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1、-专题：直角三角形存在性问题-第 4 页直角三角形存在性问题方法提炼：找点已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置；直角三角形存在性问题探讨1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解；例1：如图在菱形ABCD中，ABC=60，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形，则P、D两点间的最短距离为 .例2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B
2、的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式例3.如图，二次函数yx2bxc图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且BAO45（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得BCD为直角三角形若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过
3、点D作x轴的垂线，交ABC的另一边于点E，将ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；针对性演练：1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存
4、在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。（1）求点A的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.3、如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向
5、匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0）（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理答案：例1，PC的最小值为1例2， （1）A(-4,0)、B（2,0）(2) 方法一、作CFL1，CF=，CE=，AC:，平移AC可得L1L2，再根据D的横坐标为x=-1，可求D点坐标。方法二：设AC与对称轴交于点G，G()，设D的坐标
6、可设为（-1，y），则D1G=，DG=由SACD=SABC，可求出y的值，继而求出D点坐标。D的坐标为、（3） 如答图2，以AB为直径作F，圆心为F要想以A、B、M为顶点所作的三角形有且只有3个时，过点E的直线与F相切。过E点作F的切线，这样的切线有2条连接FM，过M作MNx轴于点NM在第一象限，M（），；M在第三象限，M（），例3。（1），C（1，-1）（2）方法一；AB：，设D（x,-x+2）,B（-1,3），C（1，-1），可求出BCD三边长，分两类通过勾股定理计算可求出D点坐标；BCD=90时，D，BDC=90时，x=2,x=-1（舍去），D（2,0）方法二：直线AB：，直线BC：若B
7、CD=90时，CD：，将CD与AB关系式联立，可求出点D的坐标BDC=90时，CD：，将CD与AB关系式联立，可求出点D的坐标例4答案：（1），对称轴（2） AD=DF=2t，OF=4-4t，D（2t-4,0），E（2t-4，t）EFC=90，DEFOFC，列比例式，可求出t=；FEC=90，AEF为等腰直角三角形，DE=AF,t=2t，t=0（舍去）ACF=90，针对性演练答案：1、（1）将顶点（1,2）代入得，得（2） 可证四边形ACBD为菱形，所以PE必过对称中心M，P（0，-1），M（1,0），可求PE：，与联立可求E点坐标（3,2）（3）方法一：作FGy轴于G，证FGPPOM，OM=OP，可得PG=GF,即X=0（舍去）,x=1，F（1，-2）方法二：P（0，-1），E（3,2），F三点坐标，可表示出PE、PF、EF长，利用勾股定理可求2、 （1）(3) BC：，过B与BC垂直的直线表达式为，与联立，x=0,y=3（舍去）X=5,y=8, Q(5,8)若以BC为斜边，设Q（m，），由勾股定理可得，m=0，（舍）m=3（舍），Q（）、（）