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1、一轮分层练案（五十四）变量间的相关关系A级基础达标1 .在一组样本数据（X1，yi）,（X2，y2），（Xn，yn）（n22, X1，X2，Xn 不全相等） 的散点图中，假设所有样本点（Xi，yi）（i=L2,，n）都在直线y=-3x+l上，那么这组样本数 据的相关系数为（）A. -3B.0C. -1D. 1【答案】C 由题设知，这组成对样本数据完全负相关，也就是具有函数关系，其相关 系数为一1.2 .根据如下样本数据：X345678y4.02.50.50.50.40.1A A A得到的经验回归方程为丫 = 5* + ,贝lj（）A AA AA.a0, b0 B.a0, b0A AA AC.a
2、0 D.a0, b0A【答案】B 根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以b0,应选 B.3 .x与y之间的一组数据如表:X0123ym35.57A已求得y关于x的经验回归方程为y = 2.lx+0.85,那么m的值为（）A. 1A. 1C. 0.7【答案】DB. 0.85D. 0.5 0+1+2+3 m+3 + 5.5 + 7 m+15.5X =4=15, y =4=4在经验回归直线上，所以见苧至=2.1义1.5+0.85,解得m=0.5,应选D.4 .某考察团对10个城市的职工人均工资x（千元）与居民人均消费y（千元）进行调查统计,A得出y与x具有线性相关关系，且经验回归方程为y
3、=0.6x+12假设某城市职工人均工资为5 千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为（）女200200400合计4505501 000计算观测值21 000 X (250 X 200350 X 200)2r2=600X400X450X550心 6.7346.635,对照临界值表得出“选择意愿与幅有关系”的结论犯错误的概率的上限为0.0L 由于0.0124,故，解得x24,故,. 八，,. 八“一f , 8 300 10x 8 540-20x又购进17份比购进18份的利泗的期望大，故一而一丽一x的取值范围是25,30）且xN*.A. 66%B. 67%C. 79%C. 79%D. 84
4、%A【答案】Dy与x具有线性相关关系，且满足经验回归方程y=0.6x+L2,该城市居 民人均工资为7=5,可以估计该城市的职工人均消费歹=0.6X5+L2 = 4.2,二可以估4 2计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为=84%.5.（多项选择）以下说法正确的选项是（）AA.在经验回归直线方程y=0.85x+2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变 A量y平均减少2.3个单位B.两个具有线性相关关系的变量，当相关系数r的值越接近于0,那么这两个变量的相 关性就越强C.假设两个变量的决定系数R2=0.88,那么说明预报变量的差异有88%是由解释变量引起 的AD.在经验回归直线方程y=0
5、.85x+2.3中，相对于样本点（1,1.2）的残差为一0.25【答案】CD 对于A,根据经验回归直线方程，当解释变量x每增加1个单位时，预A报变量y平均减少0.85个单位，A错误；对于B,当相关系数r的值越接近于1,两个变量 的相关性就越强，B错误；对于C,由决定系数R2的意义可知C正确；对于D,当解释变 量x=l时，预报变量（=1.45,那么样本点（1,1.2）的残差为一0.25, D正确.应选C、D.6.（多项选择）小明同学在做市场调查时得到如下样本数据：X13610y8a42A他由此得到经验回归方程为y=-2.lx+15.5,那么以下说法正确的选项是（）A.变量x与y线性负相关B.当x
6、 = 2时可以估计y=11.3C. a=6D.变量x与y之间是函数关系A【答案】ABC 由经验回归方程为y=-2.lx+15.5,可知变量x与y之间线性负相关， 14+a故 A 正确；当 x = 2 时，y=-2.1X2+15.5=11.3,故 B 正确；V x =5, y =,二样本点的中心坐标为（5,怨3，代入（ = -2.lx+15.5,得号卫=一2.1义5+15.5,解得a =6,故C正确；变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数关系，故D错误.应选A、B、C.7.（多项选择）某城市收集并整理了该市2020年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单 位：。C）的数据，绘制了下面的折
7、线图.该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，那么根据折线图，以下结论 正确的选项是（）A.最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D.最低气温低于0的月份有4个【答案】ABC 在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的 最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大 值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0的月份有3个，故D错误.应选A、 B、C.8.变量x和y线性相关,其一组观测数据为（xi，yi）,他，y2），（X3, y3），（x. y，
