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1、数形结合在中学数学解题中的应用（湖北师范学院数学与统计学院，湖北 黄石 435002）1.引言数形结合思想方法是数学知识的本质之一、基础之一，也是重点之一，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。所谓数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，并且解法简便。在国内，我国数学方法论的倡导者、数学
2、家徐利治陆续发表了浅谈数学方法论、数学方法论宣讲等论著，并提出了很多创新性的观点，在数学界中引起了强烈的共鸣；在国外，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了数学的精神、思想与方法，系统论述了贯穿于整个数学的数学精神、重要数学思想与若干有效的数学方法。纵观国内外数学思想方法方面研究的现状，可以看出，虽然很多数学专家对于数学思想方法的含义及教学有过很深层次的探讨，且有了较为明显的成效，但在新课程改革不断发展的今天，这方面的研究工作还有待于完善，更重要的是要真正的实践到教学中去。作为一名高中数学教师，在近两个多月亲身高中数学教学实践中，我发现高中学生大多数把数形结合等同于“借助图象来解题”，对数形结合
3、的背景知识知道的非常少。而且有些老师只重视知识的传授或是进行大运动量的习题训练，一些数学思想往往会被忽视。由此引发了我的思考，同时我也在学术期刊网上下载了几十篇进行研读。根据近期我所研读的材料可以概括出数形结合主要包含“以形助数”、“以数辅形”和“数形互动”三个方面。数形结合的思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，能否有意识地运用数形结合思想方法解答数学问题，是衡量学生数学素养和数学能力的重要指标，而让学生真正掌握、熟练的运用才是最终的目的。通过研读材料以及在高中数学教学中的了解和亲身实践，于是从便于学生解题方面以及培养学生数形结合思想方面确定了论文方向。本论文是在概括搜集材料的基础上
4、，自己进行归纳小结，主要介绍数形结合在集合、不等式、求方程的根、函数、解析几何、向量问题中的应用。2.数型结合方法概述中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。数和形也可依一定条件相互转化，互相沟通。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系趋探求。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思
5、维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合源于数学，是数学思想方法中的一种。它是中学数学中的一个重要的思想方法，它不仅在数学解题中有着强大的功能，更在数学教学中发挥着巨大的作用。“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识，学生易于理解接受。对于数形结合思想方法的专题研究很多，各类数学杂志上都能见到，但对数形结合思想方法没有完整的、深刻的认识。伴随着社会的发展，数形结合的应用范围越来越广。人们不但使其在数学学科中原有的应用发挥地淋漓尽致，而且还不断挖掘它新的应用；不但开始尝试它在其他学科中的应用，并试图总结出一些应用规律，而且也在摸索它在生活
6、实际中的应用。这说明，数形结合的应用不再仅限于数学学科中，也不限于在其他学科中，它有更广的使用范围。那数形结合为什么应用如此之广呢？这值得我们思考。可以肯定地说，它本身具有一定的教育意义和教育价值。因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用。我们希望，运用数形结合的教育意义和教育价值也能带来数学解题能力的提高。因此，我们把中学数学中运用数形结合提高解题能力作为研究的课题是从数形结合的教育意义及教育价值视角出发的。3.数形结合的应用在中学阶段，有许多的代数题，学生总是拘泥于代数求法，结果导致布什
7、很繁杂，就、被认为超出其范围不能求解。其实，代数与几何是有着密切联系的。在代数中若能充分联想题设与结论中的“几何背景”恰当构造图形，实施命题变更，不但能够激发学生的学习兴趣，而且往往探索出新思路，找到解题的关键，优化解题方法。它不仅对于沟通代数、三角与几何内在联系具有指导意义，而且更重要的是对于开阔学生的思路，发展学生的创造性思维，提高学生的思维品质有着重要作用。因此本论文主要介绍主要介绍数形结合在集合、不等式、求方程的根、函数、解析几何、向量问题中的应用。3.1数形结合在集合问题中的应用在解决集合问题时，有一些常用的方法如数轴发取交并集、文氏图法以及借助函数图像等，是中学数学中的一类重要的题
