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1、高中数学常用公式及常用结论大权-完整版1. 元素与集合关系,.2.德摩根公式 . 5集合子集个数共有 个；真子集有1个；非空子集有 1个；非空真子集有2个.(1)一般式;(2)顶点式;(3)零点式.常有以下转化形式.在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.9.闭区间上二次函数最值 二次函数在闭区间上最值只能在处及区间两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，假设，那么；，.(2)当a0)1，那么周期T=a；2，或，或,或,那么周期T=2a；(3)，那么周期T=3a；(4)且，那么周期T=4a；(5),那么周期T=5
2、a；(6)，那么周期T=6a.30.分数指数幂 (1)，且.(2)，且.31根式性质1.2当为奇数时，；当为偶数时，.32有理指数幂运算性质(1) .(2) .(3).注： 假设a0，p是一个无理数，那么ap表示一个确定实数上述有理指数幂运算性质，对于无理数指数幂都适用. .34.对数换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).35对数四那么运算法那么假设a0，a1，M0，N0，那么(1);(2) ;(3).,记.假设定义域为,那么，且;假设值域为,那么，且.对于情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广 假设,那么函数 (1)当时,在和上为增函数.， (2)当时,在和上为减函
3、数.推论:设，且，那么1.2.38. 平均增长率问题如果原来产值根底数为N，平均增长率为，那么对于时间总产值，有.( 数列前n项和为).通项公式；其前n项和公式为.通项公式；其前n项和公式为或.:通项公式为；其前n项和公式为.43.分期付款(按揭贷款) 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).44常见三角不等式1假设，那么.(2) 假设，那么.(3) .45.同角三角函数根本关系式 ，=，.46.正弦、余弦诱导公式(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数) ;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点象限决定, ).48.二倍角公式 .49. 三倍角公式 .50.三角函数周期公式 函
4、数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)周期；函数，(A,为常数，且A0，0)周期.;.1分别表示a、b、c边上高.2.(3).54.三角形内角和定理 在ABC中，有.55. 简单三角方程通解 . .特别地,有. . . . . .设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量数量积运算律：(1) ab= ba 交换律;(2)ab= ab=ab= ab;(3)a+bc= a c +bc. 如果e1、e 2是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e
5、2不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量一组基底60向量平行坐标表示 设a=,b=，且b0，那么ab(b0).53. a与b数量积(或内积)ab=|a|b|cos 61. ab几何意义数量积ab等于a长度|a|与b在a方向上投影|b|cos乘积(1)设a=,b=，那么a+b=.(2)设a=,b=，那么a-b=. (3)设A，B,那么.(4)设a=，那么a=.(5)设a=,b=，那么ab=.(a=,b=). =(A，B).65.向量平行与垂直 设a=,b=，且b0，那么A|ba=b .ab(a0)ab=0.66.线段定比分公式 设，是线段分点,是实数，且，那么.67.三角形重心坐标公式
6、ABC三个顶点坐标分别为、,那么ABC重心坐标是.68.点平移公式 .注:图形F上任意一点P(x，y)在平移后图形上对应点为，且坐标为.69.“按向量平移几个结论1点按向量a=平移后得到点.(2) 函数图象按向量a=平移后得到图象,那么函数解析式为.(3) 图象按向量a=平移后得到图象,假设解析式,那么函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,那么方程为.(5) 向量m=按向量a=平移后得到向量仍然为m=.70. 三角形五“心向量形式充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，那么1为外心.2为重心.3为垂心.4为内心.5为旁心.71.常用不等式：1(当且仅当ab时取“=号)2(当
7、且仅当ab时取“=号)34柯西不等式5.都是正数，那么有1假设积是定值，那么当时和有最小值；2假设和是定值，那么当时积有最大值.推广 ，那么有1假设积是定值,那么当最大时,最大；当最小时,最小.2假设和是定值,那么当最大时, 最小；当最小时, 最大.，如果与同号，那么其解集在两根之外；如果与异号，那么其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.74.含有绝对值不等式 当a 0时，有.或.1 .2.3.76.指数不等式与对数不等式 (1)当时,; .(2)当时,;77.斜率公式 、.78.直线五种方程 1点斜式 (直线过点，且斜率为)2斜截式 (b为直线在y轴上截距).3两点式 (
8、)(、 ().(4)截距式 (分别为直线横、纵截距，)5一般式 (其中A、B不同时为0).79.两条直线平行和垂直 (1)假设，;.(2)假设,且A1、A2、B1、B2都不为零,；80.夹角公式 (1).(，,)(2).(,).直线时，直线l1与l2夹角是.81. 到角公式 (1).(，,)(2).(,).直线时，直线l1到l2角是.82四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点直线系方程为(除直线),其中是待定系数; 经过定点直线系方程为,其中是待定系数(2)共点直线系方程：经过两直线,交点直线系方程为(除)，其中是待定系数(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行
9、直线系方程与直线平行直线系方程是()，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直直线系方程是,是参变量83.点到直线距离 (点,直线：).84. 或所表示平面区域设直线，那么或所表示平面区域是：假设，当与同号时，表示直线上方区域；当与异号时，表示直线下方区域.简言之,同号在上,异号在下.假设，当与同号时，表示直线右方区域；当与异号时，表示直线左方区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 或所表示平面区域设曲线，那么或所表示平面区域是：所表示平面区域上下两局部；所表示平面区域上下两局部. 86. 圆四种方程1圆标准方程 .2圆一般方程 (0).3圆参数方程 .4圆直径式方程 (圆
10、直径端点是、).87. 圆系方程(1)过点,圆系方程是,其中是直线方程,是待定系数(2)过直线:与圆:交点圆系方程是,是待定系数(3) 过圆:与圆:交点圆系方程是,是待定系数点与圆位置关系有三种假设，那么点在圆外;点在圆上;点在圆内.直线与圆位置关系有三种:;.其中.设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;.(1)圆假设切点在圆上，那么切线只有一条，其方程是 .当圆外时, 表示过两个切点切点弦方程过圆外一点切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴切线斜率为k切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)圆过圆上点切线方程为;斜率为圆切线方