8、 一A（X5, ys），由最小二乘法求得经验回归方程为y = 0.67x+50.9.假设xi+x2+x3+x4+x5= 150, 贝U yi+yz+y3+y4+y5=. 15（）解析：由 X1+xz + x3 + x4 + x5= 150,得 X =-=30,八再由（x , y ）在回归直线y=0.67x + 50.9上，得 丁 =0.67X30+50.9 = 71,1yi+y2+y3+y4+y5=5 y =5X71 = 355.【答案】3559 .在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：（学生的数学和物理成绩具 有线性相关关系）学生的编号i12345数学成绩X8075706560物理成
9、绩y7066686462AA A现其经验回归方程为y = 0.36x + a,那么己=,根据此经验回归方程估计数学得 90分的同学的物理成绩为(四舍五入到整数)._ 60+65 + 70+75 + 80解析：x =g=70,-62+64+66+68 + 70y =5=66,所以 66 = 0.36X70+a,即a=40.8, A即线性回归方程为y=0.36x+40.8. A当 x = 90 时，y = 0.36X90+40.8 = 73.273.【答案】40.8 7310 .在2018年俄罗斯举办足球世界杯期间，莫斯科的局部餐厅经营了来自中国的小龙 虾，这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级
10、代码数值x与销售单价y之间的关系，经 统计得到如下数据：等级代码数值x384858687888销售单价y(元/kg)16.818.820.822.82425.8(1)代码超过60的为A等品，某公司从上表6种产品中任取2种产品进口，求2种 产品全为A等品的概率；(2)销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归 方程(系数精确到。1)；(3)假设莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98,请估计该等级的中国小龙 虾销售单价为多少元？A参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =iijXiyi-n x yA _ A_66 .n二，a= y b x
11、 ,参考数据：Zxiyi = 8 440,gx，=25 564.x，一n x 2i=li=ii=l解：(1)由图表可知，A等品有3种，总产品有6种，C4 31那么从上表6种产品中任取2种产品进口，2种产品全为A等品的概率P=6|=*=5(2)由题意得，T =Ix(38+48 + 58+68 + 78 + 88) = 63,7 =1x (16.8+18.8 + 20.8+22.8 + 24+25.8)=21.5,jlXiyi-n x yix?n x 21= i8 440-6X63X21.5 仁0 225 564-6X63X63A Aa= y -bx =21.5-0.2X63 = 8.9, AAy
12、关于x的经验回归方程为y = 0.2x+89 A（3）由（2）知当 x=98 时,y = 28.5,故估计该等级的中国小龙虾销售单价为28.5元.B级综合应用11 .以下说法中正确的选项是（）相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1,相关性越弱； A A A经验回归直线丫=6* + 一定经过样本点的中心（x , y ）；随机误差e满足E（e）=0；决定系数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好.A.B.C.D.【答案】D 线性相关系数r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r|越接近于1, 这两个变量线性相关关系越强，|r|越接近于0,线性相关关系越弱，
13、错误；经验回归直A A A线y = bx + a 一定经过样本点的中心（x , y）,正确；随机误差e是衡量预报精确度的一 个量，它满足E（e） = 0,正确；决定系数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型 的拟合效果越好，错误.12 .（多项选择）中华人民共和国成立以来，我国文化事业得到了充分开展，尤其是中共十八 大以来，文化事业开展更加迅速，如图是从2015年到2020年六年间我国公共图书馆业机构 数与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2015年编号为1,2016年编号为2,2020年编号为6,把每年的公共图书馆业机构数作为预报变量，把年份编号作为解释变量进行回A归分析），得到回归直
14、线方程为y=13.743x + 3 095.7,其决定系数R2 = 0.981 7,以下结论正 确的是（）A.公共图书馆业机构数与年份编号的正相关性较强B.在20162020年间，2018年公共图书馆业机构数增加量最多C.公共图书馆业机构数平均每年增加13.743D.可预测2021年公共图书馆业机构数为3 190【答案】AC 因为散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 因为R2=0.981 7接近于1,所以公共图书馆业机构数与年份编号的相关性较强，故A正确； 由题图可知，在20162020年间，2017年公共图书馆业机构数增加量最多，故B错误；因 为回归直线的斜率为13.7
15、43,所以公共图书馆业机构数平均每年增加13.743,故C正确；AA将x = 7代入回归直线方程y=13.743x + 3 095.7,解得y = 3 191.901处3 192,所以可预测2021 年公共图书馆业机构数为3 192,故D错误.应选A、C.A13 .(多项选择)由样本数据点集合(如yi)|i=l,2,n,求得的经验回归方程为丫 =1.5x+0.5,且7=3,现发现两个数据点(12 2.2)和(4.8,7.8)误差较大，去除后重新求得的 经验回归直线1的斜率为12那么()A.变量x与y具有正相关关系AB.去除后的经验回归方程为y=L2x+L4C.去除后y的估计值增加速度变快D.去