8、型，处理这类问题的常用方法是先观察题目已知条件，若能充分注意到集合的性质，利用数形结合思想，形象地表示出各数量间的联系，从而求解，则往往可以形成较为简洁的解法。 3.1.1 借助文氏图文氏图主要适用于离散型（元素各自孤立）的集合以及单纯的抽象型集合，但仍要注意问题的全面性，考虑问题要面面俱到，紧抓已知条件，准确的画出文氏图，简便解题。例1:已知集合，求集合。 分析：由题目已知条件可以很明显的看出，此题是交并集集合问题，首先我们应该依此解出集合，观察可知解出集合里都是数字，那么自然而然的，我们采取文氏图法来解决问题。 解：； 如右图，易得。3.1.2 借助数轴 数轴主要适用于解决与不等式相关的集
9、合问题，数轴是学生很早就已经接触比较简便的图形，但是此类题型在用数轴的时候，最容易忽视空集的情况，这里做出强调。例2:已知集合，A=B，求集合。分析：由题目的已知条件可以看出，题目是与不等式相关的集合问题，并且也是集合的交并集问题，我们很容易想到要借助数轴解题，但需要进行非空的讨论，往往空集的情况是学生最容易忽视的。 解：(1)当时A=B=此时 。 (2)当a、b不满足(1)时由A=B得 a=3,b=5此时 ，利用数轴如右图求得 。3.1.3 借助函数图象 函数图像主要适用于解决与函数相关的集合问题，函数是中学的重点知识也是难点，那么此类题目需要学生有良好的函数基础，往往此时要求集合的交并集时
10、就可以转化为求函数的交点，于是我们画出函数图像问题就迎刃而解。 例3:集合，已知只有一个子集，那么k的取值范围是（ ）。（A） （B） (C) （D） 分析：由题目已知条件可知，本题是与函数相关的集合问题，所以我们轻而易举的想到将集合问题转化为直线与指数函数的图象的交点问题，根据题意作出图形，运用数形结合的思想，合理求解。在作图时，应注意y= 的图象始终在直线上方。解：集合P表示直线，集合Q表示曲线y= . 由只有一个子集可知所以 直线y=k与曲线y= 没有交点。不妨设a1,（当0a1时，情况同理）在同一坐标系纵作出y=k与y= 图象如右图，由图象可知所以k的取值范围是，选（B）。3.2数形结
11、合在不等式问题中的应用在解决不等式问题时，运用数形结合更为形象直观，简洁明快，特别是在解决含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐，若用数形结合的方法，问题会大大简化，有时在确定不等式中的参数的范围时，几何图形能使问题直观化。3.2.1 借助函数图象函数图像适用于不等式中含的不等式，可以将其看作函数并画出函数图像，转化成为几何问题，从图像直观地观察出特点，然后进行计算，即准确又快速。例4:解不等式。分析：由已知条件可知，利用数形结合解含的不等式，看做函数或者曲线，作出图象，根据范围和图像特点解题。解：令 可得它们的图象如右图所示因为，所以 原不等式的解集为 。3.2.2
12、 借助二次方程实根分布若已知实系数一元二次方程实根的分布范围，则可根据“判断式，对称轴,区间端点值”确定相应二次函数的某些性质。因此利用二次方程实根分布范围处理不等式，可使其解法简捷巧妙。例5:设，又设B是关于x的不等式的解集，且，试确定的取值范围。分析：由已知条件可知实系数一元二次方程实根的分布范围，于是我们可以根据“区间端点值”确定相应二次函数的性质，利用实根分布范围处理不等式，从而使问题得到解决。解： 记f(x)=x2-2x+a,B1为不等式（1）的解集；记g(x)= x2-2bx+5,B2为不等式（2）的解集。则 ,又因为 所以如右图则有： 且 即 且 解得： 3.2.3 借助线性规划
13、线性规划适用于解决不等式组解集区域问题，也可通过一个不等式转化成不等式组区域，总而言之，此类题目，应该根据不等式画出可行区域，然后用线性规划的知识进行求解不等式问题，但需强调的是不能忽略一些特殊点情况。例6：解不等式分析：由已知条件我们可以观察出，不能运用两边同时平方或是直接求解，于是我们想到通过“双换元”将不等式转化为混合组，在可行域内根据几何意义先求出辅元的范围，使不等式得到巧妙解决，这种方法简单直观具有创新性。解：令, 则 解得 ，根据约束条件画出可行域，如右图则可行区域为圆在第一象限内的弧(包含)不含点B )由 解得 。 3.2.4 借助向量图形 向量图形适用于与根式相关的不等式问题，
