《08圆锥曲线定点定值．习题集C（教师版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《08圆锥曲线定点定值．习题集C（教师版）.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【练1】椭圆08锥曲线定点定值.习题集Cx2=1（方0）的左、右焦点分别为6,耳,点”（0,2）是椭圆的一个顶点,七是等腰直角三角形.（I）求椭圆的方程；（II）过点M分别作直线MA, MB交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为左次2,且用+22=8, 证明：直线AB过定点（-；,-2）.222【解析】（I）由可得力=2,。2=（后）=8,所求椭圆方程为； + ； = ：!.（H）假设直线AB的斜率存在，设A3方程为丁 =+加，依题意加。2.设 4区，必),B(x2 ,y2)929% _由 19 + 彳=1，得(1 + 2左2)d+4.+2%28 = 0.y = kx+ m,e4km那么 X +
2、X2 =一1 + 2%2e4km那么 X + X2 =一1 + 2%22m2-81 + 2左 2.由二 2+%-2 8,%( x2所以殳+如山匕2 = 8,即黎+ (m -2)百 = 8. xx2%, x2mk1所以上一一=4,整理得m = -k-2.m + 22故直线A3的方程为y = +2,即y = Z所以直线A3过定点（一 2）.假设直线的斜率不存在，设方程为x = x0,设A（x。,%），8（x。,y）,由上工 + 口 = 8,得看=.此时AB方程为x =,，显然过点（一,一2）.综上，直线过定点（；,2）.【练2】（）动圆过定点44,0）,且在y轴上截得的弦MN的长为8.（I ）求动
3、圆圆心的轨迹。的方程；（II）点8（-1,0）,设不垂直于x轴的直线/与轨迹。交于不同的两点P,Q,假设x轴是NP8Q的 角平分线，证明直线/过定点.同理晨病一阳。+叼(2G吗+2-叼=2艮由得4耳+ 3/二由得4耳+ 3/二m2 + 2A尸叱言，卡+%=2&-萍|忘。片+月鸟是定值。【练11()设椭圆石：十 CT1-a21的焦点在X轴上(I)假设椭圆石的焦距为1,求椭圆石的方程；(II)设耳爸分别是椭圆的左、右焦点，p为椭圆石上的第一象限内的点，直线AP交y轴与点。, 并且大P JL GQ ,证明：当。变化时，点P在某定直线上.C父丫2 只丫2【解析】(I ) */ a2 a2,2c = l
4、,a2 = 1 a2 + c2 = a2 = 一，椭圆方程为：1= 1.853(II)设片(c,0),乙(c,O),P(x, y),Q(O,狈丽=(,y),函=(c-m).由I- 4 ()=(0,1)=x(o,i),y(0,1).m(c -x) = yccx + c) + my = 0FP = (x + c, y),FQ =(叫)由不配於 ! 初导：二+上=1a 1 a= (x-c)(x + c) = y2 = %2 _ ,2 = c?.联立 /=(y 1)2. X (0,1),y e (0,1) :.x = l-y所以动点。过定直线x+y l = 0.【练12】()如图，椭圆C:x231=1
5、(。/?0)经过点P(1,一)离心率6 =,直线/的方程为工二4.2(I)求椭圆。的方程；(II) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线1相交于点M,记PA, PB,PM的斜率分别为4，攵2，%3问：是否存在常数九使得勺+&=%23。？假设存在求丸的值;假设不存在，说明理由.p319【解析】(I )由Pa,)在椭圆上得，户+薪 =1依题设知a = 2c,贝Ub2 = 3c2，代入解得c2 =,a2 =4,b2 =3.故椭圆。的方程为土+乙=1.43(II)方法一：由题意可设的斜率为3那么直线AB的方程为y = k(x-l)代入椭圆方程31 +4/=12 并整理,得(4k2
6、 + 3)x2 -8k2x + 4(-3) = 0,8r4?73，%28r4?73，%24(r3)41+3在方程中令x = 4得，的坐标为(4,3%) .在方程中令x = 4得，的坐标为(4,3%) .3, 二 从而匕=-%-1注意到A F, B共线，那么有Z = kAF = k即有 二一 二 hXj 1%2 1)】一7 必 所以K +左2 =- +-,2 %7-I)】一7 必 所以K +左2 =- +-,2 %7-I+1X _ 1 xo 2 % 1 X? 2= 2k-% + *2 - 22 % % (% + / ) + 3代入得上1 +左2 =2左_丁Z8k2止+3-28k2一 二 21,
