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1、高三冲刺讲义：?圆锥曲线新题型及定点问题分析?圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考察的内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考察学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用。定点问题与定值问题是这类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2类问题；在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不同时，曲线本身的性质不变，或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值定点问题，她涵盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、
2、距离、面积等为常数问题。在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类问题的学习，通常有两种处理方法:从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关.直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值).而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法，其中又包括：1、通过定义代入化简；2、通过平面几何知识或三角知识代入；3、通过韦达定理化简；下面我们就来介绍这些题型：题型一：通过代入化简得定值例1：为椭圆上的一点，
3、其中为椭圆的左右焦点；求证：。证明：同理得证：题型二：通过平面几何知识化简得到例2：椭圆的方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于不同两点.1假设直线的倾斜角为，求直线的方程；xyFQABlO2求证：.提示：用代入法转化AF，AQ=；从而化简出是一个常值。解1设直线的方程为，那么有，得又切点在轴的右侧，所以，所以直线的方程为 2因为为直角三角形，所以又得 又得 所以，同理可得 所以 题型三：通过定义化简得到：例3：某校同学设计一个如下图的“蝴蝶形图案阴影区域，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，点为轴上一点，记，其中为锐角1求抛物线方程；2求证：3如果使“蝴蝶形图案
4、的面积最小，求的大小？第(3)问提示：，；想想BF和DF如何参加他们也可以写出来。之后面积问题就转化为三角求最值问题了。解析:1 由抛物线焦点得,抛物线方程为 2 设，那么点所以，既解得 ；3同理： ， ， “蝴蝶形图案的面积令, 那么, 时,即“蝴蝶形图案的面积为8 题型四：通过韦达化简得到例4、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上的动点1求的最大值；2假设平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，求证：直线与直线的倾斜角互补解1设椭圆的方程为将代入椭圆的方程，得 2分解得，所以椭圆的方程为 2分设点的坐标为，那么又是上的动点，所以，得，代入上式得，故时，的最大值
5、为2因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为由 得 设、，那么又 故又，所以上式分子 故所以直线与直线的倾斜角互补题型五、通过类比结论得到例5：椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点. 假设的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为. 1求椭圆的方程； 2设的三条边所在直线的斜率分别为，且.假设直线的斜率之和为0，求证：为定值.解：1设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以， 解得， 故椭圆的方程为 方法2、待定系数法2设，由：， 两式相减，得到所以，即， 同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以 方法2、(可参照方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得 (以下略) 题型
6、六：其他综合问题例6：抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、1当直线过点时，证明为定值；2当时，直线是否过定点？假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由；3如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？假设存在，求出这条直线和这个定点；假设不存在，请说明理由答案：1；23存在直线，点，点到它们的距离相等例7：在平面直角坐标系中，方向向量为的直线经过椭圆的右焦点，:与椭圆相交于、两点1假设点在轴的上方，且，求直线的方程；2假设，且的面积为，求的值；3当变化时，是否存在一
7、点，使得直线和的斜率之和为,假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.答案：1；2；3存在一点。例8：动圆过定点且与直线相切，其中.设圆心的轨迹的方程为.（1） 求；（2） 曲线上的一定点方向向量的直线不过点与曲线交于、两点，设直线、斜率分别为、，计算；3曲线上的两个定点、分别过点、做倾斜角互补的两条直线、分别与曲线交于、两点，求证直线的斜率为定值.答案：1；2= =0. 例:9： 椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点1求该椭圆的标准方程；2设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值；3在2的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？ 假设存在，给出证明；假设不存
8、在，请说明理由答案：1 ；2 定值 （3） 存在点A()、B，使得=定值例10：设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于点，且1求抛物线的方程；2假设为坐标原点，且点在抛物线上，求直线倾斜角；3假设点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为求证：当为定值时，也为定值答案：12直线的倾斜角为或3，可得， 由2知又，又为定值，所以也为定值例11：双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线的方程；(2) 假设过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点)，求证：为定值；(3) 对于双曲线G:，为它的右顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，那么
9、直线是否过定点？假设是，请求出此定点的坐标；假设不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论不要求书写求解或证明过程.情形一：双曲线及它的左顶点； 情形二：抛物线及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点.答案：1；2=0为定值；3过定点(,0). 情形一：在双曲线G ：中，假设为它的左顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，那么直线过定点(,0). 情形二：在抛物线中，假设为抛物线上的两点(都不同于原点)，且，那么直线过定点. 情形三：1在椭圆中，假设为它的右顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，那么直线过定点(,0)；2在椭圆中，假设为它的左顶点，为椭圆上的两点(都不同于点)
10、，且，那么直线过定点(,0) ；3在椭圆中，假设为它的上顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，那么直线过定点(0,)； 4在椭圆中，假设为它的下顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，那么直线过定点(0,). 【课后作业】1.A、B是抛物线p0上的两点，且OAOB，求证：1A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；2直线AB经过一个定点。证明：1设A、B，那么，。=，为定值，也为定值。2，直线AB的方程为：，直线AB过定点2p，0。2.抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。1试证明直线AB的斜率为定值；解析：1证明：把P(2，4)代入，得h
11、=6。所以抛物线方程为：y4=k(x2)，由，消去y，得。所以，因为PA和PB的倾角互补，所以，用k代k，得，所以3、设抛物线p0的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明：直线AC经过原点。方法1：设直线方程为，A，B，C，又，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。当k不存在时，ABx轴，同理可证。xyFBACDO图3NE方法2：如图2过A作ADl，D为垂足，那么：ADEFBC连结AC与EF相交于点N，那么，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，.4、点，、是平面直角坐标系上的三点，且、成等差数列，公差为，1假设坐标为，点
12、在直线上时，求点的坐标；2圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；3假设、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标答案：1的坐标为或 （2） 当时， 或 ；当时，或（3） 直线与轴的交点为定点 5、椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为求椭圆的标准方程；假设直线与椭圆相交于，两点不是左右顶点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标答案：12：直线过定点，定点坐标为6、椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，且 求椭圆的方程； 过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？假设存在，求出这个定点的坐标；假设不存在，请说明理由答案：1；2所以；7、椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，且，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 I求椭圆的标准方程； 设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； 设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？假设存在，求出定点的坐标，假设不存在，请说明理由。答案：1；2当时，有成立。3在轴上存在定点，使得三点共线。