14、当根号下是一个单纯的数字的时候，往往我们优先考虑借助向量解题，我们可以构造向量模型，例如圆，然后由图形的范围求出不等式的解。例7：求证：。分析：由已知条件可以想到构造向量模型或图形的方法，比其常规解法都要简捷、巧妙，达到事半功倍的效果。证明：不妨构造向量，设，则 即向量，的中点在圆O：上如右图示，设圆与x正半轴交于点A，在第一象限与直线y=x交于点B由得所以 即 则有 故 3.3数形结合在求方程的根问题中的应用在求方程的根问题中，我们也优先考虑数形结合的方法解题。对于一元二次方程实根的分布问题，可借助二次函数图像，利用数形结合的思想对问题做等价转换，从顶点、判别式、对称轴、自变量去一些关键值时
15、函数值的符号，从而列出相应的方程或是不等式，使问题得到解决。3.3.1 相关参数的取值 适用于求方程的表达式及根的取值范围，先推导出相应的二次函数的大致图象，然后观察图像特征，再依据图象直观形象地得到结论，为求参数m的值提供依据。例8：关于的二次方程有两个实数根，一个大于-1，另一个小于-1，则应满足（ ）。分析：由已知条件可知，要求方程相关参数的取值，可以立刻想到运用数形结合的思想，先设出方程和根，然后根据已知条件画出图像，进而观察图像的特点以及结合范围进行求解。解：设方程的两实数根为且令 因为 所以，其函数图象的开口向上。又根据题意知此抛物线与x轴的两个交点的左右两侧因此，此函数的大致图象
16、如右图所示观察分析图象可知 即 解得： 本题答案应选C。3.3.2 结合二次函数图象 适用于求一元二次方程的解类型的题目，先根据题目已知条件画出二次函数的图象，然后观察图像，根据图像的各类特征，再依据图象直观形象地得到关系式或是结论，从而求出方程的解。例9：已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为_.分析：由题目已知条件和图像可知，应该将数形结合起来进行解题，首先要读清题意，观察图像，然后根据函数图像对称轴的性质直观形象地得到关系式，再根据二次函数与一元二次方程的相互关系得出方程的根。解：观察右图可知：这个二次函数函数图象与根据抛物线与轴的两个交点关于对称轴互相对称的性质由
17、所以 即 按照二次函数与一元二次方程的相互关系即知 再由方程的根与系数的关系得：所以，解方程得：3.3.3 标根解不等式适用于解不等式和分式不等式，用标根的方法在数轴上标出方程的根。需要强调的是，当不等式是分式不等式时，要特别注意分母不能为零的情况，这也是做题中经常被忽略的地方；其次要注意是取数轴的上方还是下方，要根据不等式的符号来确定。例10：解不等式。分析:由题目可以直接观察出不等式是分式不等式，那么在解题过程中应该优先想到用标根方法来借不等式，但此题要注意分母的情况。解：因分母的最高次项的系数是所以不等式变形为 将分子与分母的相除变为相乘，同时注意分式有意义，分母不为0即 标根，如图所示
18、： 因，所以X轴上方向的图象有两部分：一部分在-1和之间，一部分在4的右侧所以 的解集为 3.3.4 方程根的个数讨论有关方程根的个数问题时，通常把方程问题转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决。在设函数时，一般一个函数中不含参数，另一个函数中含有参数，进而观察函数图象在运动过程中交点的变化情况。例11：试就实数取值情况，讨论关于的方程的解得个数。分析：由题意可知，此题是讨论方程的解的个数，即方程根的个数，于是我们要把方程问题转化为求两个函数图像的交点个数问题来解决，即将等式两边设成两个函数，从而根据讨论的范围来确定两函数图像的交点个数，从而求得方程的解的个数。解：在同一坐标系中做出它们的函
19、数图象由右图可知：当时两图象只有一个交点，原方程有唯一解；当0m1时两图象有两个不同的交点，原方程有两解；当m0时 两图象无交点，原方程无解。3.3.5 方程所有根的和求方程所有根的和时应该采用整体思想以及借助数形结合的思想，再根据函数图像的特征简化题目，将方程的所有根作为一个整体根据图像性质进行求解，体现出数形结合解题的优越性。例12： （ ）。分析：本题是求，即应该采用整体思想，同时该结构特征使我们联想到对称的用处，根据对称我们可以顺利解决问题。解：将已知条件变形有：构造函数做出以上三个函数及图像如右图,由题意知函数和图像关于直线对称又由 直线与垂直且 图像交点的横坐标为根据图像的对称性知