11、程为.参数方程是.焦半径公式 ，.94椭圆内外部1点在椭圆内部.2点在椭圆外部.95. 椭圆切线方程 (1)椭圆上一点处切线方程是. 2过椭圆外一点所引两条切线切点弦方程是. 3椭圆与直线相切条件是.焦半径公式，.(1)点在双曲线内部.(2)点在双曲线外部.(1假设双曲线方程为渐近线方程：. (2)假设渐近线方程为双曲线可设为. (3)假设双曲线与有公共渐近线，可设为，焦点在x轴上，焦点在y轴上.99. 双曲线切线方程 (1)双曲线上一点处切线方程是. 2过双曲线外一点所引两条切线切点弦方程是. 3双曲线与直线相切条件是.100. 抛物线焦半径公式抛物线焦半径.过焦点弦长.上动点可设为P或 P
12、，其中 .图象是抛物线：1顶点坐标为；2焦点坐标为；3准线方程是.(1)点在抛物线内部.点在抛物线外部.(2)点在抛物线内部.点在抛物线外部.(3)点在抛物线内部.点在抛物线外部.(4) 点在抛物线内部.点在抛物线外部.104. 抛物线切线方程(1)抛物线上一点处切线方程是. 2过抛物线外一点所引两条切线切点弦方程是. 3抛物线与直线相切条件是.(1)过曲线,交点曲线系方程是(为参数).(2)共焦点有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交弦长公式 或弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线倾斜角，为直线斜率. 1曲线关于点成中心对称曲线是.2曲线关
13、于直线成轴对称曲线是.108.“四线一方程 对于一般二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲线切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109证明直线与直线平行思考途径1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行.110证明直线与平面平行思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.111证明平面与平面平行思考途径1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直.112证明直线与直线垂直思考途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线射影垂直；4转化为线
14、与形成射影斜线垂直.113证明直线与平面垂直思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面；5转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.114证明平面与平面垂直思考途径1转化为判断二面角是直二面角；2转化为线面垂直.115.空间向量加法与数乘向量运算运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab始点一样且不在同一个平面内三个向量之和，等于以这三个向量为棱平行六面体以公共始点为始点对角线所表示向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、
15、b(b0 )，ab存在实数使a=b三点共线.、共线且不共线且不共线. 向量p与两个不共线向量a、b共面存在实数对,使推论 空间一点P位于平面MAB内存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.和不共线三点A、B、C，满足，那么当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，假设平面ABC，那么P、A、B、C四点共面；假设平面ABC，那么P、A、B、C四点不共面四点共面与、共面平面ABC. 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一有序实数组x，y，z，使pxaybzc推论 设O、A、B、C是不共面四点，那么对空间任一点P，都存在唯一三个有序实数x，y，
16、z，使.向量=a和轴，e是上与上射影，作B点在上射影，那么a，e=ae设a，b那么(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；A，B，那么= .124空间线线平行或垂直设，那么；.125.夹角公式 设a，b，那么cosa，b=.推论 ，此即三维柯西不等式.126. 四面体对棱所成角四面体中, 与所成角为,那么.127异面直线所成角=其中为异面直线所成角，分别表示异面直线方向向量与平面所成角(为平面法向量).所在平面假设与过假设平面成角,另两边,与平面成角分别是、,为两个内角，那么.特别地,当时,有.所在平面假设与过假设平面成角,另两边,与平面成角分别是、,为两个内角，那么.特别地,当
17、时,有.平面角或，为平面，法向量.设AC是内任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成角为，AB与AC所成角为，AO与AC所成角为那么.133. 三射线定理假设夹在平面角为二面角间线段与二面角两个半平面所成角是,与二面角棱所成角是，那么有 ;(当且仅当时等号成立).134.空间两点间距离公式 假设A，B，那么 =.到直线距离(点在直线上，直线方向向量a=，向量b=).136.异面直线间距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间距离).到平面距离 为平面法向量，是经过面一条斜线，.138.异面直线上两点距离公式 . (两条异面直线a、b所成角为，其公垂线段长度为h.在直线
18、a、b上分别取两点E、F，,). 140. 长度为线段在三条两两互相垂直直线上射影长分别为，夹角分别为,那么有.立体几何中长方体对角线长公式是其特例.141. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角为).142. 斜棱柱直截面斜棱柱侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它直截面周长和面积分别是和,那么.143作截面依据三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥平行截面性质如果棱锥被平行于底面平面所截，那么所得截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面距离与棱锥高平方比对应角相等，对应边对应成比例多边形是相似多边形，相似多边形
19、面积比等于对应边比平方；相应小棱锥与小棱锥侧面积比等于顶点到截面距离与棱锥高平方比145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体顶点数V、棱数E和面数F).1=各面多边形边数和一半.特别地,假设每个面边数为多边形，那么面数F与棱数E关系：；2假设每个顶点引出棱数为，那么顶点数V与棱数E关系：.146.球半径是R，那么其体积,其外表积 (1)球与长方体组合体: 长方体外接球直径是长方体体对角线长. (2)球与正方体组合体:正方体内切球直径是正方体棱长, 正方体棱切球直径是正方体面对角线长, 正方体外接球直径是正方体体对角线长. (3) 球与正四面体组合体: 棱长为正四面体内切球半径为,外接球半径为.
