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1、-第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。设质量为m，单位是kg。弹簧刚度为K，单位是Nm，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg作用而产生拉伸变形D：，同时也产生弹簧恢复力KD，当其等于重力W时，则处于静平衡位置，即 W=KDWxm未挂质量位置静平衡位置k一自由度弹簧质量系统若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见
2、，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m向下运动到x，此时弹簧恢复力为K(D+x)，显然大于重力W，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程改写为(1-1-1令(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为(1-1-3)设方程的特解为 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为则(1-1-3)的通解为(1-1-4)C、D为任意积分常数，由
3、运动的初始条件确定，设t=0时（1-1-5）则（1-1-6）经三角变换，又可表示为（1-1-7）其中 （1-1-8）自由振动的振幅A和初相位角a与系统的参数和初始条件有关。系统的振动周期 秒（s）系统振动的频率为 秒-1(s-1)或(Hz)系统振动的圆频率为弧度/秒(rad/s)2-2 能量法系统的动能T与势能U之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即T+U=常量（2-2-1）因而有 （2-2-2）应用上二式好可得到系统的运动方程和固有频率。设物体按x=Asin（wn+a）的规律作谐振动。取平衡位置为零势能点，物体在任意位置x时的动能T和势能U分别为将上二式
4、代入（1-2-2）可得系统运动方程。当物体运动经过平衡位置x=0时，动能达最大值当物体位移最大时，即x=A，T=0，U达最大值 因此 Tmax=Umax（2-2-3）即 得 2-3 阻尼系统的自由振动实际系统中阻尼总是存在的，它不断消耗系统的能量，使运动逐渐减弱，直至振动完全消失。阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生的阻尼力其变化规律也不相同。常见是一种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大小成正比，方向与速度方向相反，即 FR=cv其是c称为粘性阻尼系数，v为物体的运动速度。粘性阻尼系统的运动方程:(2-3-1)令(2-3-2)(1-3-1)运动方程化为(2-3-3)设特解得特征方程及特征根(2
5、-3-4)方程(1-3-3)的通解 (2-3-5)或(2-3-6)阻尼讨论:1.z1,大阻尼情形由于s1、s2 均为负实数，运动解x将按指数规律减小，并趋于平衡位置。2.z=1,临界阻尼情形特征方程有重根 s1=s2=-p，方程的通解为（2-3-7）系统受初始干扰离开平衡位置后又逐渐回到平衡位置，运动不明往复性的。3.z1,小阻尼情形特征方程的根为共轭复数 （2-3-8）运动解 （2-3-9）其中 C、D由运动的初始条件确定。当t=0时，则（2-3-10）运动解也可表示为 （2-3-11）其中 （2-3-12）由于系统的运动的幅度是逐渐减弱的，被称为衰减振动。衰减振动不是周期性运动。但运动通过平衡位置的间隔时间是相同的。物体通过平衡位置的时间间隔为（2-3-13）称为衰减振动的周期。衰减振动任意两个相邻的振幅之比等于（2-3-14）取自然对数（对数减缩率）（2-3-15）当z=1时,临界阻尼系数则 阻尼比: -第 4 页-