20、。3.4数形结合在函数问题中的应用 在解决函数问题中，我们应该根据题型的不同分析并优先考虑数形结合的方法解题。比如在遇到求函数的最值和值域、函数的自变量和变量的取值范围、函数的系数等问题时应该优先选择结合数形结合的思想将题目简化，从而快速准确地解题。3.4.1 最值和值域在求函数最值和值域的题型中，我们应该立马想到运用数形结合的方法简化解题，将代数问题转化为几何图形，然后根据图像和题目已知条件进行解题。例13：求函数的最值。分析：由题目可知要求函数的最值，观察函数是根式形式，于是我们用数形结合的方法将代数问题转化为图形问题，使复杂根式问题的最值简单化，形如均可转化为“三角形中的两边之和（差）大
21、于（小于）第三边”求最值。解：把函数化为 则原问题转化为求上点到两定点 的距离的和的最值如右图所示：根据几何定理易知PA+PB有最小值而无最大值点A关于对称的点从而可得所以原函数的最小值为3.4.2 图象与系数的关系图像与系数的关系一般来说都已经明确指出要用图形解题，我们可以根据图形的性质，包括开口方向、顶点、对称轴、判别式、交点等，由此判断函数的系数符号或是大小，也可根据系数的符号和大小判断函数图像的形状和位置. 例14：已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论正确的是（ ）分析：题目已经给出了函数图像，我们只需观察函数图像，用字母表示出函数的对称轴、判别式、开口向下，从而求出系数的符
22、号或是大小关系。解：抛物线开口向下，；抛物线与y轴交于正半轴，所以 排除A 对称轴而 故 排除B抛物线与x轴有两个交点,排除C。对称轴为,从而，选D3.4.3求函数定义域在求函数的定义域的题目类型中，我们首先根据求函数定义域的基本方法进行判断是否能够使用，当一般遇到三角函数、根式、分式等较复杂的函数的时候，我们就应该想到运用数形结合的方法，有时还需要灵活转化，方便解题。例15：试求函数的定义域。分析：由题目看出，函数是由根式以及三角函数和对数函数组成的复合函数组成的，是个较为复杂的函数，所以我们用一般的求自变量定义域的方法相当复杂，于是我们想到借助函数图像，将复合函数分别求出定义域，然后根据求
23、交集来求出复合函数的定义域。解：求函数定义域就是求不等式组的解集利用三角函数图象求解 画出图象如下图:由图象可知： 即函数定义域为：3.5 数形结合在解析几何问题中的应用学习平面解析几何时，一方面，需要深刻理解数形结合，掌握数形结合的基础知识；另一方面，要能够运用数形结合思想解决具体问题。在中学代数的许多问题研究过程中，若能有效地结合“几何模型”把数量关系转化为图形性质问题，常会使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。3.5.1 构造基本公式模型 解析几何中的基本公式常用来作为几何模型解题，如：（1）定比分点公式；（2）两点的距离公式；（3）点到直线的距离公式等。 例15：已知实数，求的最小值。
24、 分析：题目所求是最小值，我们进一步观察可以发现可以看成与两点的距离，于是画出直线和两点，根据图像可以得出结果。 解：在直线上运动 表示与两点的距离 如右图所示： 由点到直线的距离定义可知：3.5.2 构造直线和圆的模型 在涉及某些二元一次方程和二元二次方程，比如，涉及形和中，我们常常建立直线和圆的解析几何模型，利用有关元素的几何意义和位置关系简捷而巧妙地解决问题。 例16：如果实数满足等式,求的最大值。 分析：此题求的最大值，我们可以将其转化为直线的斜率，设，于是转化成了涉及到和的直线和圆的几何模型，于是我们根据题意画出图像，依据表示直线的斜率可以求出的最大值。 解：建立直线和圆的模型：表示
25、P（x,y)是以（2,0）为圆心，半径为的圆上一点如右图所示： 表示直线OP的斜率由解析几何知识易得3.5.3 曲线模型 在解代数问题中常涉及到形如这样的二次方程我们常通过建立抛物线、椭圆、双曲线的模型来解题。 例17：已知复数满足和，求。 分析：此题目中的和可以由复数运算的几何意义转化为椭圆和双曲线，再由图像可以求出。 解：由复数运算的几何意义可知：表示中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10的椭圆；表示中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的下支；如右图所示：由图形以求得： z=-4i3.6 数形结合在向量问题中的应用向量是集数与形于一身的数学概念，是数学中属性集合思想的典型体现。我们知道向量可以
