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1、-1 引言在机械系统中，单摆运动是一种典型而具有代表性的运动之一，长期以来人们对单摆运动的运动方程以及周期公式都进行了大量的研究，对于有阻力的单摆运动的认识也一步步加深然而，对于单摆运动的跟踪与控制，往往接触的很少为了使两个不同系统的单摆实现同步跟踪，寻求控制力的控制规律以及最优解，本文在合理的假设下，针对该问题，建立了单摆追踪的模型并利用线性系统的渐进稳定性原理及状态反馈控制对模型进行了求解，得出单摆控制力的最优解力，然后利用数学软件MATLAB进行了单摆运动的仿真模拟2 预备知识线性系统的渐近稳定性21 线性系统状态空间的基本概念1)状态:表征系统运动的信息和行为2)状态变量：完全表征系统
2、运动状态的最小一组变量3)状态向量: 设系统有个状态变量，用表示，而且把这些状态变量看做向量的分量，则向量称为状态向量，记为4)状态空间：以个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间5)状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：,其中，是时间变量，是输入变量6）输出方程：描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程输出方程的一般形式为：7）状态空间表达式：状态方程与输出方程
3、的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：通常，对于线性定常系统，状态方程为,其中，表示维状态向量，表示系统内部状态的系数矩阵，称为系统矩阵，表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵，表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵， 表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵，也称前馈系数矩阵 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下 22线性定常连续系统的能控性定义21 设，若存在一分段连续控制向量，能在内，将系统从任意的初态转移至任意终态，则系统完全能控定理21 系统完全能控的充要条件：,其
4、中，称为能控矩阵23线性状态反馈控制律线性状态反馈控制律为式中，是参考输入，称为状态反馈增益矩阵系统动态方程变为：,当时 ,式中，为闭环系统的系统矩阵闭环传递函数和特征方程为24 线性系统稳定性以及渐进稳定性理论1）稳定性基本概念-平衡状态 自治系统：输入为的系统 初态 的解为 平衡状态：2）李雅普诺夫意义下的稳定及渐进稳定 稳定：如果对每个实数都对应存在另一个实数满足 其中有：， 且则称 是李氏意义下的稳定渐近稳定：(1) 是李氏意义下的稳定；(2) ； (3) 大范围内渐进稳定性：对 都有 定理221：对 维连续线性系统，系统内部稳定即渐进稳定的充分必要条件为系统矩阵所有特征值均有负实部即
5、成立3 单摆运动问题的提出对于单摆系统，摆球的初始状态、质量、摆长都影响着单摆的周期，对两个受空气阻力的单摆系统中的一个加以控制，使两个单摆系统的摆角渐近相等此问题的关键在于使两个系统的摆角之间的误差趋向于零，运用线性系统的渐进稳定原理，建立模型，并利用数学软件MATLAB进行了单摆运动的仿真模拟研究此问题的具体要求：1） 两个单摆系统的摆球的初始状态、质量、摆长各不相同；2） 对其中一个加以控制力；3） 利用数学软件MATLAB对得到的控制律进行仿真，得出其图像4 问题分析与模型建立 41单摆跟踪问题分析现有两个单摆系统，如图4-1所示，摆球质量分别为、，摆长分别为、，摆球的初始状态与竖直方
6、向的夹角为、，根据单摆的性质可知，两个单摆系统的摆角不相等，在单摆4-1中施加一个控制力，使两个单摆达到渐进跟踪,即与之差趋向于0对单摆系统进行受力分析，可知对于摆球有运动方程 （1）又有 可知 整理可知 （2） 图4-1 单摆跟踪系统 对于摆球，有运动方程 ， （3）同样也有 ，可知 ，整理推得 （4）42 单摆跟踪问题模型的建立令， ，再代入（2）式得状态方程 ， （5）令， 再代入（4）式得状态方程 ， （6）再令， ， （7）设 ，则可知， （8）令 ， 并代入（7）（8）式整理得 （9）状态方程如下， （10）若使得当时间时，即两个单摆系统的摆角差逐渐趋向于0，则达到了不同单摆系统的
7、渐进跟踪5 单摆跟踪问题控制器设计51 单摆跟踪问题能控性的检测 方程（10）可以转化为 （11）其中，则能控矩阵，由定理1可知该系统完全能控52 单摆跟踪问题控制器的设计针对单摆跟踪系统，不涉及最优解，则控制器的设计实质上就是该系统稳定性的分析现令，代入（11）式整理可得 ， （12）其中，对微分方程（12）求解，有 （13）现验证通过调节的取值，可使有具有负实部的特征值 因为 所以有 ，利用求根公式求得 （15）不妨设，代入（15）可以求的，即当时，有具有负实部的特征值根据定理2可知，此系统渐进稳定6 单摆跟踪问题的仿真与动态模拟图61 单摆跟踪系统仿真结果图基于系统（5）和（6），假设状
8、态反馈控制律初值，参数，上图说明跟踪误差可渐进调节到0237 结束语单摆跟踪系统作为动力学系统，往往表现出强非线性、不定量性、模型不精确或模型未知等复杂特征，其控制也因此而变得有些困难本文中单摆跟踪系统的控制模型是在一些比较合理的变量转化下建立的线性模型，这避免不了与实际情况有一些差异但总的来说是比较合理的，模型的建立和仿真模拟与实际也比较接近了当然针对单摆跟踪的模型，我们也可以建立摆长相等的不同单摆系统的跟踪模型，与本文所建立的模型进行比较分析为进一步提高系统的精确度，我们需要考虑多方面的因素建立非线性控制模型，当然求解和仿真也是比较复杂这需要我们今后积极努力探寻新的、可行的建模方法和仿真参考文献1 郑大钟编著，线性系统理论（第二版），清华大学出版社 20022 王正林、王胜开、陈国顺编著，汪仁先主审，MATLAB/Simulink与控制系统仿真，电子工业出版社 20053 黄永安、马路、刘慧敏编著，MATLAB70/Simulink60建模仿真开发与高级工程应用，清华大学出版社 2005-第 - 13 - 页-