20、148柱体、锥体体积是柱体底面积、是柱体高.是锥体底面积、是锥体高.149.分类计数原理加法原理.150.分步计数原理乘法原理.151.排列数公式 =.(，N*，且)注:规定.152.排列恒等式 (1;2;3; 4;5.(6) .153.组合数公式 =(N*，且).(1)= ;(2) +=.注:规定.1;2;3; 4=;5.(6).(7). (8).(9).(10). .157单条件排列以下各条大前提是从个元素中取个元素排列.1“在位与“不在位某特元必在某位有种；某特元不在某位有补集思想着眼位置着眼元素种.2紧贴与插空即相邻与不相邻定位紧贴：个元在固定位排列有种.浮动紧贴：个元素全排列把k个元
21、排在一起排法有种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h个，把它们合在一起来作全排列，k个一组互不能挨近所有排列数有种.3两组元素各一样插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.4两组一样元素排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别一样排列数为.158分配问题1(平均分组有归属问题)将相异、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.2(平均分组无归属问题)将相异个物体等分为无记号或无顺序堆，其分配方法数共有.3(非平均分组有归属问题)将相异个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数彼此不相等，那么其分配方法数共有.4(非完全
22、平均分组有归属问题)将相异个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，那么其分配方法数有 .5(非平均分组无归属问题)将相异个物体分为任意，件无记号堆，且，这个数彼此不相等，那么其分配方法数有.6(非完全平均分组无归属问题)将相异个物体分为任意，件无记号堆，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，那么其分配方法数有.7(限定分组有归属问题)将相异个物体分给甲、乙、丙，等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，时，那么无论，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.159“错位问题及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位组合数为.推广
23、: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位不同组合总数为.160不定方程解个数(1)方程正整数解有个.(2) 方程非负整数解有 个.(3) 方程满足条件(,)非负整数解有个.(4) 方程满足条件(,)正整数解有个.161.二项式定理 ;二项展开式通项公式.事件A，B分别发生概率和P(AB)=P(A)P(B)164.个互斥事件分别发生概率和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)A，B同时发生概率P(AB)= P(A)P(B). P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)1;2.1.2假设,那么.(3) 假设服从几何分布,且，那么.=.(1)；(2假设，那么.(3) 假设
24、服从几何分布,且，那么.，式中实数，0是参数，分别表示个体平均数与标准差.密度函数.，取值小于x概率.178.回归直线方程 ，其中.179.相关系数 .|r|1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.180.特殊数列极限 1.2.3无穷等比数列 ()和.181. 函数极限定理.182.函数夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0附近满足：1;2常数,那么.本定理对于单侧极限和情况仍然成立.1，；2，.184.两个重要极限 1；2).185.函数极限四那么运算法那么 假设，那么(1)；(2);(3).186.数列极限四那么运算法那么 假设，那么(1)；
25、(2)；(3)(4)( c是常数).187.在处导数或变化率或微商.190.在导数.191. 函数在点处导数几何意义函数在点处导数是曲线在处切线斜率，相应切线方程是.(1) C为常数.(2) .(3) .(4) . (5) ；.(6) ; .1.2.3.194.复合函数求导法那么 设函数在点处有导数，函数在点处对应点U处有导数，那么复合函数在点处有导数，且，或写作.195.常用近似计算公式当充小时(1);；(2)； ；(3)；(4)；(5)为弧度；(6)为弧度；(7)为弧度是极大小值方法当函数在点处连续时，1如果在附近左侧，右侧，那么是极大值；2如果在附近左侧，右侧，那么是极小值.模或绝对值=. (1);(2);(3);(4).对于任何，有交换律:.结合律:.分配律: .201.复平面上两点间距离公式 ，. 202.向量垂直 非零复数，对应向量分别是，那么 实部为零为纯虚数 (为非零实数).203.实系数一元二次方程解 实系数一元二次方程，假设,那么;假设,那么;假设，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.