26、按照一定的运算率进行加减乘及数量积运算，很多同学会认为向量是属于代数范畴，但是我们知道以上运算都有它的几何意义，因而向量实际上是属于几何范畴。我们在解题时，若能巧妙地结合向量的几何意义，可以将许多复杂问题简单化，抽象问题直观化。3.6.1 计算长度或夹角 若题目需要求的是向量的长度或是夹角，那么我们应该优先考虑运用数形结合的思想，结合向量图形解题。 例18：已知均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么=（ ）A. B. C. D.4 分析：题目要求的是的向量和的模长，所以我们运用数形结合进行解题，画出向量组成的平行四边形，然后借助余弦定理可得到等式，从而得出答案。 解：构造如右所示平行四边形设
27、60o 则 又由余弦定理的得： 120o 2=2+2-2cos120o 所以得到：=故选C 例19：已知=，且+=0，求三向量两两间夹角。 分析：题目要求的是向量之间的夹角，那么我们首先画出向量图形，使之组成一个三角形，右图形直接得出夹角是120o。 解：由于 =且+=0将三向量首尾相连，必可以构成一个正三角形如右图所示：设=则三向量的夹角恰为三角形的三外角故三向量之间两两夹角为120o3.6.2 最值类问题 若题目需要求的是与向量相关的最值问题，那么我们结合向量图形进行解题，还可以将向量转化到其他几何图形中进行求解，常用到的是将向量转化到圆内进行解题。 例20：已知向量，则的最大值、最小值分
28、别是（ ）。A、 B、 C、16,0 D、4,0 分析：由题目已知条件我们可以得出=2，且=2，转化为终边都在一个半径为2的圆上，然后B为定点，A为动点，那么可以求出当A在圆上移动时的=的最值。 解：由可知=2，且=2将向量、起点移到原点则 终边都在一个半径为2的圆上如右图所示：设则 其中B为定点，A为动点于是当A在圆上移动时可知：=的最大值为4，最小值为0.故选D。结 语通过本课题的研究，我们不难发现数学思想方法是理论联系实际的一步棋子，是由知识转化为能力的一架桥梁。数学方法与数学思想互为表里，它们都建立在一定的知识基础上，反过来又促进知识的深化提高和逐步向能力的转化。还有人把数学比喻为一个
29、人：问题是数学的“心脏”，知识是数学的“躯体”，方法是数学的“行为”，而思想是数学的“灵魂”。不管怎样比喻，都可以清楚的知道中学解题中数学思想方法的有效渗透有多么重要，作为一名教师，要树立终身学习的愿望，认真备课，备教材、备方法，为学生的一切着想，为自身的数学素养着想，将关注数学思想方法作为教学的追求，让数学思想方法在平实的教学课堂中随意的流淌。此课题的研究还存在很多不足的地方，要用终身学习的愿望来要求自己，作为一名教师来讲，在自己学生身上延续的是教师的思想。将渗透数学思想方法的教学理念贯穿自己教育的全部生涯，使自己在教育平台上得到很好的锻炼。让学生因为老师的“会教”而特别的“会学”，使每个数
30、学教师都要在渗透数学思想方法方面下功夫，为数学教学再添新的亮点。致 谢 在本文即将完成之际，我要向所有关心我，给予我无私帮助的人们表示我最诚挚的谢意。谢谢！谢谢你们！ 首先，我要向我的指导老师郑绿洲老师，表示我最衷心的感谢。在本论文完成的过程中，郑老师不断地指导我、鼓励我，给予了我很多很多帮助。郑老师对我的论文题目和构想等提出了许多具体的宝贵意见，使我受到了很多启发。郑老师尽可能地告诉我应该从哪些方面去构思，怎样去总结，怎样能写出一篇与众不同的论文。感谢湖北师范学院数学与统计学院的学生们的鼓励和帮助。感谢各位领导和老师对我的谆谆教诲和无私帮助。最后我要感谢一直关心我和支持我完成学业的亲人和朋友
31、们！谢谢！由于我的经验不足以及能力有限，论文中难免有不当和错漏之处，希望老师和同学们提出宝贵的意见。谢谢大家！ 参考文献1 程华、黄泰安，注重数形结合 培养直觉思维J，中学数学参考2005.12：（31-34）2 唐加俊，活用数形结合解题J，中学数学参考2005.9：（11-13）3 莫红梅，浅谈数形结合在中学数学中的应用J，教育实践与研究2003.12：（46-47）4刘志联，构造几何模型巧解代数题J，中学数学月刊2003.1：（37-39）5任樟辉，数学思维理论（新版）M，广西教育出版社：（281-347）6 陈振邃.重视数形结合，提高解题能力J.中学数学教学.1985.（03）7 张正雄.数形结合，寻找简捷的解题思路J.初中生学习（考试与综合）.2003.（09）8 刘德钧.用数形结合的思想解题J.数理化学习（高中版）.2003.(04)9 蒋福.不等式（组）中的数形结合思想J.中学生数理化（八年级教学）（北师大版）.2009.(01)10 胡芳.数形结合解三角题J.雁北师范学院学报.1997.(05)11 冯小红，魏小娟.谈解析几何中的数形结合J.新课程（教研）.2010.（02）12 关金海.数形结合思想在解题中的应用J.青海教育.2007.（08）