A，点B，那么AB；如果点A，那么点B；如果线段AB，且AB，那么ABa.其中正确命题的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.35.空间四点A、B、C、D共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线 B.必有三点不共线C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( )A. B. C. D.7.已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那
8、么原三角形ABC的面积为 ( ) A. B. C. D.8.两条相交直线l、m都在平面内且都不在平面内.命题甲：l和m中至少有一条与相交，命题乙：平面与相交，则甲是乙的什么条件 ( )A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有 个.10.不重合的三个平面把空间分成n个部分，则n的可能值为 .11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是 . 12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个. 13.四边形ABCD中，ABBCCDDABD，则成为空间四面体时，AC的取值范围是 .三、能力提高14.如图
9、，已知l1l2l3，ll1,ll2，ll3C.求证：l、l2、l3、l共面.第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗?已知：A、B、C、D是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线. 16.已知ABC的三个顶点都不在平面上，它的三边AB、AC、BC的延长线交平面于P、R、Q三点求证：P、R、Q三点共线17.已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且.求证：直线EF、GH、AC交于一点.第17题图18.已知直线a,b,c,其中b,c为异面直线,试就a与b,c的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课
10、平面的概念与性质习题解答1.B CC+CC+2=32.2.A 排除法.3.D 有三个交点或只有一个交点.4.C 错在条件不充分.5.B 分有三点共线和只有两点共线两类.6.D 根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1容易求得下底边长为1+，由直观图的底角为45知这个梯形为直角梯形再由“竖取半”知，直腰长为2，S=2=2+7.C 按斜二测画法还原.8.C 充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.9.1 公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.10.4,6,7,8.11.4个 可确定C-2=4个12.7个 这
11、四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，) AC0，ABCD为菱形时AC.14.由l1l2，知l1与l2确定一个平面，同理l2、l3确定一个平面，由Al1,l1，知A，同理B，又A、Bl，故l，同理l.由上知ll2，且l、l2,l、l2，因两相交直线l、l2确定一个平面，故与重合，所以l1、l2、l3、l共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A、B、C在同一直线a上，点Da.点D和a可确定一平面，A、B、C、D.与A、B、C、D不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.第16题图解16.如
12、图，APAR=A,AP与AR确定平面APR又P、R，平面APR=PR.又B平面APR，C平面APR，BC平面APR，即Q平面APR又Q，Q平面APR=PR.P、Q、R三点共线点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可17.E、H分别是AB、AD的中点，EHBD，EHBD，F、G分别是边BC、CD上的点，且，EHFG，EHFG，四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，设交点为P.EF平面ABC，P平面ABC.又P平面DAC，平面BAC平面DACAC.故PAC，即EF、GH、AC交于一点P.18.(1)若a与b,c都相交,a与b,a与c都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a与b,c之一相交，不妨设a与b相交.ac,a与b,a与c都可确定平面故可确定两个平面.a与c不平行，只a与b确定平面，故可确定一个平面.(3)若a与b,c都不相交.若a与b,c之一平行,不妨设a与b平行，只a与b可确定平面,故确定一个平面.若a与b,c都不平行，又因为都不相交，故不能确定平面.点评：此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念，加强严密的逻辑思维，并达到复习，巩固“分类讨论”的思想方法.本资料来源于七彩教育网-第 6 页-