7、+ 1又收 二人一工，所以K+e=2% .故存在常数4 = 2符合题意. 2)方法二:设B(x0, y0)(x0 w 1),那么直线FB的方程为：y =(x-1), Xn -1令x = 4,求得M(4,2L), x()T从而直线PM的斜率为七 = 2%7。+ 1 2(x0 -1)X)(D22工+匕=12%-32(x0-l)143那么直线PA的斜率为：kx = 2%- 2%+5直 pB的斜率为: 2(xo-l)所以/选甘+假设=7m,故存在常数；I = 2符合题意.【解析】（I） A（4,0）,设圆心C, =（-4）2+），2=42+/=8元（II ）点 B（1,0）,设尸（不），。（孙冉），由
8、题意知 +，2。0，=8% , y；=8%2.n=玉 +1 x2 +1y-+8+8=8（必 +）2）+ 必32（，2+%）=。=8+% =直线PQ方程为：y-H =左（x xjn y-必=-（8x-y:） / 一F2 +必2= （为 + 必）一%（为 + M）= 8x 必 =y（y2 + y） + 8 = 8xny = 0,x = l所以直线PQ过定点（1,0）【练3】（）抛物线。：2=2*（0）的焦点为b（1,0）,点0为坐标原点，A,5是曲线C上异于 。的两点.（I ）求曲线。的方程;（II）假设直线0A08的斜率之积为-，求证：直线A3过定点.2【解析】（I ）焦点为b（1,0）,， =
9、 2, 抛物线方程为y2=4x.（H）方法一：:直线04,05的斜率之积为-,2x.2k设直线OA的方程为丁 =；直线。3的方程为y =-y = kx4 49联立:得 A（同理 8（16k2, 8Z）.y =4xk k由抛物线关于工轴对称可知定点在x轴上，那么当横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标.41令铲=16公，解得女2 =,那么49= 16V=8,点（8,0）为直线AN过的定点.下面证明直线A5过M点UUU1 449； M4 =（二一8,2），MB = （16 8 -8幻 kk44uuui uum由（不8）（8女）=（16左2 8） 可知向量与MB共线. kk直线过定点方法二：设24（与
10、/）,5（%2，2）.（1）假设直线A3斜率存在，设其方程为y = kx + b0 即 lex1 +（2ZZ?-4）x + Z? = 0. /. xx2 = y2二以y = kx + b0 即 lex1 +（2ZZ?-4）x + Z? = 0. /. xx2 = y2二以b24b记直线。4,05的斜率之积为-,，即2.& 二 2%! x2 2Ak 1 =,即b = 8七带入直线方程，得直线AB方程为y = Ax8h b 2，即直线AB过定点（8,0）.耳可得玉=x0 = 8,（2）假设直线A3斜率不存在，那么西二%，y=%，直线AB方程为x = 8,过定点（8,0）.综上，直线AB过定点.【练
11、4】（）在平面直角坐标系中，设点P（x,y）,A/（x,-4）,以线段加为直径的圆经过原点O.（I ）求动点P的轨迹W的方程；（II）过点（0,-4）的直线/与轨迹卬交于两点，A3,点A关于y轴的对称点为4,试判断直线是否恒过一 定点，并证明你的结论.【解析】（I）由题意可得_LOA1,所以9丽7 = 0,即（羽,）（羽一4）=0即4=。，即动点P的轨迹W的方程为d=4y（II）设直线/的方程为丁 =近一4,4（西，%）,3（,必），那么4（x，M）.y = kx-49由广, 消y整理得4息+ 16 = 0,x = 4y那么 = 16k2 -64 0 ,即 | 女 |2 .% +=4%,为=1
12、6 .直线43:=(x-x2)x2+x1必一Viy二 ,(1一了2)+ %x2 +%= -7-(x-x2) + ix224(x, +x2)4.y =x2-xtx2-x,x2 t I 2八I 九。444 一.y =即=三二五工+ 4,所以，直线43恒过定点（0,4）. 4【练5】（）动点M到点厂（1,0）的距离，等于它到直线x = -1的距离.（I ）求点的轨迹。的方程；所以，直线P。的方程为y + 2Z =-(x-l-2k2) -k2- + 2k二 k1 +2-1-2攵 2 k2-2.(H)过点/任意作互相垂直的两条直线小 分别交曲线。于点4 8和N.设线段的中点分别为P,Q,求证：直线尸。恒
13、过一个定点；【解析】(I )设动点M的坐标为(x,y),由题意得，J(l)2 +、2 =|x+|,化简得 y2=4x,所以点M的轨迹C的方程为y2 = 4x.(II)设AB两点坐标分别为(%，y), (%，%)，那么点尸的坐标为(上士至，咤).由题意可设直线4的方程为y = Z(x1)(攵wO),由卜 二4得上2/一Q左2+4)% +左2=0.y = k(X-lD= (2k2 + 4)2- 4k4 = 16k2 + 16 0.一44因为直线/与曲线C于A, B两点，所以为 + X)= 2H-， X + % = %(X +乙2)=. k k22所以点尸的坐标为(1 + r, -). Jr k由题