16、除后相应于样本点(2,3.75)的残差为0.05A【答案】AB 因为经验回归直线方程为y=L5x+0.5, 1.50,所以变量x与y具有正 相关关系，故A正确；当二=3时，7=3X1.5+0.5 = 5,样本中心点为(3,5),去掉两个数 据点(122.2)和(4.8,7.8)后，样本中心点还是(3,5),又因为去除后重新求得的经验回归直线1 AAA的斜率为1.2,所以5 = 3XL2+a,解得a=L4,所以去除后的经验回归方程为y=L2x+L4,A故B正确；因为L5L2,所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误；因为y=L2X2 A+ 1.4=3.8,所以 y-y = 3.75 3.8 =
17、 -0.05,故 D 错误，应选 A、B.14 .国际青年物理学家竞赛(简称IYPT)是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某 中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到10组数 据(U, V1), (U2, V2),，(u10, vio),通过散点图发现具有较强的线性相关关系，并且利用A1010最小二乘法求得经验回归方程为v=L5u+l,由于数据保存失误导致Zvi丧失，但Zui = 50i=li=l10被保存，通过所学知识可以求得Zvi =.i = l101 101解析：由 口 = 50,得 u =jQUi=yQX 50 = 5,再由经验回归方程恒过样本点的中
18、心可得,v =1.5X u +1 = 1.5X5 + 1=8.5,AEvi=10 v =10X8.5 = 85.【答案】8515 .随着科技的开展，网购已经逐渐融入了人们的生活.某公司组织统计了近五年来该 公司网购的人数yi（单位：人）与时间匕（单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用经验回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r 并加以说明；（计算结果精确到0.01）;（假设|r|0.75,那么线性相关程度很高，可用经验回归模 型拟合）（2）建立y关于t的经验回归方程，并预测第6年该公司的网购人数（计算结果精确到整E(ti- t )(yi- y )S(ti- t)E(y
19、i- y)S(ti- t)E(yi- y)附：相关系数公式参考数据：yj5 69575.47.Z(ti- t )(yi- y ) Diyi-n t yA i= 参考公式：b=一Z(ti- t )解：由题知 t =3, y =47, tiyi=852, A t 尸四),a / Z(yi- y)2=278,nx (ti-1)2(yy 147147147=V2=A/5 695BO94-970-75-故y与t的线性相关程度很高，可用经验回归模型拟合.nZtiyi- n t yA i=,(2)由(1)得b= 14.7,DF-nT2 i=lAa=47-14.7X3 = 2.9.A所以y与t的经验回归方程为
20、y=14.7t+2.9.A将t=6代入经验回归方程，得y = 91.1791,所以预测第6年该公司的网购人数约为91人.C级迁移创新16 .有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示:甲公司职位ABCD月薪阮6 0007 0008 0009 000获得相应职位概率0.40.30.20.1乙公司职位ABCD月薪/元5 0007 0009 00011 000获得相应职位概率0.40.30.20.1根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由;(2)某课外实习作业小组调查了 1 000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计, 得到以下数据分析：选择人员结构40
21、岁以上(含40 岁)男性40岁 以上 (含 40岁)女 性40岁以下男性40岁以下 女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110假设分析选择意原与年龄这两个分类变量，计算得出观测值为声=5.551 3,那么得出“选 择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿 与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大?a0.0500.0250.0100.005Xa3.8415.0246.6357.879其中 n = a+b+c + d.附：/= (a+b)黑禽Ixb+d)，解：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X, Y,那么 E(X) = 6 0
22、00X0.4+7 000X0.3 + 8 000X0.2+9 000X0.1 =7 000(元),E(Y) = 5 000 X 0.4+7 000 X 0.3 + 9 000 X 0.2 +11 000 X 0.1 = 7 000(元),D(X) = (6 000-7 000)2 义 04+(7 000-7 000)2X0.3 + (8 000-7 000)2X0.2+(9 000-7 000)2X0.1 = l 0002,D(Y) = (5 000-7 000)2X0.4+(7 000-7 000)2X0.3 + (8 000-7000)2X0.2 + (ll 000-7 000)2X0.1=2 0002,那么 E(X) = E(Y), D(X)5.024,故根据临界值表得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯 错误的概率的上限是0.025.由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2义2列联表如表所示：选择甲公司选择乙公司合计男250350600