14、知，直线的斜率为-,，同理可得点。的坐标为(1 + 2/,_2%). k7当W1时，有1 + =。1 + 2攵2,此时直线尸。的斜率上PO整理得yl+(x 3)攵y = 0.于是，直线P。恒过定点后(3, 0)；当左=1时，直线PQ的方程为x = 3,也过点(3, 0).综上所述，直线尸。恒过定点石(3, 0).【练6】()如图，抛物线丁=人的焦点为尸.过点P(2,0)的直线交抛物线于4百,为)，3(,为)两点，直线AF, 3歹分别与抛物线交于点M,N.(I )求乃为的值；(H)记直线MN的斜率为勺，直线AB的斜率为心证明：为定值.【解析】（I ）依题意，设直线AB的方程为x = my + 2
15、.将其代入y2=4x,消去X,整理得 /_4殁_8 = 0。从而y%=-8.（II）证明：设 （&，%），N（X4，M）222i_江那么 A= %一% 工7一= %一% 工 44 = M + % .、右工3一工4必一 岂岂 y一% 为 + yJ44设直线AM的方程为x=行+ 1,将其代入丁=4工，消去X, 整理得y24y 4 = 0.所以y%=4.同理可得以=4.故匕= X+% = 乂 + % =& % + % 於 + 心-4乂 %由（I）得勺=2,为定值. k2【练7】（）椭圆* +与=1（10）经过点尸（），离心率为也 01b2222（I）求椭圆的标准方程；（II）求以为直径且被直线3x-
16、4y-5 = 0截得的弦长为2的圆的方程；证明线段的长为定值，并（III）设尸是椭圆的右焦点，过点尸作的垂线与以为直径的圆交于点N, 求出这个定值.【解析】（I）由题意得=立 a 2、Q V6 1、（）2（步因为椭圆经过点2（ ,一），所以 1 ; = 12 2a2 b-又/ = / + ,由 解得 /=2, b2=c2=l.2所以椭圆方程为土+ 9=1.2（II）以OM为直径的圆的圆心为（1），半径r=JL + 1 ,2 V 4f j方程为（x l）2+（y）2=- + 12 4因为以OM为直径的圆被直线3x 4y 5 = 0截得的弦长为2,所以圆心到直线3%4y5 = 0的距离d =？=；
17、.所以|3 2，5|=;,解得 = 4.所以所求圆的方程为（x l）2+（y 2）2=5.（Ill）方法一：过点尸作的垂线，垂足设为K,由平面几何知：|ON=|OK|OM.t2那么直线OM ： y = x,直线FN ： y =（x-1） zty = -x,.3 4由 c 得 Xk=；.2r2 +4y = _（x l）,十今I t2 II4 +/4 OAT =x （1 + 丁）%、（1 +丁）=2 = 2.V 4 V 44 Z +4所以线段ON的长为定值血.方法二：设N（x。,%）,那么 丽= （%1,%）, 而=（2,。，MN=（Xo-2,yoT），ON = （Xo，Yo）FN _L OM ,
18、 /. 2（玉）一 1） + % = 0. .I 2x（）+ ty0 = 2.又，：MN 1 ON，二 /0（/0 2）+ %（%/） = 0, x02 += 2x0 +Zy0 =2. ：.+为2 =行为定值.【练8】（）椭圆二+二= l（，h0）的左、右焦点分别是耳，耳，离心率为正，过大且垂直于x轴的 a2 b22直线被椭圆C截得的线段长为1.（1）求椭圆。的方程；（n）点尸是椭圆c上除长轴端点外的任一点,连接尸后,尸工，设/后尸工的角平分线pm交c的长轴于点M（租,0）,求机的取值范围；（m）在（II）的条件下,过p点作斜率为k的直线i，使得/与椭圆c有且只有一个公共点,设直线PR, pf
19、2的斜率分1 1别为K，右，假设ZwO,试证明丁 + 二为定值,并求出这个定值.依kk2【解析】（I）由于。2=/ ，将=-C代入椭圆方程j + Mlm人。）得y = ” a ba由题意知”- = 1,即。=2，又6 = =立，所以。=21=1, aa 2x2 .所以椭圆方程为一+ 丁=14上曲小 PE PM PR PM PE PM PR PM（II）由题意可知：-_! 一 二 一，二一三L, IPKIIPMI PF2PM| 尸耳 |PF2设P（x0, %）其中x；。4,将向量坐标代入并化简得：加（4x； -16） = 312%,33 3因为x；。4,所以机=一玉），而毛 （-2,2）,所以“
20、（一一,-）（III）由题意可知为椭圆的在P点处的切线，由导数法可求得,切线方程为：所以 Z = -，而 K 二）厂,k2 = 厂,代入+ 中4 皿4为x + 6 - x-y/3 kk、kk2得工+一=_4卢+6 +也二史）=一8为定值.kk、 kk x0 x022【练9】（）给定椭圆C：A+2=1（。匕0）,称圆心在原点0,半径为必行的圆是椭圆。的 a b“准圆”.假设椭圆。的一个焦点为/（3,0）,其短轴上的一个端点到歹的距离为（I ）求椭圆。的方程和其“准圆”方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线，2交“准圆”于点M，N .（i）当点p为“准圆”与y轴正半轴的交
21、点时，求直线4，4的方程并证明4，4；（ii）求证：线段MN的长为定值.【解析】（I ）c = J5,.b = l,.椭圆方程为土+ y2=i,准圆方程为Y + y2=4.3（II） （ i ）因为准圆V + y2=4与y轴正半轴的交点为p（0,2）,设过点。（。，2）且与椭圆相切的直线为y =履+ 2,y = kx + 2,所以由 If得（1 + 322）/+12 丘+ 9 = 0.+ y =1，I 3 ,因为直线丁 =履+ 2与椭圆相切，所以A = 144%24x9（l + 3左2） = 0,解得 = 1,所以 4 4 方程为 y = x + 2，y = % + 2. *.* h = 1
22、, *e- l -LI2 （ii）当直线4，4中有一条斜率不存在时，不妨设直线4斜率不存在，那么4： x = 5 当4： x = G时，4与准圆交于点（、/5,1）,（、6,一1）,此时4为y = i （或y =-1）,显然直线4 4垂直；同理可证当4： % = G时，直线4,4垂直.当4,4斜率存在时，设点。（玉），先），其中片+ y；=4.设经过点P（玉），为）与椭圆相切的直线为y =，（x玉）+ %,y = tx-x + y所以由 元2得（1 + 3,2）l2+6/（%b0）1 + 3（五）一枕0）23 =。.+ y =1,3由 A = 0 化简整理得（3 Xq ）t2 + 2x0y0Z
23、 + 1 y； = 0 ,因为x； + 巾=4 ,所以有（3 片Z+Z/W + O；?）：。.设4/2的斜率分别为4 4 ,因为/1 4与椭圆相切,所以44满足上述方程（3-/+ 2xQyQt + （%q 3） = 0 ,所以-12=T,即/|2垂直.综合知：因为4，乙经过点尸（与，为），又分别交其准圆于点M，N,且44垂直.所以线段MN为准圆x2 + y2 =4的直径，| MNI =4 ,所以线段X的长为定值.【练10】（）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（。人0）的左、右焦点分别为（c,o）,B（c,0）.（l,e） （1, e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.（I）求椭圆的方
24、程；（H）设是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线A片与直线8尸2平行，KF2与86交于点（i ）假设人6-8%=半，求直线4月的斜率；（ii）求证：。匹+产后是定值.【解析】(I)由题设知，a2=b2e=,由点(l,e)在椭圆上，a12 2i 2得+ = 1 = +=1 = 人2 + c1 =a2h2 = a2 =a2h2 = Z?2=l ,.= c2 =a2 1。a2 b2a2 a2b2由点（e,在椭圆上，得I 2 Jx2椭圆的方程为上+ 丁=1。2x2椭圆的方程为上+ 丁=1。2D 14h = n q4-4a2+ 4=0n2=2(H)由(I )得(1,0), 7(1, 0),又,： NFJ/
25、 BF?,设 A、的方程分另U为加）=x + L my-x- , A（不）, 8（为 力），X。，为。= (m2 + 2)yj -2my -1=0n 必二my书 +1m + 2m2 + 2m2 + 2,(% + if +U _0二 J(2)l )2 + ) j = J/ + ,(% + if +U _0二 J(2)l )2 + ) j = J/ + m +72m2+2 V2(m2 +1) + 小1而+1m2 + 2m2 +2V2 ( m2 +1) - mV m2 +1 同理58二一io-m2 +2(i)由得，AFBR = 2mdj+。解+ 22mm2 +1 _ 瓜m2 + 22得 m2 -2 o注意到m0, A m=j2。，直线AF的斜率为工二也m 2(ii)证明: AF1BF2, ：.里=吧,即”+毁+ 1 =殁如=竺312 PFX AF PF AFXPFX AFX：.PF、=一BF oafbf2由点 5 在椭圆上知，BFl+BF2=2s/2, ：. PF= ABF(2V2-B)o